1、 概率论计算与证明题 69第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率 或 向右或向左移动一格，若该质点在时p1刻 0 从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以 表示时间nSn 时质点的位置） 。2、设 为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求 的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1） （2）;,1,)(Nkcf。,21,!)(kf04、证明函数 是一个密度函数。)()(| xexfx5、若 的分布函数为 N（10 ，4） ，求 落在下列范围的概率：（1） （6，9） ；（2） （7，12）
2、；（3）（13，15） 。6、若 的分布函数为 N（5， 4） ，求 a 使：（1） ；（2） 。0.aP 01.|5|aP7、设 ，试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3） )(xPF)(xF ,)(F。18、试证：若 ，则 。,12xPx )(121xP9、设随机变量 取值于0， 1，若 只与长度 有关（对一切 10yx） ，试证 服y从0，1均匀分布。10、若存在 上的实值函数 及 以及 及 ，使)(QD)(xTS，)(epxDxf 则称 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布 ，已知 ，关于参数 ；,f ,20mN0（2）正态分布 ，已知 ，关于参数 ；（3）普阿松分布
3、关于 都是一个单参),(20mN0 )(kp数的指数族。但 上的均匀分布，关于 不是一个单参数的指数族。,011、试证 为密度函数的充要条件为 )2()(cybxakeyxf ,0,02acbca概率论计算与证明题 70。2back12、若 为分布密度，求为使 成为密度函数， 必须而)(,21yfx ),()(),(21yxhfxyf),(yxh且只需满足什么条件。13、若 的密度函数为 ，),(与,00,),()2(Aexfyx试求：（1）常数 A；（2） ；（3） 的边际分布；（4） ；1,2P2P（5） ；（6） 。)|(yxf |14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。15、设二维随
4、机变量 的联合密度为),( ykkexyxp11212)()(),(，试求与 的 边际分布。k0,21 16、若 是对应于分布函数 的密度函数，证明对于一切)()(3xfxf )(,)(321xFx，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数 ： )(,)(321xfxf。)(,)(321xfxf 1)()(, 1321 Fxxff17、设 与 是相互独立的随机变量，均服从几何分布 。令 ， ,kpqkg ),ma(试求（1） 的联合分布；（2） 的分布；（3） 关于 的条件分布。),(18、 （1）若 的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立？,与,010,4),( yxyxf （2）若
5、的联合密度函数为 ，问 与 是否相互独立？),(与,8),(f 19、设 的联合密度函数为 ),(与与,020),sini1(8),(3 zyxzyxzyxp试证： 两两独立，但不相互独立。,20、设 具有联合密度函数 ，试证 与 不独立，但 与 是),(与,01|,|41),(yxyxp2相互独立的。概率论计算与证明题 7121、若 与 是独立随变量，均服从普要松分布，参数为 及，试直接证明12 12（1） 具有普承松分布，参数为 ；21（2） 。knkknkP 212121|22、若 相互独立，且皆以概率 取值+1 及 ，令 ，试证 两两独立但不相互独立。, ,23、若 服从普阿松分布，参
6、数为 ，试求（1） ；（2） 的分布。ba224、设 的密度函数为 ，求下列随机变量的分布函数：（1） ，这里 ；（2）)(xp 10P；（3） 。tg|25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于 内，试求圆面积的分布密度。)(ba26、若 为相互独立的分别服从0，1 均匀分布的随机变量，试求 的分布密度函数。, 27、设 相互独立，分别服从 ，试求 的密度函数。, )1,0(N28、若 是独立随机变量，均服从 ，试求 的联合密度函数。, , VU,29、若 相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为 ，试求n,21 n,21的分布。)mi(30、在 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数
7、。),0a31、若气体分子的速度是随机向量 ，各分量相互独立，且均服从 ，试证),(zyxV ),0(2N斑点服从马克斯威尔分布。22zyxS32、设 是两个独立随机变量， 服从 ， 服从自由度为 的 分布(3.14),令 ，, )1,0(Nn2xnt/试证 t 的密度函数为 )1(22)( n xnxP这分布称为具有自由度 n 的 分布在数理统计中十分重要。t33、设 有联合密度函数 ，试求, 与与,00,)1(6),( 4zyxzyxzyxf的密度函数。U概率论计算与证明题 7234、若 独立，且均服从 ，试证 与 是独立的。, )1,0(N2UV35、求证，如果 与 独立，且分别服从 分
8、布 和 ，则 与 也独立。),(1rG),(2r36、设独立随机变量 均服从 ，问 与 是否独立？,与,0)(xexp37、若（ ）服从二元正态分布（2.22） ，试找出 与 相互独立的充要条件。, 38、对二元正态密度函数 ， 6514221exp),( 2yxyyp（1）把它化为标准形式（2.22） ；（2）指出 ；（3）求 ；（4）求 。rba21,)(pi )|(yxp39、设 ，试写出分布密度（2.12） ，并求出 的边际密度函数。1437,01Ba ),(2140、设 是相互独立相同分布的随机变量，其密度函数不等于 0，且有二阶导数，试证若 与, 相互独立，则随机变量 均服从正态分
9、布。,41、若 是 上单值实函数，对 ，记 。试证逆映射 具有如f1RB)(:)(1BfBf 1f下性质：（1） ;)(11ff（2） ;)(11Bff（3） .)(11fBf42、设随机变量的密度函数是 （1）求常数 C；（2）求使得 =fxcx()20其 它 ()pa.()pa43、一个袋中有 张卡写有 ，现从袋中任取一张求所得号码数的期望。k,12,kn44、设 ， 在 的条件密度分布是 ，求 的条件下2, (,) rvNmxPyxyx(|)()122y的密度 ?pxy(|)45、设 与 独立同服从 上的均匀分布，求 的分布函数与密度函数。(0,)aX概率论计算与证明题 7346、设 的
10、联合分布密度为 ， （1）.求常数 A；（2）求给定时的(,)2()0,(,)xyAefxy与条件密度函数。47、在(0,4)中任取两数，求其积不超过 4 的概率。48、若 的分布列是（见下表）(1)求出常数 A; (2)求出 时 的条件分布列。(,) =2 -1 0 11 1/6 1/8 1/82 1/12 1/4 A3 1/24 1/24 1/2449、设 独立的服从 分布，令 ，求 的联合密度函数及边际密(,) (0,1)N, - UV(,)UV度函数。50、设随机变量的密度函数为 ，(1).求常数 a，使 Pa = Pb = 0.05。51、地下铁道列车运行的间隔时间为 2 分钟，旅客
11、在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望及均方差。52、设二维随机变量 的联合密度函数为： ， (1)求(,)6(2),01,(,)xyxyp与的密度函数；(2)求 ; (3)=2+3|()pyx1|53、若二维随机变量 的密度函数为： ，1)求 的密度函(,) (2),0,(,)xyePy与数；2)求 ；（3 ）(2P 1|254、若 ，求 的密度函数。2,(,) rvNaa55、将两封信随机地往编号为 1,2,3,4 的四个邮筒内投，以 表示第 个邮筒内信的数目，求： (1) k的联合分布列； 2) 的条件下， 的条件分布。1,2()21156、若 ，求 的密度函数。(0,)rvN57、某
12、射手在射击中,每次击中目标的概率为 ，射击进行到第二次击中目标为止，用 表示(0)P k第 次击中目标时射击的次数 ，求 和 的联合分布和条件分布。K(1,2)K12概率论计算与证明题 7458、进行独立重复试验，设每次试验成功的概率为 。将试验进行到出现 次成功为止，以 表示所需prX试验的次数。求 的分布列。X59、已知某种类型的电子管的寿命 （以小时计）服从指数分布，其概率密度为X，10,(),xefx与一台仪器中装有 5 只此类型电子管，任一只损坏时仪器便不能正常工作。求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。60、设连续随机变量 的概率密度为 ，其中 为已知常数。求：（1）常数X2,
13、0()0kxAefx与kA；（2） 。10Pk61、设离散随机变量 的分布列为： 求：（1） 的分布函数 ；X()Fx（2） ， ，32P14X14P62、从一批含有 13 只正品、2 只次品的产品中，不放回地抽取 3 次，每次抽取 1 只，求抽得次品数 的X分布列及分布函数。63、 （1）设连续随机变量 的概率概率为 ，求 的概率密度。X()Xfx3Y（2）设 服从指数分布 。求 的概率密度。 ()E3Y64、对圆片直径进行测量，测量值 服从均匀分布 。求圆面积 的概率密度。(5,6)UY65、设电压 ，其中 是一个正常数，相角 是一个随机变量，服从均匀分布 ，sinVA,2U求电压 V 的
14、概率密度。66、箱子里装有 12 件产品，其中 2 件是次品。每次从箱子里任取一件产品，共取 2 次。定义随机变量如下 ， 。分别就下面两种情况求,XY0,1与 0,1Y与2出二维随机向量 的联合分布列和关于 的边缘分布列：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。(,)Y,X67、一个大袋子中，装有 3 个桔子，2 个苹果，3 个梨。今从袋中随机抽出 4 个水果。若 为为桔子数，X为苹果数，求 的联合分布列。Y(,)XX0 1 2p36概率论计算与证明题 7568、把一枚硬币连掷 3 次，以 表示在 3 次中出现正面的次数， 表示在 3 次中出现正面的次数与出现XY反面的次数的绝对值，求 的联合分布
15、列。(,)Y69、设二维随机向量的概率密度为： 。求（1） ；（2）(6),02,4(,)0,kxyxyfxy与 k；（3） ；（4） 。1,PXY1.5PX4PXY70、设随机向量 的概率密度为： ，求：（1）常数(,) 222(,(,)0,ARxyRfxy与A；（2） 落地圆域 （ ）中的概率。,XY22:Gxr71、设二维连续随机向量 的概率密度为：(,)Y226,(4)9fxyxy,xy求：（1） 的分布函数；（2）关于 及关于 的边缘分布函数。(,)XYXY72、设二维连续随机向量 的概率密度为： ，求关于 及关于 的边(,) ,0(,)yexfx与XY缘概率密度。73、设 与 相互
16、独立，且 服从均匀分布 ， 服从正态分布 。求 的概XYX,UaY2(,)NbZ率密度。74、若 的密度为( ，则 两两独立，,)31(sini)0,(,)80xyzxyzpxyz 与,但不相互独立。75、若 相互独立，且同服从指数分布，密度函数为： ，证明： 与 相互独, 0()xep+立。76、证明： 为一概率密度函数。12/20()()0nxnepxo77、设 分别服从参数为 、 的普阿松分布，且相互独立，求证： 服从参数为,RV12 的普阿松分布。1278、证明函数 是一个密度函数。)()(| xexfx概率论计算与证明题 7679、设 ，试证 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；
17、（3） )(xPF)(xF ,0)(F。180、试证：若 ，则 。,12xPx )(121xP81、设随机变量 取值于0， 1，若 只与长度 有关（对一切 10yx） ，试证y服从0，1 均匀分布。82、定义二元函数 。验证此函数对每个变元非降，左连续，且满足（2.6）及0,1),(yxyxF（2.7） ，但无法使（2.5）保持非负。83、试证 为密度函数的充要条件为 )2(),(cybxakeyxf ,0,02acbca。2ack84、若 是对应于分布函数 的密度函数，证明对于一切)(,)(321xfxf )(,)(321xFx，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数 ： )(,)(3
18、21xfxf。)(,)(321xfxf 1)()(, 1321 Fxxff85、设 的联合密度函数为 ),(与与,020),sini(8),(3 zyzyzyp试证 两两独立，但不相互独立。,86、若 与 是独立随变量，均服从普要松分布，参数为 及，试直接证明12 12（1） 具有普承松分布，参数为 ；21（2） 。knkknkP 212121|87、若 相互独立，且皆以概率 取值+1 及 ，令 ，试证 两两独立但不相互独立。, ,88、若气体分子的速度是随机向量 ，各分量相互独立，且均服从 ，试证),(zyxV ),0(2N斑点服从马克斯威尔分布。22zyxS89、求证，如果 与 独立，且分
19、别服从 分布 和 ，则 与 也独立。),(1rG),(2r概率论计算与证明题 7790、证明： 是一个随机变量，当且仅当对任何 成立 。 iRxFC)(:第三章 解答1、 解：令 表在 n 次移动中向右移动的次数，则 服从二项分布，nnkpCkPkn ,10,)1(以 表时刻时质点的位置，则 。nSSnn2的分布列为 。 nnn ppp2211 )()()(0的分布列为 。nS nnnnC2211 )()()( 42、 解： ，qpPP1与与 ,2 2pq所以 的概率分布为 。,1,2kkp3、 解： （1） ， 。Nkcf1)(c（2） ， 。1)1(!ke 1)(e4、 证： ，且 0)(
20、xf 0|2)( xxxededxf是一个密度函数。f5、 解：（1） )109(2)(1)06(2)96( P概率论计算与证明题 782857.0)(21)10(2P（2） )()()7()17(P74538.0)21(1)0(2P（3） )5(2)()13()15(P06597.)21()0(2P6、 解：（1） ，而 ，令90.)3( )()()5(1 aaPa解得 。.)5(2a6.7a（2）由 得 ，从而 =0.995，而01.|P05.aP aP21)5(所以 。95.0)6(2.5,6.2a7、 证：（1）设 ，所以 ， 非降。0)(, 211212 xPxFx)(12xF（2）设 ， 由概率的可加性得0n 。)(01 xxPi ii)()()001xxFi ii 由此得 ，)(lm)0FFn右连续。),(li( xxn（3） 。11nnPP)(lim)(li)(1( FnFn由单调性得 与 均存在且有穷，由 及上式得 。)(limxFx)(li )0x1,08、证： 1221 xPP )1(22xP.x ()(
