1、通信原理习题第二章0第二章习题习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：2cos, t t式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P ( =0)=0.5，P( = /2)=0.5 试求 EX(t)和 。R(0,1)解：EX( t)=P( =0)2 +P( = /2)cos2)t2cos()cos(2)intttcost习题 2.2 设一个随机过程 X(t)可以表示成：2cos, t t判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。 /2/21()lim()cos*cos2()TXTRXtdtdt22cos()jtjte22()(1)()jfjtjtj
2、fXPfRdee习题 2.3 设有一信号可表示为： 4exp() ,t0()Xt试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X( t)的傅立叶变换为： (1)004)()4jttjt jtxedededj则能量谱密度 G(f)= = 2()Xf226jf习题 2.4 X(t)= ，它是一个随机过程，其中 和 是相互统12cosinxtt1x2计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 。试求：2(1)EX(t)， E ；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 2t 12(,)XRt解：(1) sincos2sinco 21 xExttx通信原理习题第二
3、章1因为 相互独立，所以 。()XPf21x和 2121xExE又因为 ， ，所以 。0E21x故 2sincottt(2)因为 服从高斯分布， 的线性组合，所以 也服从高斯21x和 21xX和是 tX分布，其概率分布函数 。ep2zp(3) 221211121 sincos)sincos(, txtxttxEtEtRX 2isco1t习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1) ； (2) ； (3)ff2cosaf2expfa解：根据功率谱密度 P(f)的性质：P (f) ，非负性；P (-f)=P(f) ，偶函数。0可以判断(1)和 (3)满足功率谱密度的条件， (2)
4、不满足。习题 2.6 试求 X(t)=A 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。cost解：R(t ， t+ )=EX(t)X(t+ ) =cos*()EAtt221cosAER功率 P=R(0)= 2习题 2.7 设 和 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别tX1t2为 。试求其乘积 X(t)= 的自相关函数。21XR和 12)(t解： (t,t+ )=EX(t)X(t+ )=E 12)()Xt= =12)()t12()()R习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t) ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自cos相关函数为 4210, kHZ10 k()XffPf其 它
5、(1)试画出自相关函数 的曲线；(2) 试求出 X(t)的功率谱密度 和功率()XR ()XPfP。通信原理习题第二章2解：(1) 1, 010,xR其 它其波形如图 2-1 所示。图 2-1 信号波形图(2)因为 广义平稳，所以其功率谱密度 。由图 2-8 可见，)(tXXXRP的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此XR 2Sa2Sa41 1Sa002xP1,1d2 xx R或习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = 。试求此信号的自相关函数sinf。解：x(t) 的能量谱密度为 G(f)= =2)2sif其自相关函数 21, 0() 10,jfXRed其 它习题
6、 2.10 已知噪声 的自相关函数 ，k 为常数。tn-e2Rn(1)试求其功率谱密度函数 和功率 P；(2) 画出 和 的曲线。f nfPn解：(1)2()() ()kj jnnPfRededkf21xR1 0 1通信原理习题第二章320kRPn(2) 和 的曲线如图 2-2 所示。()nf图 2-2习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：()1, 1R试求 X(t)的功率谱密度 并画出其曲线。XPf解：详见例 2-12习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为 4210, kHZ10 k()XffPf其 它试求其平均功率。解： 3
7、4310*4241082()*X ffdfd 习题 2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的/,0()text高通滤波器（见图 2-3）上，RC 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为 H(f)= ()2cos(), Xttt输入信号的傅里叶变换为X(f)= 1jfjf输出信号 y(t)的能量谱密度为 22()()1()()2y RGfYfXfHjfCjf习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为 y(t)= 式中， 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).()/dxtn2k0fPn10 fCR图 2
8、-3RC 高通滤波器通信原理习题第二章4解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j*2()jfX2f习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。02n解：参考例 2-10习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为 的高斯白噪声时，试求02n(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)= 2124jfCfLC输出过程的功率谱密度为 200 2(
9、)()1i nPH对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为 00()exp()4CRL(2)输出亦是高斯过程，因此2 000()()4CnRL习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。02n解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知E(y(t)=0 , 200()4yRC所以输出噪声的概率密度函数 2001()exp()2y RCpxn习题 2.18 设随机过程 可表示成 ，式中 是一个离散随变()t()cos(2)tt量，且 ，试求 及 。(0)1/2/1pp、
10、1E(0,RLC图 2-4LC 低通滤波器通信原理习题第二章5解： (1)/2*cos(0)1/2*cos(/2)1;E(0, )s(cos(/2)R 习题 2.19 设 是一随机过程，若 和 是彼此独立且1020inZtXwtt1X具有均值为 0、方差为 的正态随机变量，试求：2（1） 、 ；()Et()t（2） 的一维分布密度函数 ；Z()fz（3） 和 。12(,)Bt12(,)Rt解：（1） 10200102()cosincossinEZtXwttwtEXt因为 和 是彼此独立的正态随机变量， 和 是彼此互不相关，所以2 212022222100010()cossincossinZtt
11、ttwtEX又 ; 1EX1()DEXEX同理2代入可得 2()Zt（2）由 =0； 又因为 是高斯分布()Et22()t()Zt可得 2()DZt21expzfZ(3) 12121212(,)(,)()(,)BtRtEttRt020002cossincossin)XwXwt221112020( ii)tttt令 12t习题 2.20 求乘积 的自相关函数。已知 与 是统计独立的()()ZtXYt ()XtY平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为 、 。 (xRy解：因 与 是统计独立，故 ()XtYE通信原理习题第二章6()()()( )Z XYREtEtYttXR习题 2.21 若随机过程
12、 ，其中 是宽平稳随机过程，且自相0(cos()Ztmwt()mt关函数 为 是服从均匀分布的随机变量，它与()mR1,(),、彼此统计独立。)t（1） 证明 是宽平稳的；Zt（2） 绘出自相关函数 的波形； ()ZR（3） 求功率谱密度 及功率 S 。Pw解：（1） 是宽平稳的 为常数；()Zt()Et0 0()cos()cos()EmtmtEwt201)wtdZ1212101202(,)()(cos)(cos)ZRttZtttt0Ew只与 有关：1221()()mtt21t令 0101cos()cs()wtt0010cosin()siEwtw2001 1*()i*cn()tEt coss0
13、1()2w所以 只与 有关，证毕。120,cos()*(ZmRtR（2）波形略；通信原理习题第二章7001()cos(),121()cos()*,2ZmwRwR、()()ZZP而 的波形为 R可以对 求两次导数，再利用付氏变换的性质求出 的付氏变换。()mR ()mR 2sin(/)12()1)()mwPSa200() 4ZwPSaSa功率 S： 1/R习题 2.22 已知噪声 的自相关函数 ，a 为常数： 求 和()nt()exp()2nR()nPwS；解：因为 2exp()aw所以 2()n naRP(0)2aS习题 2.23 是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数
14、。()t在区间（-1 ， 1）上，该自相关函数 。试求 的功率谱密度 。()1R()t()Pw解：见第 2. 4 题 2()1wSa通信原理习题第二章8因为 所以()(2)Tntt()*()TtRt据付氏变换的性质可得 PwF而 ()()()Tnntt故2 2( *()*()R nwPwFSaSaw 习题 2.24 将一个均值为 0，功率谱密度为为 的高斯白噪声加到一个中心角0/n频率为 、带宽为 B 的理想带通滤波器上，如图c（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。解：（1）20()()()oinPwHw因为 ,故020GSa2()()BGSa又 ()
15、()*)Bcc1os()cww由 付氏变换的性质 1212()*ftFw可得 002()()()*)()2coso BccnPwHGwRSa（2） ； ；()oEt200()()Etn2()()0oREt所以2又因为输出噪声分布为高斯分布通信原理习题第二章9可得输出噪声分布函数为20 001()exp()2tftBn习题 2.25 设有 RC 低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为 的白噪0/2声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。解： 1()1jwCHjR(1) 202()()*()Oi nPwC(2) 因为 2expa所以0 021()*()exp()()4o OnnwRRC习题 2.26 将均值为 0，功率谱密度为 高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，0/（ 1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。解： ()RHwjL(1) 220 0()*()exp()()4oi ORnnPRwLL(2) ；0()Ent2 0()4nRR习题 2.27 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为 ，脉冲bT幅度取 的概率相等。现假设任一间隔 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无1bT关，且过程具有宽平稳性，试证：（1） 自相关函数0,()1/bRt
