1、 中国石油大学（华东）第二十一届高等数学竞赛试卷2007 年 6 月 10 日一、填空题（每小题 5 分，本题共 50 分）：1. 若 0x时， x1ln与 是等价无穷小，则 .解题过程是：2. 30siarctlimxx.解题过程是：3. 曲线)1ln(exy，渐近线的条数为： .解题过程是：4. yzxz一一,ta.5. 微分方程 02y,10x一 :2一xy.6. 一一一一 yxyxDDd)cos(2,: 7.d)3(0coscs解题过程是：8. 设函数 )(xf的一个原函数是2x，则 xfd)(= .解题过程是：9. Vzxyzyz d)(,12一一一一一= .10. 设曲线 AnO
2、00,),)(2 aOaAaxx ， yeye d3cosd3si计 算二、计算题（每小题 6 分，本题共 42 分）：.38)2(1),0( )0(,),1(. 一一一一一一一 一一一aaxyLaOP xyPMLxoy2. 设 .)0(12一一zyxz，计算曲面积分d13d23yxI .01239.32 一一一 zyxzyx ).(4,0d21(1)( )(),4 tftyxhzVftf t确 定 ， 求由 不 等 式其 中 满 足 下 式 ：上 连 续 ， 且 对 任 意 的在设 函 数 .0,4),(2),(.5 2上 的 最 大 值 和 最 小 值在 区 域求 函 数 yxyDyxf6
3、. 设曲面 1:z，计算曲面积分Sxd)(.解题过程是： ).,(,),( )()(2),(0.7 244yxuyxu jyxiyxyA并 求的 梯 度为 某 二 元 函 数 上 的 向 量使 在 右 半 平 面确 定 常 数 三、证明题（本题 8 分）： ).(),(),(),( gfbabgfaf a使 得，存 在证 明 ： 相 等 的 最 大 值 ，内 具 有 二 阶 导 数 且 存 在上 连 续 ， 在在设 函 数第二十届高等数学竞赛试卷2006 年 6 月 4 日一、填空题（每小题 5 分，本题共 50 分）：1. 若 0x时， 1)(42ax与 xsin是等价无穷小，则 a.2.
4、)1ln(coslimx.3. 设函数230sind,0(),xtfa 在 x处连续，则 a.4. yzxyxz一一,sin.5. 一一一 91)(l2y._)(,. DdxygfI Dxaa一 一一0067.tan)cos(2205x8. .sisiin1lim9. .,122 dvezyx z一一一一10. 设在上半平面 (,)|0D内，函数 (,)fxy具有连续偏导数，且对任意的0t都有 2(,)ftxytfxy. 对 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，则.),(, dxfdL二、计算题（每小题 6 分，本题共 42 分）：.,)( )(cos. 一一一一 2101 002 xxyy
5、xt2. 设 是锥面2()zz的下侧，计算曲面积分d31dxyxy. ., ),(. 一一一 一一一cbaxxy 201233.)( d)()(,)(.xf tyxfyxtft一 一一一一 42224 . 一一一 252zyxyxz 一一一一一一 一一一一 130,9.)()(2).6thyxtz. 86,)1,(632.7 22一一一 一一PnP zyxuzyx 三、证明题（本题 8 分）： .)()( 02)(2)(44一一 一一 一一一 一一一一yIyxdCIxyd LL第二十二届高等数学竞赛试卷2008 年 6 月 8 日一、填空题（每小题 5 分，本题共 50 分）：1. ,0)1(
6、lim2baxxb;.2. .)sint(li30xx.3. 一 20)l()(xtdf，则 )(xf的零点个数为： .4. yzxyezyxzzx3,2),(3则所 确 定由 方 程设 函 数5.的 特 解 为 ：满 足微 分 方 程 121d.6. 的 拐 点 为 ：曲 线 35xy . .)(0)()( cossin)(.7 xffxf ydydefL， 则一 阶 导 数 连 续 ， 且其 中 与 路 径 无 关 ，设 曲 线 积 分8. 的 值 为 ：，设 曲 面 dSzyRzy222)(:.9. 的 值 为 ：，所 围 成 的 区 域与是 由 曲 面设 zyxx d)(.,1 2.1
7、0. .d32d)10(412 的 值 为 ：的 上 侧 ，为 曲 面设 yxzyxzIzyxz二、计算题（每小题 6 分，本题共 42 分）：.1cos2.1dxx计 算2. 的 值 为 ：，所 围 成 的 ，和是 由区 域 .)(1)(4. 222 DdyxyxyxD .3. .1,2,1 22 方 向 导 数在 此 点 的 内 法 线 方 向 的沿 曲 线处在 点求 函 数 byabaPbaz .1)()(1 .,4,1 0,).422的 值求 曲 线 积 分）终 点 为 （）为 （分 段 光 滑 曲 线 ， 其 起 点 ） 内 的是 上 半 平 面 （导 数） 内 具 有 一 阶 连
8、续 的 偏在 （设 函 数 dyxfydxfyI yLxfL 5. 。和 最 近 的 点面 的 最 远 的 点上 距 离求 曲 线：已 知 曲 线 .,53022 xOyCzyxC6.设 S 是以 L 为边界的光滑曲面，试求可微函数 )(x使曲面积分 dyzxydzx 4 )(4 )(1(2与曲面 S 的形状无关.7. 设一球面的方程为 4)1(22zyx，从原点向球面上任一点 Q 处的切平面作垂线，垂足为点 P，当点 Q 在球面上变动时，点 P 的轨迹形成一封闭曲面 S，求此封闭曲面 S 所围成的立体 的体积.三、证明题（本题 8 分）：.0)( )3,1(,)()2(,1)(3 使 得 ，
9、至 少 存 在 一 点证 明 ：具 有 二 阶 导 数 ， 且 满 足函 数设 dxx第二十三届高等数学竞赛试卷2009 年 6 月 7 日一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）：1 nnnnn cos1.3cos12cos1cslim_2设 0,2art)(txexfxx在 处连续，则 a_ 23 a dxaf2sin)(4设 L 为椭圆2143y，其周长记为 ，则 _)43(2dsyxL.12a5设 的方程是 )0(2Rzx，则RzS4二、选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）：1若 )(f连续，且1)cos(lim0xfx，则（A ）.)(0)( )(的 驻 点不 是 的 极
10、 大 值 点 ；的 驻 点 ， 且 是是 的 极 小 值 点 ；的 驻 点 ， 且 是是 的 极 值 点 ；的 驻 点 ， 但 不 是是 xfxDxfCfBfA2若 f可导，且在 0的某邻域内有 ),(3)1(2)(xofxf 则（A）处 不 一 定 可 导在 ； 1)(,0)1(2,xffCffBA3设 )(xf且可导，则)(1lnimaf（D ）（A）0 （B） （C） l （D） )(af4.设 C为曲线 32y和直线 yx所围成的区域整个边界，沿逆时针方向，则曲线积分dx2( B ).(A) 1;4(B)1;4(C)23;4(D)23.45设函数 )(uf连续，区域 yxyD),(2，
11、则Dd)(yxf（）; d)(d)(21 xfA; d2 0 fBcosinsin0 rrC; )cosin()(sin rr三、计算下列各题1。 （本题 8 分）如图， )(,xgf是两个逐段线性的连续函数，设 )()(xgfu，求 1u 2 （本题 8 分）设 f为连续函数，且 sin)(0xdf，求coix3 （本题 8 分）设函数 )(f是以 2为周期的连续函数，它在 2,0上的图形为分段直线， )(g是线性函数， xy，求dxgf )(。4. （本题 9 分）如图，曲线 C 的方程为 )(f，点(3,2) 是它的一个拐点，直线 1l与 2分别是曲线 C 在点(0,0)与(3,2)处的
12、切线，其交点为(2,4). 设函数 )(xf具有三阶连续导数，计算定积分 302.)(dfx5. （本题 9 分）设函数 ),yxf在点 1,的某邻域内有定义，且在点 )1,0(处可微，又 ).(32)1,(oyf 其中 2yx，求nnef,0(lim16. （本题 9 分）计算 si)(cos),x xLIybdeyad其中 ,b为正的常数，L 为从点 (,0)Aa沿曲线 2a到点 0,O的弧（如图）. 7 （本题 9 分）证明：由 )(,xfyx及 轴所围的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的立体对 x轴的转动惯量(密度 =1)为.Ifdxab24.其中 )(f是连续的正值函数.Oy12341
13、l2)(fyC4第二十四届高等数学竞赛试卷2010 年 6 月 6 日一、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）： 1、 nnee121lim。2、设uxy，则2uy= 。3、设 L 为沿抛物线 y=x2 上从点(1，1) 到点(2，4) 的一段曲线弧，则对坐标的曲线积分可化成对弧长的曲线积分_ _，其中 P(x,y)和 Q(x,y)是在 L 上的连续函数。 4、设 zeyxxsincos，则2zxy= 。5、 210)(colimxx。二、选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）：1、IeIx则设 ,d1( )cA)ln() ;1ln)ceBx ;2Cx Dx)l(2 2、aafax则
14、 点设 ,)(lim2( ) 的 驻 点不 是 但 不 是 极 值 点的 驻 点 是 的 极 小 值 点是 的 极 大 值 点 是 ,)( xff B3、方程010cos022xtxdet的根的个数 ( ) (A)0 (B) 1 (C)2 (D) 34、若曲线 xetyetzttt,in,在对应于t4点处的切线与 zx平面交角的正弦值是( )(A)23(B)1(C) 0 (D) 15、设 C 表示椭圆 ，其方向为逆时针方向，则曲线积分 Ldxy)(2( )(A) ab (B) 0(C) a+b2 (D) ab2三、计算下列各题（每小题 7 分，本题共 42 分）：1、设 fx()二阶连续可微，
15、且 ff(),()010，试确定 fx()，使曲线积分yfyLd2与路径无关。2、 ， 又 设上 有 连 续 导 数，在设 函 数 sin)(cos)()( rfrabaf 计算表达式 一一一 bfdrxfba at(rctn, 2 3、设 xtef12)(，计算积分10)(dxf4、设 )(xf连续，且满足)2()2(xbafxbaf ，计算积分badxf)(5、 计算二重积分231()DIdy，其中 D 是由直线 ,2yx及上半圆周2yx所围成的区域 .6、 计算coscosinl()x xxLeeydy，其中 L 是圆周22()()xy沿正向从点 (1,)A到点 3,B的一段圆弧.四证明题：（每小题 6 分，本题共 18 分）：1、设 )(xf在0，1上连续，且 0)(,0)(1dxff。证明在（0，1）内至少存在一点 ，使得 0dxf。2、设 )(xf连续，且1001)(,)(dxfxf，证明： )(xf在 1,内至少有一个零点。3、 证明:由 )(,xfyba及 轴所围的平面图形绕 x轴旋转一周所形成的立体对x轴的转动惯量 (密度 =1) 为 .)(24badfI其中 )(f是连续的正值函数
