1、新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程 （4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0 时，应满足（a0）21.2 降次解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次
2、方程有四种解法：1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解为 x= m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。1.转化： 将此一元二次方程化为 ax2+bx+c=0 的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化 1： 将二次项系数化为 1 3.移项： 将常数项移到等号右侧 4.配方： 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方： 左右同时开平方 7.求解：
3、整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式 x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。21.3 实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程
4、解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等第二十二章 二次函数22.1 二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a 不为 0)。其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。一般的，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式 y=ax 2+bx+c(a0,a、b
5、、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ； 顶点式y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k 为常数)或 y=a(x-h) +k(a0,a、h、k 为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ax 的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式； 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x 轴有交点 A（x 1，0）和 B（x 2，0）的抛物线 ； 重要概念：a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0, 所以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要异号 xy可简单记忆为左同右
6、异，即当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时 即 ab 0 ） ，对称轴在 y 轴右。 事实上，b 有其自身的几何意义：抛物线与 y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的 斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。 决定抛物线与 y 轴交点的因素5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数6.抛物线与 x 轴交点个数 = b 2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 = b 2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。 = b 2-4ac0 时，抛物线与 x 轴没
7、有交点。当 a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值,当 ar) 两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆 n(n3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。4、正多
8、边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正 n 边形的对称轴有 n 条。(3)边数相同的正多边形相似。重点：正多边形的有关计算。知识讲解1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有 n 条边，那么，这个多边形叫正n 边形。 再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。2、正多边形与圆的关系。正多边形与圆有密切关系，把圆分成 n(n3)等份，依次连结分点所得的多边形是
9、这个圆的内接正 n 边形。相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而这个多边形就是正多边形。如：将圆 6 等分，即 ，则 ABBCCDDEEFFA。 观察A、B、C、D、E、F 所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，ABCDEF。所以，将一个圆 6 等分，依次连结各分点所得到的是O 的内接正六边形。3、正多边形的有关计算。(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心 O，正多边形的半径 Rn就是其外接圆的半径，正多边形的边心距 rn，正多边形的中心角 n，正多边形的边
10、长 an。(2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就是正 n 边形的中心角都等于 ；如果再作出正 n 边形各边的边心距，这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了 2n 个全等的直角三角形。如图：是一个正 n 边形 ABCD根据以上讲解，我们来分析 RtAOM 的基本元素：斜边 OA正 n 边形的半径 Rn；一条直角边 OM正 n 边形的边心距 rn；一条直角边 AM正 n 边形的边长 an的一半即 AM an；锐角AOM正 n 边形的中心角 n的一半即AOM ；锐角OAM正 n 边形内角的一半即OAM (n2)180；可以看到在这个直角三角形
11、中的各元素恰好反映了正 n 边形的各元素。因此，就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。4、正多边形的有关作图。(1)使用量角器来等分圆。由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形。(2)用尺规来等分圆。对于一些特殊的正 n 边形，还可以用圆规和直尺作出图形。正四、八边形。在O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。 再逐次平分各边所对的弧(即作AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正
12、多边形。正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在O 中，任画一条直径 AB，分别以 A、B 为圆心，以O 的半径为半径画弧与O 相交于 C、D 和 E、F，则 A、C、E、B、F、D 是O 的 6 等分点。 显然，A、E、F(或 C、B、D)是O 的 3 等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把O12 等分。5、正多边形的对称性。正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。如：正三角形、正方形。24.4 弧长和扇形面积
13、知识点 1、弧长公式因为 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C2 R，所以 1的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为 R 的圆中，n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式： ，说明：（1）在弧长公式中，n 表示 1的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度” ，例如，圆的半径R10，计算 20的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成 。（2）在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点 2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角为 1的
14、扇形面积是 ，由此得圆心角为n的扇形面积的计算公式是 。又因为扇形的弧长 ，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点 3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形 OAmB 的面积和AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示，注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆
15、周长 弧长 圆面积 扇形面积公式（2）扇形与弓形的联系与区别（2）扇形与弓形的联系与区别图示面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全面积说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面
16、积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称 圆锥 圆柱图形图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到的，如 RtSOA 绕直线SO 旋转一周。由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面侧面展开图的特征扇形 矩形面积计算方法第二十五章 概率初步 25.1 随机事件与概率 1随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果会出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用 表示，其中的每一个结果用 e表示， 称为样本空间中的样本点，记作 e
