1、1基本不等式教学设计张中华教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A 版） 必修 5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析基本不等式是高中教材人教 A 版必修五第三章第三节的内容，是不等式这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法） ，并且会在后续学习时再次得到加强。基本不等式
2、的学时安排是 3 课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式 。2(,)abaR在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。教学难点：从不同角
3、度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。三、教学目标课程标准对本节课的要求有以下两条：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。根据课标要求和本节教2学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题 剖析归纳证明 几何解释 应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活
4、动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。四、学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构
5、使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视。另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现。因此，我认为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。五、教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生
6、在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。3六、教学过程设计1、创设情境国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。诺贝尔奖中唯独没有设置数学奖，而菲尔兹奖被誉为国际数学界的诺贝尔奖。迄今为止已有两位华人数学家获此殊荣，第一位是美籍华人丘成桐教授，在班会中我们曾聆听过他的演讲，第二位是澳洲华裔数学家陶哲轩。在 2002 年国际数学家大会来到北京，请看大会会标。会标根据三国时期吴国数学家赵爽用于证明“勾股定理”的弦图设计，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。下面请同学们思考以下问题。2、公式引读问题 1
7、：会标中含有怎样的几何图形？学生一致回答三角形和正方形问题 2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？学生们开动脑筋，找到很多相等关系与不等关系，下面我们从图形面积角度量化研究“四个直角三角形面积小于大正方形面积”这一不等关系。 ba生 1： ，得 ；4S大 正 方 形 直 角 三 角 形 a224生 2： ，得 。0S小 正 方 形 02ba问题 3：四个直角三角形面积与大正方形面积什么时候实现相等？生 1： 时(从数的角度 )ab生 2：中间小正方形四点合一时(从形的角度)两位同学分别从数与形的角度给出结论，教师利用几何画板改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生进一步
8、观察体会。【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育。提出弦图中面积间的不等关系，体会相对关系与不等关系的辩证统一，展现赵爽弦图的构图巧妙、精致，体现数与形的完美统一，让学生对弦图的认识清晰、完整。同时通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系。【归纳】对于两直角边 ，有 ，当且仅当 时等号成立。ab、 2abab问题 4：上式对正实数是成立的，那么对任意实数 ，上式都成立吗？、请证明自己的结论。（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪展示学生的完整证明过程。强调 和 两种情况，说明ab“当且仅当”的含义。
9、）【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。ab、 2abab【设计意图】问题 4 给学生提供思维发展的空间，让学生从对知识的直观感知上升到理性证明，既体现了数学知识发生发展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等式做铺垫。在此过程中给学生提供了一种研究思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想。问题 5：对于上式，如果 ,用 代替 ， 代替 可得到什么0abab结论？，当且仅当 时，等号成立。(0,)2abb=5问题 6：请用不等式的性质,证明这个不等式。方法一：作差比较
10、或由 展开证明。0)(2ba方法二：分析法（完成课本填空）设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本。在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书” 。要证 ab2只要证 要证,只要证 0要证,只要证 )(2显然, 是成立的。当且仅当 a=b 时, 中的等号成立 。【归纳】证明方法叫做分析法，实际上是寻找结论的充分条件，执果索因的一种思维方法。【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现不等式 与不2ab等式 的内在联系，认识到它们是对同一个事实的两种20,abab不同描述，其本质是一致的
11、。同时也能促进学生形成对学习进行反思的意识与习惯。此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神。3、公式构想【归纳】通常我们把不等式，当且仅当 a=b 时取等号。(0,)2abb称为基本不等式。我们把 叫做正数 a，b 的算术平均数， 叫做正数 a，b 的几何平均数。2ba a基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。6基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。【过渡】从代数的角度我们证明了基本不等式，实际上，在许多几何图形中也都蕴含着基本不
12、等式，下面就让我们回归到直观图形进一步理解基本不等式。【问题 7】你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如图,点 C 是 AB 上一点, AC=a，BC=b， 以 AB 为直径作圆, O 为圆心，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DC,连接 AD、BD、OD。如何用 a, b 表示 OD? 如何用 a, b 表示 CD?OD 与 CD 的大小关系怎样? (请学生合作探究完成，并展示说明：生 1：直角三角形中，斜边大于直角边； 生 2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高。 生 3：在圆中，半径不小于半弦。)【设计意图】通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于学生对问题的分解能
13、力不足，不知如何入手探究，并且表示 的线段及其几ab何意义学生不易发现。为了帮助学生，我将问题 7 分解为三个小问题，从运动变化的角度帮助学生观察、归纳。一方面，帮助学生建立数学结合的基本思想；另一方面，培养学生从运动变化的角度思考问题、解决问题的能力，多角度认识基本不等式的几何解释。【过渡】基本不等式体现的是两个正数的和与积之间的不等关系，这在解决实际问题中有着广泛应用，是解决最值问题的有力工具。4、公式活用例 1：(1)用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（请学生尝试完成，并表述解题过程，教师板书。强调能取得最小值的原
14、因及等号成立的条件。教师归纳：根据基本不等式发现，两个正数积为定值时，ab2baa bCOA BD7和存在最小值。 ）(2)用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（请学生尝试完成，并表述解题过程，教师板书。强调能取得最大值的原因及等号成立的条件。教师归纳：根据基本不等式发现，两个正数和为定值时，积存在最大值。 ）【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的
15、意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫。5、课堂小结（1）本节课我们学习的主要内容是什么?（2）在应用基本不等式时，需要注意哪几点？（3）在本节课的学习中，运用了哪些数学思想方法？（请学生发言，并相互补充，教师点评即可。教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法。 ）【总结提升】本节课我们从几何图形中发现重要不等式，并抽象出基本不等式，又从代数的角度证明了基本不等式的正确性，并回归到图形中理解了基本不等式的几何意义。这是一个由形到数又到形的过程，数学中数形结合思想在此得到了淋漓尽致的体现。理论联系实际方显基本不等式的强大作用，在应用中我们进一步体会基本不等式实质反映两个正数的和与积之间的不等关系。【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼研究基本不等式的过程，使学生对本节内容有一个更全面的认识。6、作业布置（1）课本 100 页习题 A 组第 1，2，3 题；（2）课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何解释，整理并相互交流。【设计意图】安排一组教材上的习题，使学生继续加深对基本不等式的理解和应用。课后作业为拓展学生思维，进一步体会数形结合思想。8
