1、2013 年高三数学二轮专题复习(三角函数部分)金堂实验中学-黄志强一、专题热点透析三角函数是高中数学中一种重要的初等函数,是高考数学的一个必考内容,它与代数、几何、平面向量等知识有着密切的联系,其工具性在高考中更进一步得以体现。透析近年高考试题,其趋势为:考小题多重基础,属中、低档题型主要考察三角函数的基本概念,即:两域(定义域、值域),四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性),简单的三角变换(求值、化简)。三角函数的图像、性质及其变换是近年的热点,图像变换已成为“五点法”作图后的另一个热点,与平面向量结合已成为新的考查方向;考大题稳中有降,大题以解答题出现,考查思维能力的难题逐步淡化,而是以
2、考查基础知识与基本技能为主,难度在“较易”到“中等”的程度。二、热点题型范例题型一、三角函数的求值、化简问题例 1已知 , ,且 1cos713cs()402()求 的值;()求 tan2解:()由 , ,得 1cos70222143sin1cos()7 于是 in43tas22ta8ta()()由 ,得 又 ,020213cos()4 由 ,得13sin()1cos()()4()co s()sin()1317423变式:已知向量 ,且(si,co),(2)mA0.mn()求 tanA 的值;()求函数 R)的值域costasi(fxAx解:()由题意得 mn=sinA-2cosA=0,因为
3、cosA0,所以 tanA=2。()由 tanA=2 得2 213()cos2in1siin(si).fxxxx因为 x R,所以 ,当 时,f(x) 有最大值 ;,当 sinx=-1 时,f(x) 有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 3,.2题型二、三角函数的图像与性质问题例 1函数 的图象为 C, 如下结论中正确的是_. (写出所有正()3sin(2)fx确结论的编号)图象 C 关于直线 对称;图象 C 关于点 对称;12(,0)3函数 )内是增函数;由 的图象向右平移 个单位可5()(,2fx在 区 间 sinyx3以得到图象 C。例 2. 已知函数 ()sinco()3i()
4、coi()cos2fx x(1)求函数 的最小正周期和最值;y(2)指出 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。()fx解:(1) 最小正周期 , 的最大值为 ,最小值为yT()yfx351232(2) 33sin(2) sin6122yxyx左 移 单 位 , 下 移 单 位变式:已知函数 ( )的最小正周期为 ()sicos)f x0(1)求函数 的单调递增区间;x(2)画函数 f(x )在区间0, 上的图象;(3)将函数 图象按向量 平移后所得的图象关于原点对称,求向量 的坐标(一个()a a即可)解:(1) 由周期为 得 ,故()fxsin2)161()sin2)16fx由
5、得 ,所以函数 的增区间为 Z263x()fx,3kkx 0 512312(2) 如下表:图象如下:123O xy 6512312(3) (,)a题型三、三角形中的三角函数问题例 1. 在ABC 中, , , 分别是角 A,B,C 的对边,且abc28sincos27.BCA(I)求角 A 的大小;(II) 若 = , + =3,求 和 的值。a3bc解:(I)在ABC 中有 B+C=A ,由条件可得 41cos(B+C) 4cos 2A+2=7cos(B+C)= cosA 4cos 2A4cosA+1=0 解得 .3),0(,1cosAA又(II)由 babbcaA3)(,11cos 2即知
6、13,2. .cab c又 代 入 得 由 或例 2. 已知在 中,三条边 所对的角分别为 ,向量 ,ABCba, CBA, )cos,(inAm且满足 。)sin,(coCnm2si(1)求角 的大小;(2)若 成等比数列,且 ,求Ain, 18)(的值。解:(1) , , ;)cos,(in)si,(coBCm2sin ;CBA2icosinn6x232136y 32 1 0 1 2 ; ;又 为 的内角; ;Ccosin2si21sCAB3C(2) 成等比数列, ,BAi, sinsin2由正弦定理知: ;又且 ,即 ,abc2 18)(A18 ; ; ;18osCab36362abcc
7、变式:已知 A、B、C 是 的三个内角,a,b,c 为其对应边,向量.1),sin,(o),31( mAm且()求角 A;()若 .,c2SABCbB的 面 积求 解:() nosi321)6sin(065.3() 由正弦定理,得,cosbCB故in,0cosinsCB. 、C 为 的内角, 又0)si(A.为正三角形。,3A3B ,514A.452S题型四、三角函数与其他知识交汇问题例 1已知在 ABC中, 3,记 ,ABC(1)若 的面积 S 满足 2,求 的取值范围;(2)若 3,求 的最大边长的最小值解:(1) cosABC, 3cosABC,3sintan22S, tan, 64.
8、(2)若 3,则 ,则其所对的边 最长,由余弦定理222cos3ACBABC 318cosABC;当且仅当 时取等号, , 的最大边长的最小值为 2 . 例 2已知ABC 的周长为 6, 成等比数列 ,()求ABC 的面积 S 的最大值;()求 的取值范围BCA解:设 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b=ac,,BCA由余弦定理得 , 故有 ,2221cos 203B又 从而 6,ab0() ,即2211sinsisin32SBb maxS() 2)(co2bcbcaCA 22(6)3()7b18,0B变式:已知向量 a ,向量 b ,若 a b +1 (cos,2)x(2cos,in
9、)x()fx(错误!未找到引用源。)求函数 的解析式和最小正周期; (错误!未找到引用源。)f) 若 ,求 的最大值和最小值。2,0x)(xf解:(错误!未找到引用源。)a , b , (cos,2)x(2cos,in)x a b+1 ()fx2in(11cosi2x函数 的最小正周2sinco)4si(x()fx期 T(错误!未找到引用源。) , 2,0x5,4x, ;时即当 8,24xx()f有 最 大 值, 时即当 2,452xx()fx有 最 小 值 1反馈练习:1已知 ,则 的值是( C )4cossin3657sin6A B C D2352452函数 的最小值和最大值分别为( C
10、)()cosinfxxA , B , C , D ,1232323下列函数中,最小正周期是 ,且图象关于直线 对称的是( B )xA B C Dsin()3yxsin()6yxsin()6ysin()6xy4函数 的一个减区间为 ( C )2co6fA. B. C. D.,4,5,7,5为了得到函数 的图像,可以将函数 的图像( D )sin()yxcos2yxA 向右平移 个单位 B 向右平移 个单位 C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单62333位6已知函数 ,则函数的最小正周期 T 和它的图象的一条对称xxycos)4(sin2轴方程是( D )AT=2,一条对称轴方程为 BT=2
11、,一条对称轴方程为883xCT= ,一条对称轴方程为 DT=,一条对称轴方程为x7若 ,则 的值为 cos2in4cosin128在ABC 中,角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 CaAcbos3,则 cos 3 9设 ,则函数 的最小值为 02x, 2sin1xy310在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 则,30,abcA 611已知 的面积为 .BC2,32(1)求 的值;(2)求 的值。Atan)4cos(1iniA解:(1) , 32in|21CBSAC又 , . 由、得cos|A.3tan(2) AAsinco)(2)4cos(12ini2
12、 (tan1)316.212求值:000cos4in5(tan)7cos4解:原式 13icsin02cs 2cos(601)cos4in57 213在 ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且2tactABb(1)判断此三角形的形状;(2)若 a=3, b=4,求 的值;|(3)若 C=600,ABC 的面积为 ,求 的值。3C解:(1) 由正弦定理得 2tancotABb2sinicosnAB于是 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B A=B 或 A+B= , 为等腰 或直角三角2形(2)由(1)得 A=B 或 A+B= ,但由于 ab,A+B=
13、2|5CAB(3)C=60 0, A=B,即 ABC 是正三角形 2324Sa故 =322cos1200=-6 ABCAB14. 设ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ,求:22bcbc()A 的大小;() 的值 .sincosi()C解:() 22,ab223,.6cacAAb故 所 以() sincosi()BCsino(sinosin)BBCn1).2CA15已知函数 ( )的最小正周期为2 ()si3sinfxx0()求 的值;()求函数 在区间 上的取值范围()f203,解:() 1cos23()sinxfxx1sincos22xxsin26因为函数 的最小
14、正周期为 ,且 ,所以 ,解得 ()fx021()由()得 因为 ,所以1sin26fx3x ,所以 因此 ,7266x i 130sin262x 即 的取值范围为 ()f302,16已知函数 2()sincos.xxf()将函数 化简成 的形式,并指出()fxsin()(0,2)AxBA的周期;()fx()求函数 上的最大值和最小值。17(),2fx在解:()f(x)= sinx+ .23)4sin(23)cos(incos xx故 f(x)的周期为 2kkZ 且 k0.()由 x ,得 .因为 f(x) 在 上1273545x )si(x5,是减函数,在 上是增函数.故当 x= 时,f(x)有最小值 ;而 f(),4 23=2,f( ) 2,所以当 x= 时,f(x)有最大值2。176三角练习题一、 选择题1、若 sin+2icos =2i,则 的取值为( ) | =k,kZ | =k2, kZ | =2k, kZ | =2k + 2, k Z2、若角 满足条件 sin20) ,在 y 轴右侧的第32