1、 习题 1.11. 写出下列随机试验的样本空间:(1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数.(2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数.(3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果.(5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标.解: (1) ;(,)|1,26,12,6ijj (2) ;|09(3) (正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), ;(4) (次, 次 ), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次)
2、, (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), ( 正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次);(5) .2)| 1xyRxy2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示:(1) =”出现的点数之和为偶数”.A(2) =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现 1 点”.B(3) =”至少掷出一个 2 点”.C(4) =”两颗骰子出现的点数相同”.D解: (1) (1,)3,(5),(4),26(3,1),(5)A;4261546(2) ;(,),(),(),(,),(),(3),5B(3) ;13422352C(4) .(,)2,(),(5),6D3. 设 是三个事件,试用
3、来表示下列事件:AB,ABC(1) 事件“ 中至少有一个事件发生”.C(2) 事件“ 中至少有两个事件不发生”.,ABC(3) 事件“ 中至多有一个事件不发生”.(4) 事件“ 中至少有一个事件不发生”.,(5) 事件“ 至少有一个发生,而 不发生”.ABC解:(1) ;C(2) 或 ;ABABC(3) 或 ;AB(4) ;C(5) 或 .ABC4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立?(1) . (2) .ABAB(3) . (4) .C(5) . (6) .(7) 等价于 或 或 .ABBA(8) 若 ,则 .解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6) 正确;(7
4、) 正确;(8)正确.5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件 表示被选学生是女生, 事件A表示被选学生是三年级学生, 事件 表示被选学生是运动员.BC(1) 叙述 的意义.AC(2) 在什么条件下 成立?BA(3) 什么时候 成立?解: (1)被选学生是三年级男运动员;(2)因为 等价于 ,即数学系的女生全部都是三年级运动员;ACC(3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.6. 试用维恩图说明,当事件 , 互不相容,能否得出 , 也互不相容?ABAB解: 不能.7. 设样本空间 , 事件 , ,试01x27x15x求: .,ABAB解: ; ; ;17x25x2Ax.0,2)
5、(5,习题 1.2(6) 设 , 求(1) ; (2) ;(3) .AB.,0.3,PB()PAB()A()PB解: ;()(.;1.()(0PAB(7) 设 且 求 .),2,3PA()B解:注意到 .(11()PAB从而由 得 .)PAB()于是 .()1(3(8) 设 为三个随机事件, 且 C1()(),2PABC1(),3PABC,求 .()0PA()B解: 由 知 . 于是由广义加法公式有0PA()()()()()()BCCPABCPBAC.3256(9) 设 为两个随机事件,且 ,问:A0.7,().9(4) 在什么条件下, 取到最大值,最大值是多少?PAB(5) 在什么条件下,
6、取到最小值,最小值是多少?PAB解:(1)由于 .由此可见在 条件下,()()PB且 AB取到最大值 .PAB07(6) 注意到 . 因此当 时, 取()()PA()1P到最小值 .0.7916思考: 有人说 (2),在 时, 取到最小值 0. 你能指出错误在什么 B地方吗?(10) 设 为两个随机事件,证明:A(1) .()1()()PBPBA(2) .()PB证明:(1)由广义加法公式可得.()1()1()()AA(2)由(1)立得 .PBA其余不等式是显然的.(11) 设 为三个随机事件,证明: .C()()()(PBCPB证明:由广义加法公式可得 ()()()()()()(.PABAA
7、A(12) 设 为 个事件,利用数学归纳法证明: 12,n(1) (次可加性) .121()nkkPAPA(2) .121()nkk证明: (1) 当 时, 由广义加法公式有.2121211()()()kkPAPAPA即对 成立.n假设对 成立, 于是k121121()()(.k kkPAAPAP 即对 成立. (1)得证.n(2)当 时, 由广义加法公式有.12121212()()()PAPAPA即对 成立.假设对 成立, 即 .nk121()kii于是 1211211()()().kkkkiikiiPAPAPA 即对 成立. (2)得证.1nk(13) 设 为一列事件，且 ，证明:2,A
8、1,2,nA.1()lim()nnP证明:(利用性质 6(1)的结论 )显然 为一列事件，且 ，即性质 6(1)的条件成立,12,A 1,2,nA因此 .1()li()nnP于是 .11()()lim()li()nnnnAPA习题 1.3(7) 掷两颗均匀的骰子,求下列事件概率: (1)两颗骰子的点数相同;(2)两颗骰子的点数之和为偶数;(3)一颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍.解:(1) ; (2) ; (3) .162318(8) 有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9(单位 cm),从这五条线段中任取三条,求所取的三条线段能拼成三角形的概率.解:由古典概型可得所求的概率为 .3
9、510C(9) 一个小孩用 13 个字母:A、A、A、C、E、H、I、I、M、M、N、T、T 做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成”MATHEMATICIAN”一词的概率为多少?解:由古典概型可得所求的概率为 .3!21(10) 个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求甲、乙两人之间n恰好有 个人的概率, 这里 .r0,2rn解:由古典概型可得所求的概率为 .(1)!Cr(11) 个男孩和 个女孩( )随机排成一列,求任意两个女孩都不nmn相邻的概率.解: 个男孩和 个女孩( )随机排成一列共有 种排法.1()!nm任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将 个男孩排好,共有
10、个1n间隔,从 个间隔中选出 个位置进行女生排列.因此排法总数为 .从1nm!mC而由古典概型可得所求的概率为 .1!()nC(12) 从 双尺码不同的鞋子中任取 只,求下列事件的概率: n2)ra) 所取的 只鞋子中没有两只成对的; (2) 所取的 只鞋子中只有两2r 2r只成对的; (3) 所取的 只鞋子恰成 对.rr解:(1) ;(2) ;(3) .2rnC12()(1)nrC2nr(13) 掷一枚均匀的硬币 次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设 表示硬币出现的正面次数多于反面次数, 表示硬币出现的反面次数AB多于正面次数, 表示硬币出现的反面次数等于正面次数 .易见, .()
11、()1PBC()PA当 时 ,易见 ,从而 .21nm()0PC1()2A当 时,易得 .从而 .21n21nPC(14) 从一个装有 个白球, 个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,ab直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的 个白球和 个黑球全部摸出,则最后一次(第 次)abab摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为 .(15) 口袋中有 5 个白球、3 个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为 .2381C(16) 某人有 把钥匙，其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,m不能开门的就扔
12、掉求他恰好在第 次把门打开的概率k解:所求的概率为 .1(2)(1)m(17) 任取一个正整数,求下列事件的概率: a) 该数平方的个位数是 1; (2)该数立方的个位和十位都是 1.解:(1)我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为 .易知其是古典概型 .设 表0,12,9 A示该数平方的个位数是 1, 则 ,于是 .A()10PA(2)一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为 , 表示该数立方的0,29 B个位和十位都是 1.则 ,于是 .71B1()PB(18) 某人忘记了一个电话号码的最
13、后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，假设拔完规定电话位数算完成一次拨号，且假设对方电话不占线，试问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少?解:所求的概率为 .198197140080(19) 一公司批发出售服装，每批 100 套公司估计某客商欲购的那批100 套服装中有 4 套是次品，12 套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出 2 套做样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2 套都是等级品，客商就要退货试求下列事件的概率：(1)样品中 1 套是优质品，1 套是次品；(2)样品中 1 套是等级品，1 套是次品；(3)退货；(4)该批货被接受；(5)样品中恰好有 1 套优质品
14、解:(1)样品中 1 套是优质品，1 套是次品的概率为 ;21084C(3)样品中 1 套是等级品，1 套是次品的概率为 ;210(4)退货的概率为 ;22961010C(5)该批货被接受的概率为 ;2229696110100C(6)样品中恰好有 1 套优质品的概率为 .21084(20) 在桥牌比赛中,把 52 张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家 13 张牌),求下列事件的概率:(1)北家的 13 张牌中恰有 5 张黑桃、4 张红心、3 张方块、1 张草花;(2)南家及北家共有 9 张黑桃,东、西两家各有 2 张黑桃；(3) 南家及北家共有 9 张黑桃,东家有 1 张黑桃
15、,西家有 3 张黑桃.解:(1)北家的 13 张牌中恰有 5 张黑桃、4 张红心、3 张方块、1 张草花的概率为 或 ;543119!2!C 1132!9C(2)南家及北家共有 9 张黑桃,东、西两家各有 2 张黑桃的概率为;13!27156!(3)南家及北家共有 9 张黑桃,东家有 1 张黑桃,西家有 3 张黑桃的概率为.3!9!72056!1(21) 将 3 个球随机地放入 4 个杯子,求 4 个杯子中球的个数最大值为 2的概率.解: 3 个球随机地放入 4 个杯子共有 种放法. 4 个杯子中球的个数最大值3为 2 相当于先从 3 个球中任意地选出 2 个球作为一个整体和另外一个球放到4
16、个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为 .于是所求的概率24A为 .23A(22) 设集合 有 4 个元素 , 集合 有 3 个元素,随机地作集合 到集合B的映射 ,求该映射为满射的概率.B解:该映射为满射的概率为 .243!C(23) 将 个球随机地放入 个盒子中,求下列事件的概率:mnm(14) 每个盒子中均有球; (2)恰好有 1 个盒子空着的概率.解:设 表示第 个盒子无球, .iAi,2i(6) 设 表示每个盒子中均有球.则 .1212nnAA 注意到 , ,(1)minP,2in, ,(2)()ijmAij12 12()(), ,12,.kii kmnPiinn 于是由广
17、义加法公式有 112 211211()()()().n ni ij niijnmmnn mkPAPAPACC 从而 .11212()() mnknPAAPA (7) 恰好有 1 个盒子空着可以这样理解,先从 个盒子任意选定 1 个空盒,然n后将 个球随机地放入 个盒子,使得 个盒子都有球. 从而由(1)m及乘法原理可知“恰好有 1 个盒子空着“共有样本点,于是其概率为211()()nkmnC.21()()nkmnmC(24) 某班有 个同学参加面试,共有 张考签,每人抽到考签用后mn即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率.(8) 解:设 表示第 张考签没有被抽到 , .设 表示至少有一张iAi 12,i A考签没有被抽到. 则 .12nA注意到 , ,()minP,i, ,(2)()ijmA1ijn12 12()(), ,12,.kii kmPiinnn 于是由广义加法公式有
