1、 EBACDEBACDBACD四点共圆文武光华数学工作室 潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点 ,若 ,ABCD、 、 、 A则 四点共圆ABCD、 、 、方法二 线段 交于 ,若 ,则 四点共圆AB、 EACBEDAC、 、 、方法三 线段 交于 ,若 ,ACBD、 EABCED则 四点共圆、 、 、方法四：若四边形 , ，ABCD180则 四点共圆A、 、 、DDO C O CBABAO CADBE COADBED CBA R QPEDCBA方法四、已知 是 内角或外角平分线， ,且 ,则ADBC ABC四点共圆ABC、 、 、证明 设 ,因为 ,所以 ，所以 ，A
2、ABCsinsinCADsiniB内角时 ,外角时 ，所以 四点共圆180BCB、 、 、托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD是圆O内接四边形,则ADBC+ABCD=ACBD证明 在AC上取点E,使EDC=ADB,因为ABD=ACD,所以ABDEDC,ADEBDC，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是ADBC+ABDC=AEBD+BDCE=ACBD例1、已知 点 在 内， , .DE、 BCADCBEC求证 .ACBSEAB CDEDBACKLJGFEDBAC证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作 关于EBCA、 、对称点 ,易知
3、 , ,于是 ,PRQ、 、 BRDPARDQDPRQ所以 ,得到 ,进而 .DCCB证明（二）作 外接圆交 延长线于 ,可知 ,得到SSCBAE ,所以 ,得到 ,ABEBEAES所以 .例2、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 是 内一点，点EBC在 上，且 , .则DBCAEDCBDC180AD证明 先证明 ,过 作 垂线 交 分别于ABECABC、 、 EFGL、 、 ABC、 、，直线 交于 ,取 中点 ,易知 四点共圆，FGL、 、 D、 JK、 、 、四点共圆，所以 (1),( 是 的内角E、 、 、 sinB、 )，因为 ，所以 ,于是 ,易知 四点共圆，圆BAELJ/L
4、AJFEG、 、 、HPCBAD2143PCBAD2143IHPCBAD心是 ， ,所以 ,进而 ，得到 是 中垂线，所以KBAEDCAFG/KLFKLFG，(1)得FLG下面我们证明 ，因为180Bsinsin,ACE,两式相除得sinsinABEEiiiBDB,因为sni iDCDBEC所以，360180AE证明（二）在 取 ,使得 ,所以 ,进而得到AHAPBHPADC ,易知 四点共圆，HPC、 、 、所以 180BD例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知， 是 底边 上任一点， 是形内一点，满足 ， 。DABCP1234求证： 。P证明作 外接圆交 分别于 ，易知 ,
5、所以BP、 AB、 HI、 APDC ，所以 （1）,易知 ,进而得到 AHDCDPBBGIDHB ACFIDHCABIDHCAB,所以 （2）,易知 四点共圆，所以ADIBADPIAHPI、 、 、,所以HIC, ,所以/I 334BADICHI,进而根据（1）、（2）得到 。PC例4、已知 是锐角三角形， 是 边上中线， 是 垂心，BCADBBC于点 ，求证HIADI四点共圆BC、 、 、证明（一）：延长 到 使得 ,易知四边形 是平行四边形，因为AG=DBC， ,所以 ,得到 ，所以CHABC90HBCI、 、 、 、四点共圆I、 、 、证明（二） ,所以 是 切线，所以HACDF()A
6、IHF,2DFI所以 ,得到 ,所以 四点共圆ACBICI、 、 、第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999D CBAPyy xx D CBAPGF DB CAP例5、已知 在 中， ,点 在 内部，点 是 中点，ABCAPBCDBC.CBP求证 .180D证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设 , ,ACPB, , , ,因为 ,可知PAPBsinsiP，可知 ,（1）， ,可知 得到sinsinyx siniyx（2），根据（1）、（2）得 ，即iii180。80BPDAC证明(二)（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长 CP交以 为圆心， 为半径的圆于 ,直线 交 于 ,ABFAB
7、G, ,因此 ,于是 在 上，FCPGPC ,所以 ,可知 ,GADBPD即 ,得证180BDFF EDMOCBA PFEDMOCBASNF EDM CBA例6、已知 是 边 中点， 交 外接圆 于 ,MABCAMBCOD过点 作 交 于 ,在 上取点 ,使得 .D/EOEDFA求证 AFC证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）因为 ,点 是 中点，所以 是调和四边形，易知直线 、/BCMABECA过点 切线共点，得到 平分 ,B、 ,因此 是 旁心，进而1902ECFAEOPEFMF.证明（二）因为 是 边 中点，所以 ,得到 ,易知BABDCSABDC是等腰梯形，所以 ,根据托勒密
8、定理可知CEDE,得到 ，2+=2ACM EBMAAEC,所以 ，所以 ,可知 ,取 中点 ,同理可BMABDACDS得,所以 与 交点设为 ,则 为 中点，所以ACSECSNAF,于是/NFNFJF EDM CBAO1 OO2DB CA O 1OO2DB CAEO1O O2DACB证明（三）（田开斌老师）作 交 于 ，所以 ,/CJBDAJCBDE,JCEBDE,所以909090AFAE四点共圆，因为 ,所以J、 、 、 JF例7、 已知 是 角平分线交 于 ， 外心分别是DBCBDC、 、,求证12、 、 12=证明易知 11 19090902AADAA， ,所以 （1），又O 22OBO
9、12=O，于是 ，所以1DC、 1+80DCB四点共圆，根据（1）得到2A、 、 、 2=证明（二）记 三角 ，设直线 交于 ，ABC、 、 12BOC、 E2BCAO,同理 ,(90)CD(90)2A所以 ， ，E1OD、12+=8B所以 四点共圆得到、 、 、 12OEPF OCA DBGKEPF OCA DBGIO CABDIO CAB例8、已知 、 交于 ,四边形 是平行四边形， 在 上， 交POB、 ACCOPFBCA于 ,直线 交 于 .FCG求证 四点共圆ED、 、 、证明 延长 交 于点 ,连接 ，易知 是等腰梯形， 是等腰梯DAPKEB、 AKEDKEC形， ,所以 四点共圆
10、，因此CFGBFGC、 、 、五点共圆,进而 四点共圆KE、 、 、 、 D、 、 、例9、已知 分别是 外心，内心，求证 的充要条件是OI、 OI,2AB证明 延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，ABDC+ACBD=ADBC(1),因为OIAI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)BD=BC2DI,因为BID=IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，若O，I分别是ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证 OIAIMLED CBAPNMLED CBAPP BAT OISRQP BAT OIS证明方法是一样的例10、 为 外接圆上一点， 在 上的射影为 .点 分PABCPBCA、 DE、 LM、别是 中点。证明 .DE、 DELM证明 取 中点 ，连接 ,易知 ，所以 ,ANLAP、 、 、 DAPEDBA所以 ,可知 ,所以DPLEMEDL第十题、已知 是 边 中点， 交 外接圆 于 ,BCMBCO过点 作 交 于 ,在 上取点 ,使得 ./OAFA求证 AFE例11、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） 、 外切于 , 弦 切 于 ,点 是 延长线上一点,OISBITPI求证 充要条件是 .（2014 6 8 8：49于镇江大港中学）TSP
