1、捷登教育 http:/ 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A= | ，B= |2 2，则 =x230xAB.
2、-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2）ABCD2. =32(1)i. . . .AiBiC1iD1i3.设函数 ， 的定义域都为 R，且 时奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是()fxg()fx()gx. 是偶函数 .| | 是奇函数A()f B()fg捷登教育 http:/ | |是奇函数 .| |是奇函数C()fxgD()fxg4.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为FC23(0)xmyFC. .3 . .A3B5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. . . .A18B3C58D76.如图，圆
3、 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 的始边为射线x，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线OM的距离表示为 的函数 ，则 = 在0, 上的图像大致为Px()fy()fx7.执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 =,abk. . . .A203B165C72D158捷登教育 http:/ ， ，且 ，则(0,)2(,)1sintaco. . . .A3B2C32D29.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题：124xyD： ， ： ,1p(,),xyDy2p(,),2xyy： ， ： .3P(,),34(,),1D其中真命题是.
4、， . ， . ， . ，A2p3PB1p4C1p21p3P10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个焦点，C28yxFllQPFC若 ，则 =4FQ|. . .3 .2A72B5D11.已知函数 = ，()fx321a若 存在唯一的零点 ，且 0，则 的取值范围为()f0xa.（2，+） .（- ，-2） .（1，+） .（-，-1）ABCD12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为捷登教育 http:/ .6 .4A62B4CD第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21
5、）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案)8()xy2xy14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 ，则 与 的夹角为 .1()2ABCA16.已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且,abc,a，则 面积的最大值为 .(2)sin)(sinbC三.解答题：解答
6、应写出文字说明，证明过程或演算步骤。捷登教育 http:/ 12 分)已知数列 的前 项和为 ， =1， ， ，其中nanS1a0n1nnaS为常数.()证明： ；2na（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.na18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中点值作代x2s表） ；本文来自有途高考网 http:/（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中 近似Z2(,)N为样本平均数 ， 近
7、似为样本方差 .x22s(i)利用该正态分布，求 ；(187.1.)PZ（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区间X（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 .E附： 12.2.150若 ，则 =0.6826， =0.9544.Z2(,)N()PZ(22)PZ捷登教育 http:/ (本小题满分 12 分)如图三棱锥 中，侧面 为菱形， .1ABC1BC1ABC() 证明： ；1AC（）若 ，1B，AB=Bc，求二面角o160的余弦值.AC20. (本小题满分 12 分) 已知点 （0，-2） ，椭圆 ： 的离心率为 ，A
8、E21(0)xyab32是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点.FF23O()求 的方程； 有图高考网E（）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积最大时，求 的方程.AlE,PQPl21. (本小题满分 12 分)设函数 ，曲线 在点（1， 处的切线为1(0lnxxbefa()yfx()f. ()求 ； （）证明： .1)2yex,b()f请考生从第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，
9、四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D=E； （）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.捷登教育 http:/ （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 ： ，直线 ： （ 为参数） .C2149xyl2xty()写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程；l（）过曲线 上任一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值与最小值.CPlo30lA|P24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲若 ，且 .0,ab1ab() 求 的最小值；3
10、（）是否存在 ，使得 ？并说明理由.,ab236b2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案（B 卷）一选择题1. A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.C7 .D 8. C 9. B 10.B 11.C 12.B二填空题13.-20 14.A 15.90 度 16.三解答题17.解：（I）由题设， =bSn-1， =bSn-1两式相减的 =b由于 ，所以（ ）由题设，由（I）知解得 b=4捷登教育 http:/ ，由此可得 是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 是首项为 3，公差为 4 的等差数列， =4n-1所以 因此存在 b=4，使得数列为等差数列（18）解（I）收取产
11、品的质量指标值的样本平均数 a 和样本方差 b 分别是a=200b=150（ ）由上诉可此，ZN(200，165),从而P（187.8Z212.2）=P(200-12.2Z200+12.2)=0.6826一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意可知 XB(100,0.6826),所以 EX=100（19）解：（I） 连结 ，交 于点 O，连结 AO。因为侧面 为菱形，所以 ，且 O 为1BC1BC11BC及 的中点。11又 ，所以 平面 ABO，由于 AO 平面 ABO，故AAO又 ，故 AC= ， 6 分O1A（II）因为 ，且 O 为 的中点，所以
12、 AO=CO。1又因为 AB=BC，所以 。BC故 ，从而 OA、OB、 两两相互垂直。以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间指教坐标系 O-OBxyz.因为 ，所以 为等边三角角，又 AB=BC，则 A ，B（1,0,0） ，160CB1B3(0,)， , , ,13(0,)3(,)3(0,)A1,B,设 式平面 的法向量，则(xyz)n1B即10AB30yzx所以，取 n=（1， ， ）3捷登教育 http:/ m 是平面 的法向量，则1ABC10mABC同理可取 m=（1，- ， ）3则 cos =n7所以，所求角 A-A2B2-C1的余弦值为(20
13、)解：（1）设 F(C,0)，由条件知， 23,cc得又 23,a,b12ca所 以故 E 的方程为 14xy故设 l:y=kx-2,P(x1,x2)将 y=kx-2 代入 +y2=1 得4x（1+4k 2）x 2-16kx+12=0当 0，即 时， =16(3)k2k341.2x28431k从而 |PQ|= | |=212x*又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 。所以 的面积kOPQ.9 分2143.|21opqsdPQA设 ，则 t0, 43kt24opqtst因为 t+ 4.当且仅当 t=2,即 k= 时等号成立，且满足 0.t 7所以，OPQ 的面积最大时，l 的方程为.12 分（2
14、1）解：（I）函数 f（x）的定义域为 ，f （x）= ，0,112lnxxxxabee由题意可得 f（1）=2 ，f （1）=e故 a=1，b=25 分捷登教育 http:/ ，从而 f（x）1 等价于 xlnx .12lnxxe 2xe设函数 g（x）=xlnx，则 g(x)=1+lnx所以当 x (0, ) 时，g(x) 0；当 x （ ）时，g(x)0.1e,e故 g（x）在（0， ）单调递减，在（ ，+ ）单调递增，从而 g（x）在 的最小1(0,)值为 g（ ）=- 8 分e设函数 h（x）= ，则 h（x）= .2xe (1x)e所以当 时，h （x ）0；当 时， h（x）0.
15、(0,1),故 h（1）在（0,1）单调递增，在 单调递减，从而 h（x）在 的最大值为() (0,)h（1）= e综上，当 x0 时，g（x）h（x） ，即 f（X）1.12 分(22)解：（I）由题设知 A,B,C,D 四点共圆，所以 D= CBE 由已知得 CBE= E,故D= E5 分（II）设 BC 的中点为 N,连结 MN，则由 MB=MC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上。又 AD 不是 O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNADA所以 AD/BC,故 A= CBE又 CBE= E，故 A= E。由（I）知， D= E，所以 ADE 为等边三角形。（23）解：（I）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）2cos,3inxy直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0（II）曲线 C 上任意一点 P（ ， ）到 l 的距离为si54cos3in6d则 ，其中 为锐角，且 tan =025siPA43当 =-1 时， 取得最大值，最大值为snPA25当 =1 时， 取得最小值，最小值为i（24）解：（I）由 ，得 ab 2，且当 a=b= 时等号成立12abab2故 33+24=， 且 当 时 等 号 成 立
