1、靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 1第 1 课时 二次函数的概念【学习目标】1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2探索并归纳二次函数的定义；3能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备1函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。2一次函数的关系式为 y= (其中 k、b 是常数，且 k0)
2、；正比例函数的关系式为 y (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为 y= (k 是 的常数) 。二、解读教材数学知识源于生活3某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子。假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 y= 。4如果你到银行存款 100 元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能
3、写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。5能否根据刚才推导出的式子 y=-5x2+100x+60000 和 y=100x2+200x+100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如 yax 2+bx+c(a，b ，c 是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数。 它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。例 1 下列函数中，哪些是二次函数？(1) 23xy (2) 12xy(3) (4) 5ts(5) (6)2)(xy 20r即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1) 2 (2) 5213xy(3) )1(xy 注意：(1)关于 x 的代数式一定是整式，其中 a，b
4、，c 为常数且 a0；(2)等式的右边 最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 2(4) 132）（ xy (5) caxy2 (6) 12xs 三、挖掘教材6对二次函数定义的深刻理解及运用例 2 若函数 是二次函数，求 k 的值。123kxyk分析：x 的最高次数等于 2，即 k2-3k+2=2，求出 k 的值即可。解：即时练习：若函数 是二次函数，则 k 的值为 。1)3(2xyk四、反思小结1我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2定义：一般地，形如 y=ax+
5、bx+c(a，b，c 是常数，a0) 的函数叫做 x 的二次函数。3二次函数 y=ax+bx+c(a，b，c 是常数，a0)的几种不同表示形式：(1) y=ax (a0)； (2) y=ax+c (a0 且 c0)； (3) y=ax+bx (a0 且 b0)。4二次函数定义的核心是关键字“二” ，即必须满足自变量最高次项的指数为_，且_项系数不为_的整式。【达标测评】1下列函数不属于二次函数的是（ ）Ay =(x1)(x+2) By= 21(x+1)2 Cy=2( x+3)22x 2 Dy=1 3x22在边长为 6 cm 的正方形中间剪去一个边长为 x cm(x0 ）,y 随 x 的增大而
6、；在对称轴的右侧（x0 x0)y=ax2(a0 时，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。102mxy10已知抛物线 y=ax2 经过点 A（-2，-8） ， （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（ 3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。四、反思小结二次函数的 yax 2（a0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。【达标测评】1抛物线 y=2x2 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着 x 的增大而增大；在 侧,y 随着 x 的增大而减小。当 x= 时，函数 y 的值最小,最小值是 。抛物线 y=2x2 的图象在 方（除顶点
7、外） 。2函数 yx 2 的顶点坐标为 ，若点（a，4）在其图象上，则 a 的值是 。3函数 yx 2 与 y-x 2 的图象关于 对称，也可以认为 y-x 2 是函数 yx 2 的图象绕 旋转得到的。4求出函数 y=x+2 与函数 yx 2 的图象的交点坐标 。5若 a1，点（a-1 ，y 1） ， （a，y 2） ， （a+1 ，y 3）都在函数 yx 2 的图象上，判断 y1，y 2，y 3 的大小关系是 xyO靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 5。第 3 课时 二次函数 yax 2+k 的图象与性质【学习目标】1会用描点法作出函数 yax 2+k 的图象
8、，能根据图象认识和理解二次函数 yax 2+k 的性质；2理解二次函数 yax 2+k 中 a 和 k 对函数图象的影响；3理解二次函数 yax 2 与 yax 2+k 的关系。【学习重点】理解二次函数 yax 2+k 的性质。【学习难点】理解二次函数 yax 2 与 yax 2+k 的关系。【学习过程】一、学习准备 1画出两条抛物线的草图并填空。二、解读教材 2用描点法作出二次函数 y2x 2+1 的图像。x 0 y2x 2+1 小结：y2x 2+1 的图像是 ，且开口向 。对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。
9、顶点是：( ， )，且从图像看它有最 点，则函数 y 有最 值，即当 x= 时 y 有最 值是 。抛物线 yx 2 y-x 2开口方向对称轴在对称轴左侧， y 随 x 的增大而 。增减性在对称轴右侧， y 随 x 的增大而 。顶点坐标最值当 x=0 时，y max= 。xyOxyO教学后记靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 63在同一直角坐标系中，作出二次函数 y-x 2，y-x 2+2，y-x 2-2 的图像。小结：抛物线 yax 2+k 的开口方向由 决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下。对称轴是 ，当 a0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ，在对
10、称轴的右侧，y 随 x 的增大而 。 且函数 y 当 x=0 时 ymin= 。当 a054时，y 随 x 的增大而 。当 x= 时，y 有最 值为 。 三、挖掘教材-抛物线 yax 2+k 可以由抛物线 yax 2 经过向上（ k0）或向下(k0)y=ax2(a0)xyO靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 72.抛物线 y=ax2+k 可以由抛物线 y=ax2 经过向 （k0）或向 (k0)平移 个单位得到。【达标测评】1抛物线 y=-x2-5 可以看作是抛物线 经过向 平移 个单位得到。2抛物线 y=x2+4 的开口向 ，对称轴是 ，在对称轴左侧， y 随 x
11、 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ；顶点坐标是 ，当 x= 时，y 有最 值为 。3抛物线 y=-3x2 上有两点 A（x，-27 ） ，B （2，y） ，则 x= ，y= 。4抛物线 y=3x2 与直线 y=kx+3 的交点为（ 2，b） ，则 k= ， b= 。第4课时 二次函数 y=a(x-h)2和 ya(x-h) 2+k 的图象与性质【学习目标】1能够作出函数 y=a(x-h)2和 ya(x-h) 2+k 的图象，并能理解它与 yax 2的图象的关系，理解a，h ，k 对二次函数图象的影响；2能够正确说出二次函数的顶点式 ya(x-h) 2+k 图象的开口方向、对称轴
12、和顶点坐标。【学习重点】能够作出函数 y=a(x-h)2和 ya(x-h) 2+k 的图象，正确说出 ya(x-h) 2+k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。【学习过程】一、学习准备1说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。（1）y=2x （2）y=-2x+12请说出二次函数 y=ax+c 与 y=ax的关系。3我们已知 y=ax，y=ax+c 的图像及性质，现在同学们可能想探究 y=ax+bx 的图像，那我们就动手画图像。x y=x+x 列表、描点、连线。二、解读教材4由学习准备可知，我们如果知道一条抛物线的顶点坐标，那么画图像就比较简单，所以我们可以先配成完全平方式
13、结构。现在我们画二次函数 y=3(x-1)2+2 的图象在同一直角坐标系中作 y=3x， y=3(x-1) 2 ，y=3(x-1) 2+2的图像，并结合图像完成下表。函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值23xyy=ax2+k (a0)你画出这条抛物线的“尖”了吗？xyOxyO靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 8213）（ xy）（观察后得到：二次函数 y3x 2，y=3(x-1) 2，y=3(x-1) 2+2的图象都是抛物线并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数 y3x 2的图象向右平移1个单位，就得到函数 y=3(x-1)2的
14、图象；再向上平移2个单位，就得到函数 y=3(x-1)2+2的图象三、挖掘教材5抛物线的顶点式 ya(x-h) 2+k在前面的学习中你发现二次函数 ya(x-h) 2+k 中的 a，h，k 决定了图形什么？用自己的语言整理得：同桌交流看是否有遗漏！然后填写下表。 y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值a0a0即时练习：直接说出抛物线 y=-0.5x，y=-0.5x-1，y=-0.5（x+1） ，y=-0.5 （x+1）-1 的开口方向、对称轴、顶点坐标。6例 已知：抛物线 y=a(x-h)2+k 的形状及开口方向与 y=-2x2+1相同，当 x=2时，函数有最大值3，
15、求 a，h，k 的值。即时练习已知抛物线的顶点坐标是（3，5）且经过点 A（2，-5） ，请你求出此抛物线的解析式。7.例 二次函数 的顶点坐标是 ，把它的图像向右平移 2个单位再向下平移2个单位21yx此时得到的抛物线顶点坐标为 ，它的解析式为 。四、反思小结1一般地，平移二次函数 y=ax2的图象便可得到二次函数为 y=ax2+c，ya(x-h) 2，y=a(x-h) 2+k 的图象 （规律为：上正下负，右正左负）2二次函数的顶点式 ya(x-h) 2+k 的图象是轴对称图形，对称轴为 x=h,顶点坐标为(h,k),a 决定开口方向和大小，a0时，开口向上，有最小值 k； a0时，开口向下
16、，有最大值 k。【达标测评】y = ax2y = a(x h )2上下平移 左右平移左右平移 y = a( x h )2 + k 上下平移y = ax2 + k y=a(x-横) 2+纵靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 91指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。(1) y=2(x-3)2-5 (2) y=-0.5(x+1)2 (3) y=-0.75x2-1(4) y=2(x-2)2+5 (5) y=-0.5(x+4)2+2 (6) y=-0.75(x-3)22函数 y= x2的图象向 平移 个单位得到 y=x2+3 的图象；再向 平移 个单位得到 y(
17、x-1) 2+3 的图象。第 5 课时 二次函数 的图象与性质cbxay2【学习目标】1理解用配方法推导二次函数 的顶点坐标，对称轴公式的过程；2会用公式求二次函数 的顶点坐标，对称轴；x23会画二次函数 的图象，理解二次函数的性质。 cbay【学习重点】会用公式求二次函数 的顶点坐标，对称轴。2【学习难点】理解用配方法推导公式的过程。【课时类型】公式法则学习一、学习准备1理解记忆： khxay2)(开口方向 对称轴 顶点坐标0向上向下直线 hx（h，k）2二次函数 的顶点坐标是 ，对称轴是 。215(3)yx二、解读教材3公式推导二次函数 图象的顶点坐标，对称轴公式。cbxa2由上一节课，我
18、们看到一个二次函数通过配方化成顶点式 来研究了二次函数中的khxay2)(a、h 、k 对二次函数图象的影响。但我觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。那么这节课，我们就研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。例 1 求二次函数 图象的顶点坐标，对称轴。cbxay2解： x2横= =h，纵 = =k2ba24cba教学后记靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级 上课时间 姓名 10= 2()bcax= 22()bcaa= 24()bcax二次函数 的顶点坐标是（ ） ，对称轴是直线 。y2 24,bac2bxa4公式应用用公式求函数 的顶点坐标，对称轴。xay2(1)分别用配
19、方法，公式法确定下列二次函数的顶点坐标，对称轴并比较其解值。 213yx25yx5实际操作画二次函数 的图象cbxay2（2）已知：二次函数 463指出函数图象的顶点坐标，对称轴。画出所给函数的草图，并研究它的性质。三、挖掘教材二次函数 的性质cbxay26抛物线 （ ）通过配方可变形为 y=cbxay20224()bacax(1)开口方向：当 时，开口向 ；当 时，开口向 。0a(2)对称轴是直线 ；顶点坐标是 。(3)最大（小）值：当 ， 时，y min= ；a2bx24cb当 ， 时，y max= 。0a(4)增减性：当 时，对称轴左侧（ ） ，y 随 x 增大而 ；对称轴右侧（ ） ，y 随 x 增大而 0a2bx 2bxa；当 时，对称轴左侧（ ） ，y 随 x 增大而 ；对称轴右侧（ ） ，y 随 x 增大而 a；【达标测评】根据公式法指出下列抛物线的开口方向、顶点坐标，对称轴、最值和增减性。 42xy 142xy
