1、1习 题 五A 组 1填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时， 有惟一解的充分必要条件是 xb解 因为 是 有惟一解的充要条件故由 可得 ()RnAb ()RnA|0（2）线性方程组 121341,xa有解的充分必要条件是 解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换 123401aBAb123410a所以方程组有解的充要条件是 ，即()RAB43210aa（3）设 阶方阵 的各行元素之和均为零，且 ，则线性方程组 的通解为 n()RnAAx0解 令 1x显然 满足方程组，又因为 ，所以 ，即方程组的基础解系中有一个向量，通解x()1RnA()1RA为2，k 为任意常数T1(,1)kx（4）设 为
2、 阶方阵， ，且 的代数余子式 （其中， ； ） ，An|0kja0kjA1kn1,2jn则 的通解 x0解 因为 ，又 ，所以 ，并且有kj()1Rn120, ;|ikikinkikaAaA 所以 是方程组的解，又因为 ，可知方程组的通解为T12,kknA ()1R，T12,kkncx其中 c 为任意常数（5）设，112223112,1nnnnxaaxAb其中， ，则非齐次线性方程组 的解是 (;,)ijaij TAx解 T1,0,)x（6）设方程 有无穷多个解，则 123xaa解 22单项选择题（1）齐次线性方程组 解的情况是 35Ax0(A) 无解； (B) 仅有零解；(C) 必有非零解
3、； (D) 可能有非零解，也可能没有非零解答 （C） （2） 设 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩 ，且 为此方程组的三个线性无n()3RnA123,关的解，则此方程组的基础解系是 (A) ； (B) ；12312, 1231, (C) ； 13-,(D) 234+-3答（A） （3）要使 ， 都是线性方程组 的解，只要 为 T1(,02)T(0,1)Ax0A(A) ； (B) ；21(C) ； (D) 102041答（A） （4）已知 是 的两个不同的解， 是相应的齐次方程组 的基础解系，12,Axb12,Ax0为任意常数，则 的通解是 12,k(A) ； (B) ；12()k12()k(C)
4、 ； (D) 答（B） （5）设 阶矩阵 的伴随矩阵 若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，nA*01234,Ax=b则对应的齐次线性方程组 的基础解系是 x=(A) 不存在； (B) 仅含一个非零解向量；(C) 含有两个线性无关的解向量； (D) 含有三个线性无关的解向量答（B） （6）设有齐次线性方程组 和 ，其中 ， 均为 矩阵，现有 4 个命题：0Bx=ABmn 若 的解均是 的解，则 ；Ax=0()R 若 ，则 的解均是 的解；()RA0 若 与 同解，则 ； 若 ，则 与 同解x0以上命题正确的是 （A） ，； （B），； （C），； （D），答（B） （7）设 是 矩阵， 是
5、矩阵，则线性方程组 mnnmABx0（A）当 时仅有零解； （B）当 时必有非零解；nm（C）当 时仅有零解； （D）当 时必有非零解答（D） （8）设 是 阶矩阵， 是 维列向量 若秩 秩 ，则线性方程组 nnT0（A） 必有无穷多解； （B） 必有惟一解；xAx（C） 仅有零解； （D ） 必有非零解T0yTy答（D） 3求下列齐次线性方程组的一个基础解系4(1) 12340,;xx解 对系数矩阵施行初等行变换，有410123A与原方程组同解的方程组为 142340,x或写为，12413493xk其中 为任意常数所以，基础解系为143k1493(2) 12340,6505;xx解，1212
6、01363505A与原方程组同解的方程组为51243 0, xx或写为 124344,0,x其中， 可取任意常数 ，故24,x12,k1223410xk所以，基础解系为1210,(3) 1234123450,3746,;xx解，152472701643653A，方程组组只有零解()4RnA(4) 123412343570,16,7xx解6，3110734579222160073A与原方程组同解的方程组为 13421 079 xx，或写为 13423344790xxxx， ， 故122341907xk所以基础解系为121390,74求解下列非齐次线性方程组(1) 123+108x， ，；解 对增
7、广矩阵施行初等行变换，421383010486B7所以 无解()2,()3RAB(2) 4581496xyzz， ，；解 231402158496B，所以原方程组有解与原方程组同解的方程组为()2RAB21,xzy故210xykz(3) 21,42xyzw；解，10221400B，原方程组有解与原方程组同解的方程组为()2RA12,0xyzzw，所以原方程组的通解为811220100xyzzw12100k(4) 21,3452xyzw解，16072115933445200B，原方程组有解与原方程组同解的方程组为()2RA16759xzwyz， 故通解为126755970xykzw5问 取何值时
8、，非齐次线性方程组12321231x， ，(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？9解 系数行列式21()D当 且 时 ，方程组有惟一解120当 时，对增广矩阵施行初等行变换，110B则 ，故原方程组有解且有无穷多解()13RAB当 时，对增广矩阵施行初等行变换221124241,0360369所以方程组无解()2,()3RAB6非齐次线性方程组 123123x，当 取何值时有解？并求出它的全部解解 对增广矩阵施行初等行变换，得，222103(1)B当 且 时， 方程组无解12(),()RAB当 时，有10，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为()2RAB101320x， ，故原方程组的解为12310xk当 时，有2120B与原方程组同解的方程组为 132x，故方程组的解为1230xk7设 问 为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷1234xx， ， ， 多解？并在有无穷多解时求出其通解解 系数行列式2254(1)0D当 且 时，方程组有惟一解10当 时，有1212140B，方程组有无穷多解，此时()1RA1231x通解为
