1、2015 北大自主招生数学试题第 1 页 共 5 页一.选择题1.整数 x,y,z 满足 xy+yz+zx=1，则(1+ )(1+ )(1+ )可能取到的值为（ ）2xy2zA16900 B17900 C18900 D前三个答案都不对2.在不超过 99 的正整数中选出 50 个不同的正整数，已知这 50 个数中任两个的和都不等于 99，也不等于100这 50 个数的和可能等于（ ）A3524 B3624 C3724 D前三个答案都不对3.已知 x 0, ，对任意实数 a，函数 y= 2acosx+1 的最小值记为 g(a)，则当 a 取遍所有实数时，22cosg(a)的最大值为（ ）A1 B2
2、 C3 D前三个答案都不对4.已知 是 的整数倍，则正整数 n 的最大值为（ ）0nA21 B22 C23 D前三个答案都不对5.在凸四边形 ABCD 中，BC=4，ADC=60，BAD=90，四边形 ABCD 的面积等于，则 CD 的长（精确到小数点后 1 位）为（ ）2DA6.9 B7.1 C7.3 D前三个答案都不对二.填空题6.满足等式 的整数 x 的个数是_12015+)()x（7.已知 a,b,c,d2,4，则 的最大值与最小值的和为_22()(abcd8.对于任意实数 x1,5,| +px+q|2,不超过 的最大整数是_2pq9.设 x= ,y= ,z= ,且 x+y+z=1，则
3、 的值为_22bca2cb2ac20152015xyz10.设 都是 9 元集合1,2,3,9的子集，已知| |为奇数，1in,| |为偶数，12,.nA AijA1ijn ，则 n 的最大值为_三解答题11.已知数列 为正项等比数列，且 =5,求 的最小值na3412a56a12.已知 f(x)为二次函数，且 a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)成正项等比数列，求证：f(a)=a13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角ABC 的三边满足 abc， 求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为 sincB14.从 O 出发的两条射线 ，已知直线 交 于 A、B
4、两点，且 =c(c 为定值),记 AB 的中点为12,ll12, AOBSX，求证：X 的轨迹为双曲线15.已知 (i=1,2,3,10)满足： =30， 0 时， = , 无解1+)x（ 1)(x（ +)x（ 12015()x（x0,则 =( ) =na12aq56a124q2120t设=5(t+ +2)5(2 )=20，等号成立当且仅当 t= t=1 q= ,故 的最小值25(1)ttt t56a为 2012.(方法一) 设 f(x)=m +nx+t(m0), a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)公比为 q(q0)2x2015 北大自主招生数学试题第 4 页 共 5 页则2223(
5、)()()famntaqfntaqf -并化简得到：ma(1- )+n(1-q)=q(1-q),- 并化简得到：maq(1- )+n(1-q)=q(1-q)2q 2q从而 q=1,f(a)=a(方法二) 由已知 = = ，假设 f(a)a)()fa()f则 = A(a,f(a),B(f(a),f(f(a),C(f(f(a),f(f(f(a)，)(faf()()-ff= A,B,C 三点共线 一条直线与抛物线交于三个点，矛盾ABkC故 f(a)=a13.证明：设正方形的边长为 x，ABC 外接圆半径为 R，当内接正方形如图所示时ccsinBaxxQ PNM CB A= = =1sincx1sin
6、cB2bacRc同理其他情况，内接正方形的边长分别为 = ， =2xbac3x2bcRa- = - = 0 ,1x2abcR2ac()()(Rc1x2同理 1于是 最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为x sinacB14.证明：设 2 为 的夹角，以 O 为原点， 的角平分线为 x 轴，建立直角坐标系，如图12,l 12,l2015 北大自主招生数学试题第 5 页 共 5 页xybaBAl2l1O X设 X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，则 A(acos,asin),B(bcos,-bsin)，于是 =abcosin2bxy2xy因 = absin2=c,于是 ab= ，X 的轨迹方程为 = ,轨迹是双曲线AOBS1sin2c2xysinc15.(反证法) 假设 ， 1，设 =1+ ( 0), =30 =20iiiib1210.a1210.b= =1+( )+ +21 与 21 矛盾120.20().()b120.3ba故 ，使得 1iai
