《应用泛函分析》习题解答.doc

1、1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3设 是赋范空间 中的 Cauchy 列，证明 有界，即 。kxkxkxsup证明： ， ，当 时，有 ，0N0,nmmnmn不妨设 ，则 。取 ，则有n0, Nx0，令 ，则0 ,0x ,a021Nxc。1 ,cn6设 是 Banach 空间， 中的点列满足 （此时称级数 绝对1kx1k收敛） ，证明存在 ，使 （此时记 为 ，即 ）.xlimkn 1kxkx证明：令 ，则 。由于 绝nky1 pnkpnkpxy1 1k对收敛，则它的一般项 。因此 ，总 ，当 时，有0kx00N0,，所以 是 中的 Cauchy 列，又因为 是 Banach

2、 空间，则npn必存在 ，使得 。x11limkkx9 （Hamel 基）设 是线性空间 的非空子集，若 中任意多个元素都是线性AA无关的，则称 是线性无关的。若 是线性无关的，且 ，则称 是spanA是的一个 Hamel 基。此时若 是无穷集，则称 是无穷维的；若 是有限集，则称 是有限维的，并定义 的维数为 中所含有的元素个数。通常用表示 的维数，并约定当 时， ，可以证明任何线性空dim00di间都存在 Hamel 基。证明酉空间 的维数为 ，并问当视 为实线性空间时，nCnC其维数是多少？证明：设 ， ，则有 。令nyxC, nyxC，则对任意的 ，必有 ，)010( 项共 项第 nk

3、ke ),(21xnkx1e因此 是空间 的基，则 。,2e nndim当视 为实线性空间时，可令基为 ，则对任意的,11niee，有 ，所以),(21nxxnkknkkxgx1 )(I)R(。ndiC10证明 ，这里 。,imbaba证明：取 ，只需证 线性无关。为此对,0)(tktxk,10x，令 。则 。因此必有0n1nkc 0!1 nnnnk cxc次 求 导，求该式求 导后有 。依次类推，有1kxc)(11，所以对任意的 ，都有 线性无关，01cn 0,0nx即 。,dimbaC第 二 节2.（点到集合的距离）设 是 的非空子集， 。定义 到 的距离为：AxA|inf),(yxx证明

4、：1) 是 的内点 ；0),(cd2) 是 的孤立点 ，且 ；0),(x3) 是 的外点 。x,x解：1）必要性： 是 的内点 ，使得A内 点 的 定 义A),(2，都有cxA),(cyxy0|infcyxA。0d充分性： ，使得 ，使得),(c距 离 的 定 义 c),(是 的内点。),x内 点 的 定 义 x2）必要性： 是 的孤立点 ，且 ，使得A孤 立 点 的 定 义 Ax),(xxA，且 ，使得 ，且x/),(距 离 的 定 义。0),(d充分性： ，且 ，使得0,xd距 离 的 定 义 ，使得 是 的孤/),(xxA),(xA孤 立 点 的 定 义 xA立点。3）必要性： 是 的外

5、点 ，使得 ，都外 点 的 定 义 ),(y有 。xy0|infyx距 离 的 定 义0xd充分性： ，使得 是 的外0),(Ad距 离 的 定 义 A),(外 点 的 定 义 xA点。3设 是 中的非空闭集，证明： 。x0),(xd解：必要性： ，使得xyy|infy。距 离 的 定 义 0),(Ad充分性： ，使得距 离 的 定 义0|infAxAkx。xk是 闭 集 7举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解： 。1)1,0,k8证明 。A证明：设 ，使得 。若 中有无穷项互异，则xkxxkk；否则有无穷多相取同一个值，则 ，由此可知： ，则 AAx。另一方面，由于 且 ，所以 。综上所

6、 述，有 。9证明：1） 的内部是含于 的最大开集，即A；|int B是 开 集 ， 且2） 的闭包是包含 的最小闭集，即 。|ABA是 闭 集 ， 且证明：1）设 是含于 的最大开集，则 。设GintGintx，使得 ，使得 。是 开 集G),(xG),(x内 点 的 定 义 int所以 。综上所述， ，则表明 的内部是含于 的最大开集。Aintit2）设 是包含 的最小闭集，且 。设 ，AAxkx使得 ，使得 ，所以 。综上xkGAkxk是 闭 集GG所述， ，则表明 的闭包是包含 的最小闭集。10利用习题 9 的结论证明：1） ，2） 。)int()(cc)(intc证明：1） 。 是开

7、集，而由习题 9 的结论可知，c)(A是含于 的最大开集，所以 。)int(cAc itcc此外，设 ，而 。由 ，使得)it(xx)()(x是 开 集)int(A3，使得 。 cxAint),(A),(x（1）而由 ，都有 ，此与（1）式矛盾，故cx，所以 。综上所述，有 。)(cc)(it )int()(cc2） 。这表明 是包含 的闭集，而由习题intnint9 的结论可知， 是包含 的最小闭集，所以 。)(cAc cc)(it)A此外，设 。由 ，都有xitcx)(ititx是 开 集int，都有 。特别有),(A,，因此取 ，所以有kkc,1kck,)1,(且 ，故 ，所以 。综上所

8、述，有xAx)(c )(int。)(intc12设 。试写出 ， 及)2,0(si0),2(|, xyxy)int(A的孤立点的全体。解：；sin),(|),()int xyxyA；)2,0(02| 的孤立点 。),(13设 、 、 均是 的子集，且 ，证明：BCCB1）若 在 中稠密，则 在 中稠密 ；AA2）若 不 中稠密，则 不在 中稠密。证明：1） 在 中稠密 ，存在 ，使得xAkxxkCB，存在 ，使得 在 中稠密。BxAkxxkAB2） 不在 中稠密 和 ，使得 和 ，AB),(CBx使得 不在 中稠密。),(C第 三 节2设 ， ，且 ，证明：:T:GD。)()(11D证明：设

9、xTx)()(1DGx；)()(11另一方面，设 T)(1)(xTGx。)()(11DT综上所述， 。)(1G4设 ， ，证明：1:Ex01） 在 处连续 只要 满足 ，则 ；0Ek0xk0Txk2） 在 处连续 对于任意 ，存在 ，使T。),(),(0Bx证明：1）必要性：若 ，且 对于任意 ，存在 ，使得当k0xk010N时，有 。再由 在 处连续 对于任意 ，存在0Nk),(10xT2，使得当 ， 。若取 ，则表明对于任意),(2，存在 ，当 时，有 ，因此 。2N,0k0Txk充分性： 对于任意 ，存在 ，使得当 时，有0xk0；),(k4对于任意 ，存在 ，使得当 时，有0Txk01

10、N1k，显然对于特定的 ，也存在 ，使得当 时，有),(1Nk。因此取 ，对于任意的 ，存在 ，k ),max(00使得当 ，有 ，所以 在 处连续。,0BT0x2）必要性： 在 处连续 对于 ，存在 ，使得当Tx时，有 。所以对于 ，都有),(0x),(0 ),(0Ty，因此 。y ),(0xx充分性：设 ，由条件可知，),(0,T，存在 ，使得当 时，都有 ，由 连续0),(0x的定义可知， 在 处连续。Tx5 （集合的边界）称集 为集合的边界，记为 ，并称 中的点为Aint A的边界点。证明：A1） ，即 的任何领域内既有 的点，又有 的点；cx c2） 且 。x0),(xd0),(cd

11、证明：1） 必要性： 且 。由 ，使得cxkx，存在 ，使得当 时，有 的任何领k0N0k),(k域内既有 的点。由 存在 ，且 ，存在 ，AcxcA1N使得当 时，有 的任何领域内既有 的点。1),(kxc充分性：显然成立。2） 必要性： 且 。由 ，使得cAkx，而 。由 ，使xk 0),(lim),(kkdx的 连 续 性 cc得 ，而 。ccdAA的 连 续 性充分性：由 ，使得0|inf),( AAyxxdAkxxk。x由 ，使得|i, ccyckk。所以， 。xx6验证例 4 中构造的泛函 满足题给条件。f已知： ， 和 是 中互不相交的非空闭集。),(),()21Fxdf12验证

12、：由于 ，且当0xd1),(),(21Fxd时， ； 时， 。1Fx()f2()f9证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明：（1）设 是闭集，不妨设 。令 ，则 是开F1),(|nxdnFGnG集，且 ，于是 。)1(nGF1n另一方面，设 ，即1nx)(x )1(,),(nxd的 连 续 性dn0),(d闭F。因此 。综上所述， 。因此闭x1n )(1的 可 列 交GFn集总可以表示为可列个开集之交。（2）利用（1）中的结论以及 de Morgan 公式，可得：。显然 是开集， 是闭集，这表明开集总)(的 可 列 并GFncc ccn5可以表示为可列个闭集

13、之并。10设 均是实赋范空间， 是连续映射，且满足可加性：对任意1,1:T，恒有 。证明： 是线性算子。 （提示：注意到非yx, yx)(零有理数 形如 （ ， 与 互质） ，先对有理数 说明rmn,nmr，然后利用连续性。 ）)(Tf证明：令 为（1）式。则在（1）式中，当 时，有Tyx 0yx；当 时，有 ，令此式为（2）式。此外利用（1）式0yx)(还可得： ，令此式为（3）式。又,)(n,13(mxT式 1),(mxT式)3(，且 ，有 ，),()mnQr0rr式)2(Q有 ，令此式为（4）式。r(由 在 中稠密 ， ，使得 。因此QRRnn)(li)xTxn连 续。rnrn(由 是线

14、性算子。Rxy,)第 四 节2设 表示定义于 上“直至 阶连续导数”的函数 的全体，按,baCk ,bak)(tx通常函数的加法与数乘， 是线性空间。对 ，Ck ,baCxk，其中 表示 ，则 成为赋范空间。证明)(mx0tikibta)(0tx)(t它是 Banach 空间。证明：（） 证明赋范空间。正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。设 ，则,baCyxk)()(max)(m0)(0 tyttytx iikibtiiit 。所以按此范数它是赋范空间。ikibtakibta )(0)(（）证明完备性。设 是 中的 Cauchy 列。则 ， ，当 时，有nx,Ck 0n0,n，

15、即 （）式。特别的，对于每m)(ax)(0ttiminkibt个 ， （）式都成立。所以 是 中的 Cauchy 列。于是i )(i,baCk使 ，所以 一致收敛到 。,bayi0)(niinbt ty)(txin)(tyi当 时有，0 ta)1(ta)1( dlimdli)(li)( nnnn xaxtt 牛 莱 公 式，所以 。ayd1 1)1(0ty同理可得：当 时，有 。最终有 ，所i )(ii ,)()(0bCtytkk以 。,)(0bCtk综上所述，它是 Banach 空间。5设 、 是赋范空间 的子集，且 ，证明：ABBA（） 若 是第二纲集，则 必是第二纲集；（） 若 是第一纲

16、集，则 必是第一纲集；证明：先证明（） 。 是第一纲集，则 ，其中 是稀疏集。令1nGn6，则 也是稀疏的。下面来证 。设 ，按 的定AGFnnF1nFAAxnF义必有 ，则 ；另一方面，设 ，则必存在 ，使1nx1n n0得 ，按 的定义有 ，所以 。由此可知： 。0 x1n 1n所以 必是第一纲集。A（） 若 必是第一纲集的话，按（）中的结论可知 必是第一纲集，此与BA是第二纲集矛盾，所以 是第一纲集。A6设 是赋范空间 中的闭集，且 不是稀疏集，证明 必包含 中某个闭球。证明： 不是稀疏集 存在 中某个开集 ，使得 在 中稠密。取AG，使得 ，所以有 。0,rxG),(rxBA闭),(r

17、xB7设 是赋范空间 的真闭子空间，证明 是 中稀疏集。A证明：由习题 6 的结论可知：如果 不是稀疏集，则 ，使得0,0rA),(0rxB。因此 ，有 ，则x),(0rxr，所以 ，此与 是 的真闭子空间矛盾。由此是 子 空 间0 可知： 是 中稀疏集。8证明 是 中的第一纲集。,baP,C证明：用 表示次数不超过 的多项式，则 是 的真闭子集，nn,baPn,C由习题 7 的结论可知 在 是稀疏的。又 ，这,n,ba1nba表明 是 中的第一纲集。,ba第 五 节1证明紧集必是完备子集。证明：设 是紧集，且 是 中的 Cauchy 序列。则 ， ，AkxA00N使得当 时，有 。又因为 是

18、紧集，则 及 ，0,Nlkl ikxA使得 。因此当 时，也有 。由此xi0iikxi 0可知： 收敛，且极限为 。则 是完备子集。kx2证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。证明：设 是紧集，且 是闭集。 ，有AABBkxAkx是 紧 集，使得 ， 子列 ，使得ikx0xikki 0xik是列紧的（1）式。B又因为 是闭集，则 （2）式。由（1） （2）式可知， 是紧集 紧集的闭子集是紧集。设 是紧集。 ，且 ，使得 ，且AAkx0xk是 紧 集Aik 1xik。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知 ，由此可知1x A10x是闭集。3证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。证明

19、：设 是列紧集。 ，由接触点的性质，存在 ，使得kx ky（1）式。 ，使得,kyxk Aky是 列 紧 i0i式)1(， 。因此 是列紧的。又 式闭集，则 ，所以Aik0xik A0x是紧集。74证明：若 是紧集， ，则 也是紧集。KK证明： 是紧集 ， 子列 ，使得 ，且kxikx0xikK， 子列 ，使得 ，且 是紧集。kxi 0i5证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。证明：设 是一列有限的紧集，记 。 ，则,21nA ni1APPkx必存在整数 ，使得 含有 的无穷多项，记为 。由)(jjkxji是紧集，则 的子列 ，使得 ，且 。因此jAikxjik0jij，都存在它的子列

20、，且 。所以紧集的有限并是Pkx 0ji紧集。设 是一列紧集，记 。 ，则对任意整数1|n1nAQQkx，都有 。由 是紧集，则 的子列 ，使得)(jjkxjikx，且 ，即 。因此 ，都存在0xik)(j 1nPP它的子列 ，且 。所以紧集的任意交是紧集。0ik6设 是 中一列不增的非空紧集，证明 。若将条件中“紧集”nK1nK改为“闭集” ，试问结论是否成立？证明：由 非空，可取 。再由题意知 ，则nnxK n2。显然 ，由 是紧集，则 的子列 ，)1(ixi 11l 1l)1(x使得 ，且 ；此外取 ，由 是紧集，)1n)( 21)(2xln2则 的子列 ，使得 ，且 。由收敛序列的极限

21、与其2l)2(nx)()2(xn2K子列的极限一致，则 ，且 。依此类推，当 时，)1( 1i有 ， 的子列 ，使得 ，且iiini xxl K,1)1( il)(inx)()(iinx。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则i)(。由此可知： ，则 。ii)()()2()1( 1nK1n7设 是 中的非空紧集，映射 连续，证明 是 中的紧集，A1:T)(AT即紧集的连续像仍是紧集。证明：设 是 中的序列，由像与原像的性质，可知 是ky)(T kx的原像，再由 是非空紧集，可知存在子列 ，而 是连续的，k 0ik则 ，因此 是 中的紧集。0yxiik)(18设 是 中的紧集，映射 连续，证明

22、在 上一致连续，即对A1:TA于任何 ，存在 ，当 ，且 时，恒有 。0A, yxTyx证明：用反证法。 ， ，当 ，且 时，恒0, 有 。不妨取 ，则 （）式。由于Tyxk1kyxk1是紧集 中的序列，则必存在子列 ，由（）式可知，kA0i。再由 的连续性，则 ，此与0i0TyTkii矛盾。所以 在 上一致连续。yxA9设 是 中的非空紧集，泛函 连续，证明 在 上有界，且R:ffA在 可达到其最大值和最小值。fA证明：由习题 7 结论可知， 是紧集，则 必有界。设 ，)()(f )(supxf则必存在一列 ，使得 。由 是紧集，则 及kxlimkkxf ik，使得 。00i8由 的连续性，

23、存在 及 ，使得 。由f )(ikxf)(0Aff)()(0xffik此可知： 。lmli xiik同理可证：存在 。AA lin 1ffff ikkkx11设 是 中的非空紧集， ，证明存在 使K0K0y。),(00dyx证明：显然泛函 连续，且 是非空紧集。再由R:，根据习题 9 的结论可知：必存在 ，使)|inf),(Kyx 0y得 。,(00第 六 节5设 是一组实数，满足条件 ，其中),21,(njiaj 1)(1, 2njiijija。证明代数方程组 对任何jiij,0 , 1bxainjji 都存在唯一解。RbT1)(n分析：代数方程组 等价于 ，其中),2( ,1nibxajj

24、i bAx， 。显然 ，证明解的唯一性等价于nijaAT),(n 证明映射 有唯一的不动点。IAbT证明：令 的映射为 ， 。R: xIbx)(1)(1, 2njiijija 112122 ),()( njjnjjnjj yxyayayxIyx njiijini njjjjiijnij jjiij ayxayxa 1,221122)(12 )()()( 。所以 。2)2(0 ,yxT上述推导过程中， （1）应用了许瓦尔兹不等式， （2）利用了条件。由 是压缩映射，且 是完备子空间，由压缩映射原理可知： 存在唯一的不TnRT动点。6已知 ，证明函数方程 在 上存在唯一的,0C)(sin21)(t

25、xt1,0连续解。证明：令 为： 。1,:T)(i)(ttT2)(sin2cossin)(i2)()( tyxyxytxtytx ma)(mascos 1,01,0ttt 。2)(ax21)(inmax,01,0 ytxytytt 所以 是 上的压缩映射，且 是完备的。由压缩映射原理T,C,C可知：映射 存在唯一的不动点 。1)(0t7设 是一组实数，满足 。证明无穷代数方程：),(jiaj |sup1iijja，对任何 必存在唯一解 。ibxjjii ,1 lbi)( lxi)(证明：令 ， ， 。方程组jia,A(kx1supjija9等价与。ibxajjii ,1令 为 。则对 和 有：

26、lT:A)(kx)(ky)(yy 1111 jijjjijjjiijjji ayaxa， 。xyjjjji1sup0由上述推导可知 是压缩 上的压缩映射，又 是完备的。所以 在 上有TllTl唯一的不动点。8 （第二类 Fredholm 方程解的存在唯一性）设有线性积分方程：，bsxtktxad)(,)(其中 ， 是参数，积分核 在 上连续，且满足：2L),(stk,ba，bastkd),(则上述积分方程对绝对值充分小的 ，在 中存在唯一解。 （提示：令),(2L， 。 ）1,|),(mxbatMabM证明：令 为： 。则:22LTbsxtktTxd)(,)()(21,d)(,)()( bab

27、a tystsystktytx 212)1(2 d)(),(d)(),( bababa tsxtktxst 。yxtstksyxtstk bababa 212121 d),(d)(d),( 上述推导过程中， （1）利用的 Holder 不等式。令 ，则,|,mxtM21221)(d)(abMskba 。显然，如果 ，则 。所以 是0T上的压缩映射，又因为 是完备的，所以 在,:22bLT,2L存在唯一的不动点。ba9 （Volterra 积分方程解的存在唯一性）设 在 上连续，则),(stk,baVolterra 积分方程： 对任意 及任何参d),()(xsttxbaC数 都存在唯一的连续解（

28、提示：令 ，映射 ,|),(mastM为,:CbaT。)(d()(t tsxkx然后用归纳法说明 。取1212 !/)(xntxTnnn 充分大使 。在利用定理 4。 ）n!/)(ab证明：令映射 为 ，且,:CT)(d(),)(tatsxk。|)(maxstkM利用数学归纳法：当 时，1n tbat sxsksxktt 12a1212 )()(,md)()(,)( 212a12d(,x atMxMsxsktabbt 10设 ，则：1211121 )!/()()()( xnatMtxTtxnnn )( 12xTtTn t nnbatnba sxTssxsk 12121 d)()(md()(),

29、(m tant nTxM)!1(a 。12!)(nt因此当 充分大时， 。所以 为!/)(0natMnnT上的压缩映射，又 是完备的，所以 在 上有,baC,bC,baC唯一的不动点。由书 P30 页上的定理 4 可知： 在 上有唯一的不动点。,a第 七 节2设 是 上的实函数，对 ，令)(t,ba,bx，证明 等价于 。, txT(aT,ba证明：充分性显然。下证必要性。令 ，则 ，由于1)0t )()0tTx，且 ，则 。,)(0Ctx,(aCT,(Ct3定义 为 ，再定义1,0,:10d)stx为 ，试问 与 是否可换（即 ）1,:S()(tSSTST？并求 ， ， 及 。TT注：定义域

30、空间中的范数为： ；值域空间中的范数为：10)sxt。)(max)(1,0ttt解： 。102d)()()( sxtTStxS。取 ，则)( sT 10t，因此 与 是不可换。)(2(00 tttST（1） ，所以)(max)(amax) 1,01,1, tttSx ttt ；又当 时， ，故 。综上所述，(0t)(0。（2） 10,1010,10 d)(ax)d()(axd)()( stsstsxtT tt，所以 ；又当 时，ss 10,aS，故 。综上所述， 。)(tx)(0tT（3） 102,010102,102 d)(max)d()(maxd stsstsxtTS tt，所以 ；又当 时，ss 10,)(ma S，故 。综上所述， 。tx)(20tTS TS（4） 10,1010,10 d)(axd)(axd)( ssxstsxtt，所以 ；又当sss 2(a1,10, 2S时， ，故 。)(tx)(0tx 1)(100tstxST综上所述， 。2ST