1、理科数学试题 第 1 页（共 11 页）绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带
2、、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 2iA B C D43i543i534i534i52已知集合 ，则 中元素的个数为2(,)|,xyxyZAA9 B8 C5 D43函数 的图象大致为2e()xf4已知向量 ， 满足 ， ，则ab|1ab(2)abA4 B3 C2 D05双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为2(0,)xy3A B C Dyx2yx32yx6在 中， ， ， ，则C 5cos215ABA B C D43095理科数学试题 第 2 页（共 11 页）7为计算 ，设计了右侧的1123490S
3、程序框图，则在空白框中应填入A iB C 3D 4i8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 ”，如 在不超过 30 的素数中，3072随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A B C D11415189在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角1CDAB13A1AB的余弦值为A B C D15565210若 在 是减函数，则 的最大值是()cosinfxx,aaA B C D423411已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，()fx(,)(1)()fxf(1)2f则 123)50ffA B0 C2 D5
4、05012已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在1F221(0)xyCab： ACP过 且 斜 率 为 的 直 线 上 ， 为 等 腰 三 角 形 ， ， 则 的 离 心 率3612PF 120FP为A B C D23234二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 在点 处的切线方程为_ln(1)yx(0,)14若 满足约束条件 则 的最大值为 _, ,235,yx zxy15已知 ， ，则 _sinco1sin0sin()开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11TTi结 束是 否理科数学试题 第 3 页（共 11 页）16
5、已知圆锥的顶 点 为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为SASB78SA45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_ AB 51三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17 （12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna17a315S（1）求 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值nnS18 （12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图y为了预测该地区 2018 年的环
6、境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回yt归模型根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型：t1,27；根据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立30.415yt t,模型： 97.（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由19 （12 分）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，24Cyx： F(0)klCAB|8AB（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程AB20 （12 分）如图，在
7、三棱锥 中， ，PC2ABPA O CB M理科数学试题 第 4 页（共 11 页）， 为 的中点4PABCOAC（1）证明： 平面 ；PB（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的MMPAC30PAM正弦值21 （12 分）已知函数 2()exfa（1）若 ，证明：当 时， ；0 ()1fx（2）若 在 只有一个零点，求 ()fx,)a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方xOyC2cos,4inxy
8、l程为 （ 为参数） 1cos,2inxtyt（1）求 和 的直角坐标方程；Cl（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率l (1,2)l23选修 45：不等式选讲 （10 分）设函数 ()|2|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；a()0f（2）若 ，求 的取值范围()1f绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1D 2A 3B 4B 5A 6A理科数学试题 第 5 页（共 11 页）7B 8C 9C 10A 11C 12D二、填空题13 2yx149 15 1216 402三、解答题17解：（1）设 na的公差为 d，由题意得 13
9、5ad由 7得 d=2所以 n的通项公式为 29n（2）由（1）得 28(4)16S所以当 n=4 时， n取得最小值，最小值为1618解：（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.415926.1y(亿元)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为7.(亿元) （2）利用模型得到的预测值更可靠理由如下：（）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.415yt上下这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010 年相对 2009 年的环境基础设
10、施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 917.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠（）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 2261 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理说明理科数学试题 第 6 页（共 11 页）利用模型得到的预测值更可靠以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理
11、理由均可得分19解：（1）由题意得 (1,0)F，l 的方程为 (1)0ykx设 12(,)AyxB，由 2,4k得 22(4)0kx2160k，故 12kx所以 1224|()()kABFx由题设知248k，解得 k（舍去） ， 1因此 l 的方程为 1yx（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为(3)yx，即 5yx设所求圆的圆心坐标为 0(,)，则0220,(1)(1)6.yx解得 03,2xy或 01,6.因此所求圆的方程为 2(3)()x或 22()()14xy20解：（1）因为 4APC， O为 AC的中点，所以 OPAC，且 3连结 OB因
12、为 2，所以 B 为等腰直角三角形，且 ， 1由 22P知 PO理科数学试题 第 7 页（共 11 页）由 ,OPBAC知 PO平面 ABC（2）如图，以 为坐标原点，ur的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系xyz由已知得 (0,)(2,0)(,)(0,2)(,3),(0,23),OBACPAur取平面 PAC的法向量 ur设 (,2)()Maa，则 (,4)Maur设平面 的法向量为 (,)xyzn由 0,APurrn得 230(4)a，可取(34),)a，所以 223()cos,4OBaaurn由已知得3|,|2r所以 22|4|3=()a解得 4a（舍去） ， 43a所以 83,)n
13、又 (0,23)PCur，所以 cos,4PCurn所以 PC与平面 AM所成角的正弦值为 4理科数学试题 第 8 页（共 11 页）21解：（1）当 a时， ()1fx等价于2(1)e0x设函数2()eg，则22)e(1)exxg 当 x时， 0x，所以 ()x在 ,)单调递减而 (0)，故当 时， 0，即 (1fx（2）设函数2()1exhxa()f在 ,只有一个零点当且仅当 ()hx在 ,)只有一个零点（i）当 0a时， ()x， ()没有零点；（ii）当 时， 2exha当 (,2)x时， ()x；当 (,)时， ()0hx所以 h在 0单调递减，在 单调递增故 24()1ea是 ()
14、hx在 0,)的最小值理科数学试题 第 9 页（共 11 页）若 (2)0h，即2e4a， ()hx在 0,)没有零点；若 ()，即2， ()在 ,)只有一个零点；若 (2)0h，即2e4a，由于 (0)1h，所以 ()hx在 0,2有一个零点，由（1）知，当 x时， 2x，所以333424616() 10e()()aah a故 x在 ,有一个零点，因此 hx在 (,)有两个零点综上， ()f在 0,)只有一个零点时，2e4a22 解：（1）曲线 C的直角坐标方程为2146xy当 cos0时， l的直角坐标方程为 tan2tanx，当 时， 的直角坐标方程为 1（2）将 l的参数方程代入 C的
15、直角坐标方程，整理得关于 t的方程2(13cos)4(cosin)80tt因为曲线 截直线 l所得线段的中点 (1,2在 C内，所以有两个解，设为 1t， 2，则120t又由得 1224(cosin)3t，故 cosin0，于是直线 l的斜率tank23解：理科数学试题 第 10 页（共 11 页）（1）当 a时，24,1,()6,.xf可得 ()0fx的解集为 |23x（2） 等价于 |4a而 |xa，且当 2x时等号成立故 ()1fx等价于 |2|4a由 |4可得 6或 a，所以 的取值范围是 ,6,)21（12 分）已知函数 2()exfa（1）若 ，证明：当 0时， ()1fx；（2）若 ()fx在 ,)只有一个零点，求 a解：（1） ()e2xf， ()e2xf当 lnx时， 0f，当 ln时， ()0fx，所以 ()fx在 ,ln2)单调递减，在 (2,)单调递增，故 ()2lnfxf， 在 ,单调递增因为 0x，所以 ()01f（2）当 时，设 2exga，则 2()()fxg， fx在 (0,)只有一个零点等价于 ()gx在 0,)只有一个零点3e2，当 2x时， ()0gx，当 2时， ()0gx，所以 ()gx在(0,2)单调递减，在 (,)单调递增，故 e4a若2e4a，则 0gx， (在 ,)没有零点
