1、12. 勤学早九年级数学（上）第 23 章旋转专题一点通一、旋转与角度、长度计算1（2014 龙岩）如图，ABC 中，B=70，BAC=30 ，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得EDC当点 B 的对应点 D 恰好落在 AC 上时，求CAE 的度数 （50）2（2014 江宁）如图，在 Rt ABC 中，ACB= 90，在同一平面内，将 ABC 绕点 C 逆时针旋转 70与EDC 重合，恰好使点 D 在 AB 上，求E 的度数 （E=A=35）3（2014 高邮）如图，在ABC 中，ACB=90，点 D 在 AB 边上，AD =2，DB=5，DEAC 于点 E，若ADE 绕点 D 顺时针旋转 90
2、后，点 A、E 的对应点 A、F 恰好在 BC 边上，求ADB 的面积 （5）4（2013 常州）在 RtABC 中，C=90，AC=1，BC= ，点 O 为 RtABC 内一点，连接3AO、BO、CO，且AOC=COB=BOA=120，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B 为旋转中心，将AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60，得到AOB（得到 A，O 的对应点分别为点 A，O） ，并回答下列问题： ABC=_，ABC=_，OA 十 OB+ OC=_；（30；90； ）7二、作图与计算5 .（2014 宁夏）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-2，1)，B(-4，5)，C
3、( 5，2).(1)画出ABC 关于 y 轴对称的 A B C ；1(2)画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A B C .26（2014 广东）在平面直角坐标系中有ABC 与A B C ，其位置如图所示.1（1）将ABC 绕 C 点按_（填“顺”或“逆” ）时针方向旋转 _度时与A B C 重合；1（2）若将ABC 向右平移 2 个单位后，只通过一次旋转变换能与A B C 重舍吗？若能，1请直接写出旋转中心的坐标、方向及旋转角度；若不能，请说明理由.解：(1) 逆； 90（2）能，绕(0，-1) 逆时针旋转 90即可7. 如图，A BC 二点的坐标分别为 A(1，1)，B(6，1)，C(2
4、，3)(1)ABC 关于 x 轴作轴对称变换得到 DEF ，则点 A 的对应点的坐标为_； （1，-1）(2)将ABC 向左平移 7 个单位，请画出平移后的 ABC，若 M 为ABC 内的一点，其坐标为(a，b)，则点 M 平移后的对应点 M的坐标为_; （a-7 ，b）(3) ABC 绕原点逆时针旋转 90得到MNT ，直接写出点 B 的对应点 N 的坐标为_；（-1，6）(4) 在旋转过程中点 B 经过的路径长_； （ ）372(5) 在旋转过程中线段 AB 扫过的面积是_. （ ）54三、图案设计8. 下图是 2002 年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图” ，它既标志着中国古代的数
5、学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们. 请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另两个不同的图案. 画图要求：(1)每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形都不重叠；(2)所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形.9. 如图，已知网格中每个正方形的边长都是 l，图中的阴影部分图案是由三段以格点为圆心、分别以小正方形的边长和对角线为半径的圆弧围成.(1)填空：图中阴影部分的面积是_； （1）(2)在网格中以阴影图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转设计一个完整的图案（要求至少含有两种图形变换）四、旋转与勾股定理10. 如
6、图， O 是等边ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BO.(1)求点 O 与 O的距离； （4）(2)求AOB 的度数； （150）(3)求ABC 面积- AOC 面积的值. （4 +6）311. 如图 l，在等边ABC 内有一点 P，且 PA =2，PB= ， PC=l，求BPC 度数和等边ABC3的边长. 【探究】解题思路是：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60，如图 2 所示，连接 PP.(1)PPB 是_三角形，PPA 是_三角形，BPC=_：【拓展应用】如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= ，BP= ， P
7、C=1.5(2). 求BPC 度数的大小；(3) . 求正方形 ABCD 的边长 .解：(1)等边，直角，150；(2)将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得BPA，则BPCBPA，AP=PC=1，BP=BP= ，连接 PP，在 RtBPP 中，BP=BP= ，PBP=90，PP=2，2 2 BPP=45，在APP 中，AP=1，PP=2 ， AP= ，1 +2 =（ ） ，5252即 PA + PP =AP ，APP 是直角三角形，即APP=90 ，APB=135，22BPC=APB=135.(3) 过点 B 作 BEAP交 AP的延长线于点 E，E PB=45，E P=BE=1，AE=2
8、在 RtABE 中，由勾股定理得 AB= ，正方形 ABCD 的边长为55五、利用旋转化散为聚12. 如图，CA E= 45AC=6，AE=3，DCE= 90 ，CD=CE，求 AD 的长解：将DCA 绕 C 点逆时针旋转 90得ECB，连接 BE，可证ACD BCE，AD=BE，BAE=90，在 RtABE 中，由勾股定理可得 BE=9，则 AD=BE=913. 如图，在平面直角坐标系中，点 P（3，3)，两坐标轴的正半轴上有 M、N 两点，且MPN=45，求MON 的周长解: 过 P 作 PEy 轴于点 E，将 PEM 绕点 P 按逆时针方向旋转 9 0，得到PFQ，P(3，3)，F、Q
9、两点在 x 轴上，PFQPEM，EPM=FPQ，EM= FQ，PM=PQ，EPF=90，MPN=45，EPM+ NPF=45 ，FPQ+NPF=45，NPQ= MPN，又 PM=PQ，PN=PN ，PMN PQN，MN=NQ=NF+FQ=NF+EM ，MON 周长=OM+ON+MN=OM+ON+NF+EM=OM+EM+ON+NF=OE+OF=614. (2016 武汉模拟)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BC AD，A=90，AB=BC=12 ，DCF=45，E 是 AB 上一点DE=10，求 BE 的长解：过 C 作 CFAD 交 AD 的延长线于点 F，将BCE 绕点 C 顺时针旋
10、转 90得到FCG ，连接 CG，则四边形 ABCF 是正方形，BC=CF，BCEFCG，CE=CG ，BCE=FCG.，DCE=45，BCE+DCF=90-45= 45，DCG=DCF+ FCC =45=DCE，在 DCG 和DCE 中，CG=CE，DCG =DCE，CD= CD，DCGDCE，DG=DE=10 ，设 BE=x，则 AE=12-x，DF=10-x，AD=12-(10-x)=2+x，在 RtADE 中，(2+x) +（12-x） =l0 ，解得 x=4 或 6，即 BE 的长为 4 或 6.22ADE2215.（2016 武汉改编题）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F、G、
11、H 分别在边 AB、BC、CD、DA上，且 EG 与 FH 的夹角为 45，若正方形 ABCD 的边长为 1，FH 的长为 ，求 EG 的长52解：过 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过 A 作 ANEG 交 CD 于点 N，AB = l，AM=FH= ，BM= = ，将AND 绕点 A 顺时针旋转 90，得到522B1ABP， EG 与 FH 的夹角为 45，MAN +DAN=45，即PAM=MAN=45，从而APMANM，PM=NM，设 DN=x，则 NC=1-x，MN=PM= +x，在 RtCMN 中， （ +x） = +（1-x） ，121242解得：x= ，EG=AN= =13+x03
