1、13-1 求以下序列的频谱 )X(ej(1) (n) (2) (n-3)(3) 0.5 (n+1)+ (n)+ 0.5 (n-1)(4) anu(n), 0a1(5) 矩形序列 RN(n)解：序列频谱的定义为= )X(ej-n)(jnex(1) = = 1)(j-n)(jn(2) = = )X(ej-n)3(jne-j3(3) = )(j jne-n )1(5.0)()1(5.0= + 1 +j.e-j.e= 1 + = 1 +2jj cos(4) = )X(ej-n)(jneua= 0njn= (0 a 1, 收敛)njae)(0n= 1je(5) = )X(ej-n)(jnNR2= 10n
2、Nje= 1jje= 2jNje 22jjNjje= 21-Nj sini3-2 设 和 分别是 x(n)和 y(n)的傅里叶变换，试求下面)X(ej)Y(ej序列的傅里叶变换(1) x(n-n0) (2) x*(n) (3) x(-n)(4) x(n)* y(n) (5) x(n) y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)x( ), n 为偶数(9) xa(n) =0， n 为奇数(1) DTFTx(n-n0) = -n0)(jnex0-m0)(jnjm= 0)X(ejjn(2) DTFTx*(n) = -n*xjn3= *-n)(xjne= *-n)(jn= )(
3、eXj*(3) DTFTx(-n) = -nxjnm)()jme= X(e-j(4) DTFTx(n)* y(n) = -ny(n) *xje= -nm)()jn= njneyx)()(= jmjmeY)(= jjx)()(= jjeYX(5) DTFTx(n) y(n) = jnnyx)(= jnn jnj eydeX)()(21= njnj )()()(4= deYXjj)()(21= )(*)(jje(6) DTFTnx(n) = jnnx)(= )(jeXdj(7) DTFTx(2n) = jnnx)2(2)(jmme m jmmj exex )()1()(21 22 取 整 数= +
4、2)(21jm jx)()2= +)(2jeX)(12je(8) DTFTx2(n) = )(*)(jjeX(9) DTFTxa(n) = jnnax)(= njnae2)(= njnx2)(= 2jeX51 | | 03-3 已知 = )X(ej0 0 | | 求 的傅里叶反变换)(ej解：x(n) = deXjnj)(21= 0jn= 0|21jne= jnjnjn00= = = 0si 00sin )(00nSa3-4 周期序列 xp(n), 如图 3-44 所示，周期 N=4,求 DFSxp(n)= Xp (k)解： 由 DFS 的定义Xp (k) = nkNNnpWx10)( X p
5、 (0) = 0210)(jnNnpex= = 430)(npXp (1) = = 2 + (j ) + 0 + j = 2njnpex30)(n-1 41 图 3-440 2-2 3 5126Xp (2) = = 2 + (1 ) + 0 + (1 ) = 0jnnpex30)(Xp (3) = = 2 + j + 0 + (j ) = 2330)(jnnp X p (k)是周期函数，其周期长度 N=4 X p (k) = Z1+cos( k) 2或 X p (0) = 4, Xp (1) = 2, Xp (2) = 0, Xp (3) = 23-5 如果 xp(n)是一个周期为 N 的序列
6、，也是周期为 2N 的序列，令 Xp1(k)表示当周期为 N 时的 DFS 系数，X p2(k)是当周期为 2N 时的 DFS 系数。试以 Xp1(k)表示 Xp2(k)。解： 由 DFS 的定义Xp1 (k) = 210()NjnkNpnxeXp2 (k) = 22()jk= +10()NjnkNpnxe 21()jnkNpxe+m2()()kj ()20()mNkjme= Xp1 ( ) +2k120()jkNjNpexA= 11 ppjk= ()2jke= 10 ,()pX为 奇 数为 偶 数73-6 已知周期序列 xp(n)如图 3-45 所示。取其主值序列构成一个有限长序列 x(n)
7、 = xp(n)RN(n)，求 x(n)的离散傅里叶变换 Xp1 (k) = DFTx(n)。解：与 3-4 答案相同，可由定义求出。只不过此时的 x(k)非周期的。Xp (k) = Z1+cos( k)R4(k) 2或 X p1 (0) = 4, Xp1 (1) = 2, Xp1 (2) = 0, Xp1 (3) = 23-7 一有限长序列如图 3-46 示，绘出 x1(n) = xp(n2) R4(n)，x2(n) = xp(-n) R4(n)。解：先将有限长序列进行周期延拓，然后右移 2 位。再截取 03 点即得x1(n)，如下左图所示。先将有限长序列后褶，然后再进行周期延拓。再截取 0
8、3 点即得 x2(n)，如下右图所示。n图 3-45 离散时间信号-2 -1 410 2 3 512x(n)n图 3-46 离散时间信号x(n)1 2 30nx2(n)1 2 30nx1(n)1 2 3083-8 计算下列序列的 DFT。 （ 1） R3(n) （ 2） cosn（ 3） x(n) = 1 2 1 3 解：（1）由定义得， 203()njkXke 24320310(1)njjjeX4njjnj（2） 2mN只要 ， N 就取整数14302()cosnjnkXke 010j3022(1)cosnnjXe102nj30322()cosnnjXe1, k=1,k（3）302()()n
9、jnNxe9305()nXx21()321jnejj30()()5(2)jnnXx321(3)2jnejjj3-9 以下序列长度均为 N，试计算其 DFT。 （ 1） (n) （ 2） (n 3) （ 3） 0 a 1 （ 4） （ 5） n0jwneNjne解： 210()()()NjnknDFTxXe（1） ()1()jkN 01X(). . . . .(1)XN (, 01,2.NkNR（2） 610(3)jkjnknDFTe（3）22211NjkNn j jkNjkaaaeee10（4） 0 002211()jwnNNjnkjwknjDFTeee0022()()11j jjkkNN（5
10、）200jnNjnjjnnDFTeee2(1) ,1(1) jkk3-10 若 x(n)为矩形序列 ，试求（ 1） Zx(n)；（ 2）NR(n)DFTx(n)；（ 3） 。jwX(e)解：（1） 110) ()NNnnn zZxz（2）2210()()()jkNjnkNjnNeDFTxe（3） 10()()jwjnwjnnXe221()2()sinNNjjjjwwjjjNjeeeA当 时，0w()jwX当 时，2kN0je3-11 设一 N = 4 的有限长序列，序列值分别为 x(0) = 0.5， x(1)=1， x(2) = 1， x(3) = 0.5 试用图解法求出：（ 1） x(n)与 x(n)的线卷积；
