1、1泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第 一 节3设 是赋范空间 中的 Cauchy 列,证明 有界,即 。kxkxkxsup证明: , ,当 时,有 ,0N0,nmmnmn不妨设 ,则 。取 ,则有n0, Nx0,令 ,则0 ,0x ,a021Nxc。1 ,cn6设 是 Banach 空间, 中的点列满足 (此时称级数 绝对1kx1k收敛) ,证明存在 ,使 (此时记 为 ,即 ).xlimkn 1kxkx证明:令 ,则 。由于 绝nky1 pnkpnkpxy1 1k对收敛,则它的一般项 。因此 ,总 ,当 时,有0kx00N0,,所以 是 中的 Cauchy 列,又因为 是 Banach
2、 空间,则npn必存在 ,使得 。x11limkkx9 (Hamel 基)设 是线性空间 的非空子集,若 中任意多个元素都是线性AA无关的,则称 是线性无关的。若 是线性无关的,且 ,则称 是spanA是的一个 Hamel 基。此时若 是无穷集,则称 是无穷维的;若 是有限集,则称 是有限维的,并定义 的维数为 中所含有的元素个数。通常用表示 的维数,并约定当 时, ,可以证明任何线性空dim00di间都存在 Hamel 基。证明酉空间 的维数为 ,并问当视 为实线性空间时,nCnC其维数是多少?证明:设 , ,则有 。令nyxC, nyxC,则对任意的 ,必有 ,)010( 项共 项第 nk
3、ke ),(21xnkx1e因此 是空间 的基,则 。,2e nndim当视 为实线性空间时,可令基为 ,则对任意的,11niee,有 ,所以),(21nxxnkknkkxgx1 )(I)R(。ndiC10证明 ,这里 。,imbaba证明:取 ,只需证 线性无关。为此对,0)(tktxk,10x,令 。则 。因此必有0n1nkc 0!1 nnnnk cxc次 求 导,求该式求 导后有 。依次类推,有1kxc)(11,所以对任意的 ,都有 线性无关,01cn 0,0nx即 。,dimbaC第 二 节2.(点到集合的距离)设 是 的非空子集, 。定义 到 的距离为:AxA|inf),(yxx证明
4、:1) 是 的内点 ;0),(cd2) 是 的孤立点 ,且 ;0),(x3) 是 的外点 。x,x解:1)必要性: 是 的内点 ,使得A内 点 的 定 义A),(2,都有cxA),(cyxy0|infcyxA。0d充分性: ,使得 ,使得),(c距 离 的 定 义 c),(是 的内点。),x内 点 的 定 义 x2)必要性: 是 的孤立点 ,且 ,使得A孤 立 点 的 定 义 Ax),(xxA,且 ,使得 ,且x/),(距 离 的 定 义。0),(d充分性: ,且 ,使得0,xd距 离 的 定 义 ,使得 是 的孤/),(xxA),(xA孤 立 点 的 定 义 xA立点。3)必要性: 是 的外
5、点 ,使得 ,都外 点 的 定 义 ),(y有 。xy0|infyx距 离 的 定 义0xd充分性: ,使得 是 的外0),(Ad距 离 的 定 义 A),(外 点 的 定 义 xA点。3设 是 中的非空闭集,证明: 。x0),(xd解:必要性: ,使得xyy|infy。距 离 的 定 义 0),(Ad充分性: ,使得距 离 的 定 义0|infAxAkx。xk是 闭 集 7举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解: 。1)1,0,k8证明 。A证明:设 ,使得 。若 中有无穷项互异,则xkxxkk;否则有无穷多相取同一个值,则 ,由此可知: ,则 AAx。另一方面,由于 且 ,所以 。综上所
6、 述,有 。9证明:1) 的内部是含于 的最大开集,即A;|int B是 开 集 , 且2) 的闭包是包含 的最小闭集,即 。|ABA是 闭 集 , 且证明:1)设 是含于 的最大开集,则 。设GintGintx,使得 ,使得 。是 开 集G),(xG),(x内 点 的 定 义 int所以 。综上所述, ,则表明 的内部是含于 的最大开集。Aintit2)设 是包含 的最小闭集,且 。设 ,AAxkx使得 ,使得 ,所以 。综上xkGAkxk是 闭 集GG所述, ,则表明 的闭包是包含 的最小闭集。10利用习题 9 的结论证明:1) ,2) 。)int()(cc)(intc证明:1) 。 是开
7、集,而由习题 9 的结论可知,c)(A是含于 的最大开集,所以 。)int(cAc itcc此外,设 ,而 。由 ,使得)it(xx)()(x是 开 集)int(A3,使得 。 cxAint),(A),(x(1)而由 ,都有 ,此与(1)式矛盾,故cx,所以 。综上所述,有 。)(cc)(it )int()(cc2) 。这表明 是包含 的闭集,而由习题intnint9 的结论可知, 是包含 的最小闭集,所以 。)(cAc cc)(it)A此外,设 。由 ,都有xitcx)(ititx是 开 集int,都有 。特别有),(A,,因此取 ,所以有kkc,1kck,)1,(且 ,故 ,所以 。综上所
8、述,有xAx)(c )(int。)(intc12设 。试写出 , 及)2,0(si0),2(|, xyxy)int(A的孤立点的全体。解:;sin),(|),()int xyxyA;)2,0(02| 的孤立点 。),(13设 、 、 均是 的子集,且 ,证明:BCCB1)若 在 中稠密,则 在 中稠密 ;AA2)若 不 中稠密,则 不在 中稠密。证明:1) 在 中稠密 ,存在 ,使得xAkxxkCB,存在 ,使得 在 中稠密。BxAkxxkAB2) 不在 中稠密 和 ,使得 和 ,AB),(CBx使得 不在 中稠密。),(C第 三 节2设 , ,且 ,证明::T:GD。)()(11D证明:设
9、xTx)()(1DGx;)()(11另一方面,设 T)(1)(xTGx。)()(11DT综上所述, 。)(1G4设 , ,证明:1:Ex01) 在 处连续 只要 满足 ,则 ;0Ek0xk0Txk2) 在 处连续 对于任意 ,存在 ,使T。),(),(0Bx证明:1)必要性:若 ,且 对于任意 ,存在 ,使得当k0xk010N时,有 。再由 在 处连续 对于任意 ,存在0Nk),(10xT2,使得当 , 。若取 ,则表明对于任意),(2,存在 ,当 时,有 ,因此 。2N,0k0Txk充分性: 对于任意 ,存在 ,使得当 时,有0xk0;),(k4对于任意 ,存在 ,使得当 时,有0Txk01
10、N1k,显然对于特定的 ,也存在 ,使得当 时,有),(1Nk。因此取 ,对于任意的 ,存在 ,k ),max(00使得当 ,有 ,所以 在 处连续。,0BT0x2)必要性: 在 处连续 对于 ,存在 ,使得当Tx时,有 。所以对于 ,都有),(0x),(0 ),(0Ty,因此 。y ),(0xx充分性:设 ,由条件可知,),(0,T,存在 ,使得当 时,都有 ,由 连续0),(0x的定义可知, 在 处连续。Tx5 (集合的边界)称集 为集合的边界,记为 ,并称 中的点为Aint A的边界点。证明:A1) ,即 的任何领域内既有 的点,又有 的点;cx c2) 且 。x0),(xd0),(cd
11、证明:1) 必要性: 且 。由 ,使得cxkx,存在 ,使得当 时,有 的任何领k0N0k),(k域内既有 的点。由 存在 ,且 ,存在 ,AcxcA1N使得当 时,有 的任何领域内既有 的点。1),(kxc充分性:显然成立。2) 必要性: 且 。由 ,使得cAkx,而 。由 ,使xk 0),(lim),(kkdx的 连 续 性 cc得 ,而 。ccdAA的 连 续 性充分性:由 ,使得0|inf),( AAyxxdAkxxk。x由 ,使得|i, ccyckk。所以, 。xx6验证例 4 中构造的泛函 满足题给条件。f已知: , 和 是 中互不相交的非空闭集。),(),()21Fxdf12验证
12、:由于 ,且当0xd1),(),(21Fxd时, ; 时, 。1Fx()f2()f9证明开集总可以表示为可列个闭集之并,而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明:(1)设 是闭集,不妨设 。令 ,则 是开F1),(|nxdnFGnG集,且 ,于是 。)1(nGF1n另一方面,设 ,即1nx)(x )1(,),(nxd的 连 续 性dn0),(d闭F。因此 。综上所述, 。因此闭x1n )(1的 可 列 交GFn集总可以表示为可列个开集之交。(2)利用(1)中的结论以及 de Morgan 公式,可得:。显然 是开集, 是闭集,这表明开集总)(的 可 列 并GFncc ccn5可以表示为可列个闭集
13、之并。10设 均是实赋范空间, 是连续映射,且满足可加性:对任意1,1:T,恒有 。证明: 是线性算子。 (提示:注意到非yx, yx)(零有理数 形如 ( , 与 互质) ,先对有理数 说明rmn,nmr,然后利用连续性。 ))(Tf证明:令 为(1)式。则在(1)式中,当 时,有Tyx 0yx;当 时,有 ,令此式为(2)式。此外利用(1)式0yx)(还可得: ,令此式为(3)式。又,)(n,13(mxT式 1),(mxT式)3(,且 ,有 ,),()mnQr0rr式)2(Q有 ,令此式为(4)式。r(由 在 中稠密 , ,使得 。因此QRRnn)(li)xTxn连 续。rnrn(由 是线
14、性算子。Rxy,)第 四 节2设 表示定义于 上“直至 阶连续导数”的函数 的全体,按,baCk ,bak)(tx通常函数的加法与数乘, 是线性空间。对 ,Ck ,baCxk,其中 表示 ,则 成为赋范空间。证明)(mx0tikibta)(0tx)(t它是 Banach 空间。证明:() 证明赋范空间。正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。设 ,则,baCyxk)()(max)(m0)(0 tyttytx iikibtiiit 。所以按此范数它是赋范空间。ikibtakibta )(0)(()证明完备性。设 是 中的 Cauchy 列。则 , ,当 时,有nx,Ck 0n0,n,
15、即 ()式。特别的,对于每m)(ax)(0ttiminkibt个 , ()式都成立。所以 是 中的 Cauchy 列。于是i )(i,baCk使 ,所以 一致收敛到 。,bayi0)(niinbt ty)(txin)(tyi当 时有,0 ta)1(ta)1( dlimdli)(li)( nnnn xaxtt 牛 莱 公 式,所以 。ayd1 1)1(0ty同理可得:当 时,有 。最终有 ,所i )(ii ,)()(0bCtytkk以 。,)(0bCtk综上所述,它是 Banach 空间。5设 、 是赋范空间 的子集,且 ,证明:ABBA() 若 是第二纲集,则 必是第二纲集;() 若 是第一纲
16、集,则 必是第一纲集;证明:先证明() 。 是第一纲集,则 ,其中 是稀疏集。令1nGn6,则 也是稀疏的。下面来证 。设 ,按 的定AGFnnF1nFAAxnF义必有 ,则 ;另一方面,设 ,则必存在 ,使1nx1n n0得 ,按 的定义有 ,所以 。由此可知: 。0 x1n 1n所以 必是第一纲集。A() 若 必是第一纲集的话,按()中的结论可知 必是第一纲集,此与BA是第二纲集矛盾,所以 是第一纲集。A6设 是赋范空间 中的闭集,且 不是稀疏集,证明 必包含 中某个闭球。证明: 不是稀疏集 存在 中某个开集 ,使得 在 中稠密。取AG,使得 ,所以有 。0,rxG),(rxBA闭),(r
17、xB7设 是赋范空间 的真闭子空间,证明 是 中稀疏集。A证明:由习题 6 的结论可知:如果 不是稀疏集,则 ,使得0,0rA),(0rxB。因此 ,有 ,则x),(0rxr,所以 ,此与 是 的真闭子空间矛盾。由此是 子 空 间0 可知: 是 中稀疏集。8证明 是 中的第一纲集。,baP,C证明:用 表示次数不超过 的多项式,则 是 的真闭子集,nn,baPn,C由习题 7 的结论可知 在 是稀疏的。又 ,这,n,ba1nba表明 是 中的第一纲集。,ba第 五 节1证明紧集必是完备子集。证明:设 是紧集,且 是 中的 Cauchy 序列。则 , ,AkxA00N使得当 时,有 。又因为 是
18、紧集,则 及 ,0,Nlkl ikxA使得 。因此当 时,也有 。由此xi0iikxi 0可知: 收敛,且极限为 。则 是完备子集。kx2证明紧集的闭子集是紧集,紧集必是闭集。证明:设 是紧集,且 是闭集。 ,有AABBkxAkx是 紧 集,使得 , 子列 ,使得ikx0xikki 0xik是列紧的(1)式。B又因为 是闭集,则 (2)式。由(1) (2)式可知, 是紧集 紧集的闭子集是紧集。设 是紧集。 ,且 ,使得 ,且AAkx0xk是 紧 集Aik 1xik。由收敛序列的极限与其子列的极限一致,可知 ,由此可知1x A10x是闭集。3证明列紧集的闭包是列紧集,因而列紧集的闭包是紧集。证明
19、:设 是列紧集。 ,由接触点的性质,存在 ,使得kx ky(1)式。 ,使得,kyxk Aky是 列 紧 i0i式)1(, 。因此 是列紧的。又 式闭集,则 ,所以Aik0xik A0x是紧集。74证明:若 是紧集, ,则 也是紧集。KK证明: 是紧集 , 子列 ,使得 ,且kxikx0xikK, 子列 ,使得 ,且 是紧集。kxi 0i5证明紧集的有限并是紧集,紧集的任意交是紧集。证明:设 是一列有限的紧集,记 。 ,则,21nA ni1APPkx必存在整数 ,使得 含有 的无穷多项,记为 。由)(jjkxji是紧集,则 的子列 ,使得 ,且 。因此jAikxjik0jij,都存在它的子列
20、,且 。所以紧集的有限并是Pkx 0ji紧集。设 是一列紧集,记 。 ,则对任意整数1|n1nAQQkx,都有 。由 是紧集,则 的子列 ,使得)(jjkxjikx,且 ,即 。因此 ,都存在0xik)(j 1nPP它的子列 ,且 。所以紧集的任意交是紧集。0ik6设 是 中一列不增的非空紧集,证明 。若将条件中“紧集”nK1nK改为“闭集” ,试问结论是否成立?证明:由 非空,可取 。再由题意知 ,则nnxK n2。显然 ,由 是紧集,则 的子列 ,)1(ixi 11l 1l)1(x使得 ,且 ;此外取 ,由 是紧集,)1n)( 21)(2xln2则 的子列 ,使得 ,且 。由收敛序列的极限
21、与其2l)2(nx)()2(xn2K子列的极限一致,则 ,且 。依此类推,当 时,)1( 1i有 , 的子列 ,使得 ,且iiini xxl K,1)1( il)(inx)()(iinx。由收敛序列的极限与其子列的极限一致,则i)(。由此可知: ,则 。ii)()()2()1( 1nK1n7设 是 中的非空紧集,映射 连续,证明 是 中的紧集,A1:T)(AT即紧集的连续像仍是紧集。证明:设 是 中的序列,由像与原像的性质,可知 是ky)(T kx的原像,再由 是非空紧集,可知存在子列 ,而 是连续的,k 0ik则 ,因此 是 中的紧集。0yxiik)(18设 是 中的紧集,映射 连续,证明
22、在 上一致连续,即对A1:TA于任何 ,存在 ,当 ,且 时,恒有 。0A, yxTyx证明:用反证法。 , ,当 ,且 时,恒0, 有 。不妨取 ,则 ()式。由于Tyxk1kyxk1是紧集 中的序列,则必存在子列 ,由()式可知,kA0i。再由 的连续性,则 ,此与0i0TyTkii矛盾。所以 在 上一致连续。yxA9设 是 中的非空紧集,泛函 连续,证明 在 上有界,且R:ffA在 可达到其最大值和最小值。fA证明:由习题 7 结论可知, 是紧集,则 必有界。设 ,)()(f )(supxf则必存在一列 ,使得 。由 是紧集,则 及kxlimkkxf ik,使得 。00i8由 的连续性,
23、存在 及 ,使得 。由f )(ikxf)(0Aff)()(0xffik此可知: 。lmli xiik同理可证:存在 。AA lin 1ffff ikkkx11设 是 中的非空紧集, ,证明存在 使K0K0y。),(00dyx证明:显然泛函 连续,且 是非空紧集。再由R:,根据习题 9 的结论可知:必存在 ,使)|inf),(Kyx 0y得 。,(00第 六 节5设 是一组实数,满足条件 ,其中),21,(njiaj 1)(1, 2njiijija。证明代数方程组 对任何jiij,0 , 1bxainjji 都存在唯一解。RbT1)(n分析:代数方程组 等价于 ,其中),2( ,1nibxajj
24、i bAx, 。显然 ,证明解的唯一性等价于nijaAT),(n 证明映射 有唯一的不动点。IAbT证明:令 的映射为 , 。R: xIbx)(1)(1, 2njiijija 112122 ),()( njjnjjnjj yxyayayxIyx njiijini njjjjiijnij jjiij ayxayxa 1,221122)(12 )()()( 。所以 。2)2(0 ,yxT上述推导过程中, (1)应用了许瓦尔兹不等式, (2)利用了条件。由 是压缩映射,且 是完备子空间,由压缩映射原理可知: 存在唯一的不TnRT动点。6已知 ,证明函数方程 在 上存在唯一的,0C)(sin21)(t
25、xt1,0连续解。证明:令 为: 。1,:T)(i)(ttT2)(sin2cossin)(i2)()( tyxyxytxtytx ma)(mascos 1,01,0ttt 。2)(ax21)(inmax,01,0 ytxytytt 所以 是 上的压缩映射,且 是完备的。由压缩映射原理T,C,C可知:映射 存在唯一的不动点 。1)(0t7设 是一组实数,满足 。证明无穷代数方程:),(jiaj |sup1iijja,对任何 必存在唯一解 。ibxjjii ,1 lbi)( lxi)(证明:令 , , 。方程组jia,A(kx1supjija9等价与。ibxajjii ,1令 为 。则对 和 有:
26、lT:A)(kx)(ky)(yy 1111 jijjjijjjiijjji ayaxa, 。xyjjjji1sup0由上述推导可知 是压缩 上的压缩映射,又 是完备的。所以 在 上有TllTl唯一的不动点。8 (第二类 Fredholm 方程解的存在唯一性)设有线性积分方程:,bsxtktxad)(,)(其中 , 是参数,积分核 在 上连续,且满足:2L),(stk,ba,bastkd),(则上述积分方程对绝对值充分小的 ,在 中存在唯一解。 (提示:令),(2L, 。 )1,|),(mxbatMabM证明:令 为: 。则:22LTbsxtktTxd)(,)()(21,d)(,)()( bab
27、a tystsystktytx 212)1(2 d)(),(d)(),( bababa tsxtktxst 。yxtstksyxtstk bababa 212121 d),(d)(d),( 上述推导过程中, (1)利用的 Holder 不等式。令 ,则,|,mxtM21221)(d)(abMskba 。显然,如果 ,则 。所以 是0T上的压缩映射,又因为 是完备的,所以 在,:22bLT,2L存在唯一的不动点。ba9 (Volterra 积分方程解的存在唯一性)设 在 上连续,则),(stk,baVolterra 积分方程: 对任意 及任何参d),()(xsttxbaC数 都存在唯一的连续解(
28、提示:令 ,映射 ,|),(mastM为,:CbaT。)(d()(t tsxkx然后用归纳法说明 。取1212 !/)(xntxTnnn 充分大使 。在利用定理 4。 )n!/)(ab证明:令映射 为 ,且,:CT)(d(),)(tatsxk。|)(maxstkM利用数学归纳法:当 时,1n tbat sxsksxktt 12a1212 )()(,md)()(,)( 212a12d(,x atMxMsxsktabbt 10设 ,则:1211121 )!/()()()( xnatMtxTtxnnn )( 12xTtTn t nnbatnba sxTssxsk 12121 d)()(md()(),
29、(m tant nTxM)!1(a 。12!)(nt因此当 充分大时, 。所以 为!/)(0natMnnT上的压缩映射,又 是完备的,所以 在 上有,baC,bC,baC唯一的不动点。由书 P30 页上的定理 4 可知: 在 上有唯一的不动点。,a第 七 节2设 是 上的实函数,对 ,令)(t,ba,bx,证明 等价于 。, txT(aT,ba证明:充分性显然。下证必要性。令 ,则 ,由于1)0t )()0tTx,且 ,则 。,)(0Ctx,(aCT,(Ct3定义 为 ,再定义1,0,:10d)stx为 ,试问 与 是否可换(即 )1,:S()(tSSTST?并求 , , 及 。TT注:定义域
30、空间中的范数为: ;值域空间中的范数为:10)sxt。)(max)(1,0ttt解: 。102d)()()( sxtTStxS。取 ,则)( sT 10t,因此 与 是不可换。)(2(00 tttST(1) ,所以)(max)(amax) 1,01,1, tttSx ttt ;又当 时, ,故 。综上所述,(0t)(0。(2) 10,1010,10 d)(ax)d()(axd)()( stsstsxtT tt,所以 ;又当 时,ss 10,aS,故 。综上所述, 。)(tx)(0tT(3) 102,010102,102 d)(max)d()(maxd stsstsxtTS tt,所以 ;又当 时,ss 10,)(ma S,故 。综上所述, 。tx)(20tTS TS(4) 10,1010,10 d)(axd)(axd)( ssxstsxtt,所以 ;又当sss 2(a1,10, 2S时, ,故 。)(tx)(0tx 1)(100tstxST综上所述, 。2ST