1、1习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为 d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷 Q 离导体板的距离为 x 时，电荷 Q 受到的静电力为2)(04xF静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力 2)(04xQf在移动过程中，外力 f 所作的功为 dQdxxf 01620162当用外力将电荷 Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为 。dq08/2也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静电
2、能等于两个点电荷之间的相互作用能： dQQdQqW 082)(04)(21)(042112 移动点电荷 Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为2。dq08/252 一个点电荷放在直角导体内部（如图 5-1） ，求出所有镜像电荷的位置和大小。解：需要加三个镜像电荷代替导体面上的感应电荷。在（-a，d）处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为 q，在（a，-d）处，镜像电荷为-q。 图 5-153 证明：一个点电荷 q 和一个带有电荷 Q、半径为 R 的导体球之间的作用力为2)(204RDqQqF其中 D 是 q 到球心
3、的距离（DR） 。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电 Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心 b=R2/D 处，镜像电荷为 q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球内两个镜DRqQq/像电荷对 q 的作用力，即 2)(2042)(04 DRqQqbqF 2)(204RDqQq54 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为 a 的接地导体球的直径的 dq-qqqxya3延长线上，分别距离球心 D 和-D。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。（2）令 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保
4、持 Q/D2 不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是 Q 在球面上的镜像电荷，q 1 = -aQ/D，距离球心 b=a2/D；第二个是-Q 在球面上的镜像电荷， q2 = aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为 23)1(DQabqp（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q 位于坐标 z 轴上，当 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2 不变时，由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为 ，方
5、向在-e z。由镜像电荷204/产生的电场可以由电偶极子的公式计算： ）sinco2(304erPE）sic(2erDQa455 接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷 q（如图 5-5） ，求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面导体的镜像电荷 q1 = -q，位于（0，0，-d）处。再找球面镜像电荷 q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处，b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图 5-5球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷 q 3 =aq/
6、d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即 ）（ 32104rqrRq其中 )(2dzyx211r)(2bzyxd qb q2q3-b-d q1az521)(23bzyxr56 求截面为矩形的无限长区域（0xa，0yb ）的电位，其四壁的电位为 0,0,）（）（ bx）（ ybybyUya2),1(020,）（解：由边界条件 知，方程的基本解在 y 方向应该0,）（）（ x为周期函数，且仅仅取正弦函数，即)(sinbnkyY在 x 方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双
7、曲余弦函数，使用边界条件 ，得出仅仅选取双曲正弦函数，即0,）（ yxbnshX将基本解进行线性组合，得nbxshC1in待定常数由 x=a 处的边界条件确定，即 xnbshya1in),(使用正弦函数的正交归一性质，有6dybnbyanshCb0si),(202cossin)(0sin02 ybbUdybU s2si)( nb2cosi2)(0co0sin)21(0 bynbynbUynbUdybybU nbn cs02si)()2cs（o0b化简以后得=dybnbyanshCb0si),(2 2sin02bU求出系数，代入电位表达式，得 bxnshybanUnis204157 一个截面如图
8、 5-7 所示的长槽，向 y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽内 y，0，底部的电位为 0,Ux）（求槽内的电位。解：由于在 x=0 和 x=a 两个边界的电位为零，故在 x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即 xy=0 =0=U 0a7图 5-7)(sinankxX在 y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在 y时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为 ynkeY由基本解的叠加构成电位的表示式为 aynexnsi1C待定系数由 y=0 的边界条件确定。在电位表示式中，令 y=0，得axnUsi10)cos1(0si2nUdxaC当 n 为奇数时， ，当 n 为偶数时，
9、 。最后，电位的n04C解为 ayexnUnsi045,3157 若上题的底部的电位为 0,Ux）（axsin重新求槽内的电位。解：同上题，在 x 方向选取正弦函数，即 ，在)(sinankxX8y 方向选取 。ynkeY由基本解的叠加构成电位的表示式为 aynexnsi1C将 y=0 的电位代入，得 0Uax3sinaxnsi1应用正弦级数展开的唯一性，可以得到 n=3 时， ，其余系数03C，所以0Cayex3sin0U59 一个矩形导体槽由两部分构成，如图 5-9 所示，两个导体板的电位分别是 U0 和零，求槽内的电位。解：将原问题的电位看成是两个电位的叠加。一个电位与平行板电容器的电位
10、相同（上板电位为 U0，下板电位为零） ，另一个电位为 U，即图 5-9ya0U其中，U 满足拉普拉斯方程，其边界条件为y=0 , U=0y=a , U=0x=0 时,ayx=U 0=U 029 20,0,UayaUay）（x时，电位 U 应该趋于零。U 的形式解为axneynsi1C待定系数用 x=0 的条件确定。 ）（ y,0Uaynsi1danCi),(2 02cossin2)(0si02 aynayadya 2cs2si)(nnU2cossin)(02cos0sin)21(0 aynayaynaUdyaaU nUncs02si)()cs（2o0na化简以后，得到=dyanayUnC0s
11、i),(2 2cos0nU10只有偶数项的系数不为零。将系数求出，代入电位的表达式，得 axneynUnyaUsi2co0,420510 将一个半径为 a 的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半(0 ）接电压 U0，下半（2）电位为零，如图 5-10，求管内的电位。解：圆柱坐标的通解为 )sincos(1)0ln)(0(, BnArDrCBAr ）（ )sicos(1-n由于柱内电位在 r=0 点为有限值，通解中不能有 lnr 和 r -n 项，即有 ),21(0C,0nnD柱内电位是角度的周期函数，A 0=0。因此，该题的通解取为 图 5-10)sincos(10, BnArDBr ）（各项系数用 r=a 处的边界条件来定。 2,0)sincos(10, Unba）（ 20),(2daDBcos),(01nAa=U 0xr=0
