1、1量子力学习题答案1.2 在 0k 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。解：由德布罗意波粒二象性的关系知：； Ehp/由于所考虑的电子是非相对论的电子（ ），故：26keE(3V)c(0.51)=2eP/()2ee669hp/hc/1.402.51037m7n1.3 氦原子的动能是 E=1.5kT，求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。解：对于氦原子而言，当 时，其能量 为K1TJ102.7K1J038.23 2323 kE于是有He342723h/p/E6.10Js1.6nm29kg.0J 一维谐振子处于 状态中，其中 为实常数，求：2/()xAe1.归一化系数；2.动能平
2、均值。 （ ）2xd/解：1.由归一化条件可知：2* x2(x)Ae1/1取相因子为零，则归一化系数 /21/422. =222 2222 22* x/ x/x/ /x/ x/2xx/224xT()dAe(P)edAe()d(e)edAdA （ ） 2224xxx2242 1()(e)1()eed4若 ，则该态为谐振子的基态，与 T解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用 F-H 定理是非常方便的。一维谐振子的哈密顿量为：22d1Hx它的基态能量 选择 为参量，则:0E；0d12 22dd()TxxHT由 F-H 定理知：0dEH21T可得：31T42.2 由下列定态波函数计
3、算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 传播的1 2球面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er0rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )(同向。表示向外传播的球面波。J1与 rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(2i )( 30 022 0ikrikrikikr*2 可见， 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。J与22.3 一粒子在一维势场4axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解
4、： 无关，是定 态问题。其定态 S方程tx与)()()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()(2 0 111 xxdxx ： )()( 22Ema： )()()(2 333 xxUdxx 由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须)(U0)(1x2即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可 变为 0)(2)(2xmEdx令 ，得2k0)()(22xkdx其解为 BAxcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得5)0(12 )(32a 0B sinkA),32 1( i a xnAxsi)(2由归一化条件1)(2dx得 sin02aA由
5、 a mn0mnaixixd2xanxAsi2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为nEaxxeantxtEin n , ,0 ,si),(2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解： 21x1(x)e2622311 4)(xxeex2 )(3231 xedx令 ，得0 )(1xx 由 的表达式可知， 时， 。显然不是最大几率的位置。)(1x 0， 0)(1x22)51(4 )(6(2 )(423 32312 x xex ed而321x) 60d可见 是所求几率最大的位置。1x3.2.氢原子处在基态 ，求：0/31),(arer(1)
6、r 的平均值；(2)势 能 的平均值；re2(3)最可几半径；(4)动 能的平均值；(5)动 量的几率分布函数。解：(1) drreadr a sin1),(022/32 070/2304dra01!naxnde04032!a020320/2/3022/3214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar(3)电 子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drear2/30042/3004)(ear0/203)(ardr令 0321 , , 0)(rd与当 为几率最小位置)( ,21r0/20302 )48(4arerad)(230
7、20era 是最可几半径。0ar(4) 221pT 222 sin1)(isin1)(1 rr8 02 2/2/30 sin)(100 dreaTarr02 2/2/30 i)(00drrea022/30041() raea202402)(5) drpcp,)()(* 200cos02/32/3 in1)(0 dereaprir0cos0/232/ )( )(dpriar0 0cos/232/ 0)(priaree0/32/ )()(0drripapiria1!naxnde)1()1()( 2020302/ piaii 230014()ipaia220430)(24p220/)(a动量几率分布
8、函数420253)()(pacp93.5 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 ，L 为角动量，IH2求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1) 转子绕一固定轴转动：(2) 转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定 轴沿 Z 轴 方向，则有2ZL哈米顿算符 221dIIH其本征方程为 ( 无关，属定态问题)t与 )(2)( 2IEdI令 ，则2IEm0)()( 22md取其解为 ( 可正可负 可为零)iAe)(由波函数的单值性，应有imie)2()(2(即 1miem= 0，1，2，转子的定态能量为 (m= 0，1，2，)IEm2可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 imAe10A 为归一化常数，由归一化条件212 2020*Adm 转 子的归一化波函数为imme21综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。(2)取固定点为 坐标原点，则转子的哈米顿算符为21LIH无关，属定态问题，其本征方程 为tH与),(),(21EYI(式中 设为 的本征函数， 为其本征值),Y,(2IL令 ，则有IE),(),(22Y此即为角动量 的本征方程，其本征值为L) ,210( )1(22 其波函数为球谐函数 immmePNY(cos, 转子的定态能量为2)1(IE
