1、动点问题专题训练1、如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点ABC 10A8BCDAB（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全等，请说明理由；P 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？BPD Q（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 三AC边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相遇
2、？AB2、直线 364yx与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点 PQ、 同时从 O点出发，同时到达 A点，运动停止点 Q沿线段 OA运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 沿路线 B 运动（1）直接写出 B、 两点的坐标；（2）设点 的运动时间为 t秒， OPQ 的面积为 S，求出 与 t之间的函数关系式；（3）当 485S时，求出点 的坐标，并直接写出以点 OPQ、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M的坐标3 如图，在平面直角坐标系中，直线 l： y=2 x8 分别与 x 轴， y 轴相交于 A， B 两点，点P（0， k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作 P.
3、（1）连结 PA，若 PA=PB，试判断 P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当 k 为何值时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3，4） ，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S（S0） ，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之
4、间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围） ；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线AC 所夹锐角的正切值AQCDB PxAO QPBy5 在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3， AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发
5、，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 6 如图，在 中， ， 点 是 的中点，过点 的直线 从与 重RtABC 906B， 2COACOlAC合的位置开始，绕点 作逆时针旋转
6、，交 边于点 过点 作 交直线 于点 ，设直线 的旋OADEB lE转角为 （1）当 度时，四边形 是等腰梯形，此时 的长为 ；E当 度时，四边形 是直角梯形，此时 的长为 ；（2）当 时，判断四边形 是否为菱形，并说明理由90D7 如图，在梯形 中， 动点 从 点出发沿线ABCD35425BADCAB ， ， ， ， MB段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位NCD长度的速度向终点 运动设运动的时间为 秒t（1）求 的长（2）当 时，求 的值MN t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tMN8 如图 1，在等腰梯形 中， ， 是 的中
7、点，过点 作 交 于点 ABCDB EAEFBC DF， .46AB， 0（1）求点 到 的距离；E（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线PFPMFBCMNA于点 ，连结 ，设 .DNEx当点 在线段 上时（如图 2） ， 的形状是否发生改变？若不变，求出 的周长；若N P改变，请说明理由；当点 在线段 上时（如图 3） ，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请求出所有CPN满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.xA CBPQED图 16OE CBDAlOCBA（备用图）A DCB MNA DEBFC图 4（备用）A DEBFC图 5（备用）A DEBFC图
8、1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNM（第 8 题）9 如图，正方形 ABCD 中，点 A、 B 的坐标分别为（0，10） ， （8，4） ，点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A B C D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒(1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 （长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所x示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点 C 的坐标；(3)在（1）中当 t 为何
9、值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的 t 的值；若不能，请说明理由10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平行线 CF 于点 F，求证： AE=EF90AEF DCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证，所以 MC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边
10、 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B， C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由11 已知一个直角三角形纸片 ，其中 如图，将该纸片放置在平面OAB9024OAB， ，直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 ，与边 交于点 CD（）若折叠后使点 与点 重合，求点 的坐标；（）若折叠后
11、点 落在边 上的点为 ，设 ， ，试写出 关于 的函数解析式，并BOABOxCyyx确定 的取值范围；y（）若折叠后点 落在边 上的点为 ，且使 ，求此时点 的坐标 BOABDOB CA DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3xyBO AxyBO AxyBO A12 问题解决如图（1） ，将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合） ，压平后得到ABCDBCDECD折痕 当 时，求 的值MN12EMN类比归纳在图（1）中，若 则 的值等于 ；若 则 的值等于 ；若13CED， AMBN14CED， AMBN（ 为整数） ，则 的值等于 （用含 的
12、式子表示）CEDn n联系拓广如图（2） ，将矩形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 重合） ，压平后得到折痕AE，设 则 的值等于 （用含 的式子表示）MN， 11ABCEmDn， ， BNmn，参考答案1.解：（1） 秒，1t 厘米，3BPCQ 厘米，点 为 的中点，0ADAB 厘米5又 厘米，8PCB， 厘米，83 D又 ，A ，BC （4 分）PQ ， ，v又 ， ，则 ，BDC B45PCQBD，点 ，点 运动的时间 秒，PQ43t 厘米/秒 （7 分）5143vt（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，xP由题意，得 ，152104解得 秒803x点 共运动了 厘米P8 ，
13、8024点 、点 在 边上相遇，QAB经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇 （12 分）3PAB2.解（1） A（8，0） B（0，6） 1 分（2） O，B方法指导：为了求得 的值，可先求 、 的长，不妨设：ABBA=2图（2）NAB CDEFM图（1）AB CDEFMN点 Q由 O到 A的时间是 81（秒）点 P的速度是 602（单位/秒）1 分当 在线段 B上运动（或 0 3t ）时， 2OQtPt，2St 1 分当 P在线段 A上运动（或 8t ）时， 61062tAtt， ,如图，作 DO于点 ，由 PDB，得 485t， 1 分213425SQt 1 分（自变量取值范围写对给 1
14、分，否则不给分 ）（3） 84P， 1 分1231124555IM， ， ， ， ， 3 分3.解：（1） P 与 x 轴相切.直线 y=2 x8 与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B（0，8） ， OA=4， OB=8.由题意， OP= k， PB=PA=8+k.在 Rt AOP 中， k2+42=(8+k)2， k=3， OP 等于 P 的半径， P 与 x 轴相切.（2）设 P 与直线 l 交于 C， D 两点，连结 PC， PD 当 圆心 P 在线段 OB 上时,作PE CD 于 E. PCD 为正三角形， DE= CD= ， PD=3，123 PE= .32 AOB=
15、PEB=90， ABO= PBE， AOB PEB， ，342,=5AOPEBB即 31,2 ，3182P ，315(0,8)2P .k当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0, 8)，3152 k= 8，3152当 k= 8 或 k= 8 时，以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正3152三角形.4.5.解：（1）1， 85； （2）作 QF AC 于 点 F， 如图 3， AQ = CP= t， 3At由 AQF ABC， 24， 得 45t 45t 14(3)25St，即 6t（3）能当 DE QB 时，如图 4 DE PQ， PQ QB，四边形 QB
16、ED 是直角梯形此时 AQP=90由 APQ ABC，得 AQPCB，即 35t 解得 98t 如图 5，当 PQ BC 时， DE BC，四边形 QBED 是直角梯形此时 APQ =90由 AQP ABC，得 AQPBC，即 35t 解得 158t（4） 2t或 4t点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C连接 QC，作 QG BC 于 点 G， 如图 6t， 222234(5)(5)tt由 2P，得 222ttt，解得 5t点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C， 如图 722234(6)(5)(5)ttt， 451】6.解（1）30，1；60，1.5； 4 分（2）当=
17、90 0时，四边形 EDBC 是菱形.=ACB=90 0， BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形. 6 分在 Rt ABC 中， ACB=900， B=600,BC=2, A=300. AB=4,AC=2 3. AO=12C= . 8 分在 Rt AOD 中， A=300， AD=2. BD=2.A CBPQED图 4A CBPQED图 5A C(E)BPQD图 6GA C(E)BPQD图 7G BD=BC.又四边形 EDBC 是平行四边形，四边形 EDBC 是菱形 10 分7.解：（1）如图，过 、 分别作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形ADKBCDHBCADHK 1
18、分3KH在 中，RtB 2sin454B 2 分2cos45KAA在 中，由勾股定理得，RtCDH 2543HC 3 分4310B（2）如图，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形DGAB CADGB MNAB 3 4 分107GC由题意知，当 、 运动到 秒时，MNt 102CNtMt， D 又 C NG 5 分MD即 10257tt解得， 6 分t（3）分三种情况讨论：当 时，如图，即NCM102tt 7 分10t当 时，如图，过 作 于MNCNEMC解法一：由等腰三角形三线合一性质得 10252tt在 中，RtE 5cost又在 中，DHC 3D 53t解得 8 分28t解法二： 9
19、0CDHNEC ， NE 即 53t 8 分28t当 时，如图，过 作 于 点.MNCMFCN12FNCt解法一：（方法同中解法一） 132cos05tF（图）A DCB K H（图）A DCB G MNA DCB MN（图） （图）A DCB MNH E（图）A DCB HNMF解得 6017t解法二： 90CMFDHC ， FH即10235tt 67t综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形 9 分1t58t6017tMNC8.解（1）如图 1，过点 作 于点 1 分EGBC 为 的中点，EAB 2在 中， 2 分Rt 60 ， 30 211GE， 即点 到 的距离为 3 分BC3（2）当
20、点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变NADPMN PMEF， ， EG ， ， 3同理 4 分4B如图 2，过点 作 于 ，PHNAB ， 600NCM ， 132 cos02MHPA则 354N在 中，Rt222537NHP 的周长= 6 分PMN 374PNM当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角形DC MNC当 时，如图 3，作 于 ，则RR类似， 2R 7 分N 是等边三角形， MC 3MCN此时， 8 分612xEPGB当 时，图 3A DEBFCPNM图 4A DEBFCPMN图 5A DEBF（P）CMNGGRG N如图 4，这时 3NP此时， 615xE
21、当 时，如图 5，P30N 则 又120M ， 0C ， 8N 因此点 与 重合， 为直角三角形FP tan301CA此时， 64xEG综上所述，当 或 4 或 时， 为等腰三角形 10 分253PMN9 解：（1） （1，0） 1 分Q点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度 2 分（2） 过点 作 BF y 轴于点 ， 轴于点 ，则 8， BFBExEBF4OBE 1046AF在 Rt AFB 中， 3 分28610A过点 作 轴于点 ，与 的延长线交于点 CGxFBH ABF BCH 90,ABBC 6,8HF图 1A DEBFCG图 2A DEBFCPNMGHABCDEFGHMNPQO
22、xy 8614,812OGFHCG所求 C 点的坐标为（14，12） 4 分（3） 过点 P 作 PM y 轴于点 M， PN 轴于点 N，x则 APM ABF AMBF1068tAP 345tPt， 3410,55NOtPMt设 OPQ 的面积为 （平方单位）S （0 10） 5 分2173(0)5210Sttt说明:未注明自变量的取值范围不扣分 0 当 时， OPQ 的面积最大 6 分310a47362()10t此时 P 的坐标为（ ， ） 7 分945（4） 当 或 时， OP 与 PQ 相等 9 分3t21t10.解：（1）正确 （1 分）证明：在 上取一点 ，使 ，连接 （2 分）A
23、BMAECM ， E4535是外角平分线，CF，45D13， ，90AB90AEBCFE（ASA） （5 分）MCF （6 分）（2）正确 （7 分）证明：在 的延长线上取一点 N使 ，连接 （8 分）ANBE45PC四边形 是正方形，DNAF（ASA） （10 分）E （11 分）11.解（）如图，折叠后点 与点 重合，BA则 .ACDB 设点 的坐标为 .0m，则 .4O于是 .在 中，由勾股定理，得 ，RtAC 22ACO即 ，解得 .224m3m点 的坐标为 . 4 分0，（）如图，折叠后点 落在 边上的点为 ,BOAB则 .BCD 由题设 ，Oxy，则 ，4在 中，由勾股定理，得 .
24、RtBC 22BCO，224yx即 6 分18由点 在边 上，有 ，BOA02 解析式 为所求.2yxx 当 时， 随 的增大而减小， y的取值范围为 . 7 分3 （）如图，折叠后点 落在 边上的点为 ，且 .BOABDOB则 .OCBD又 ，有 .CD， CA.Rtt 有 ，得 . 9 分 AB2B在 中，tO设 ，则 .0x0Cx由（）的结论，得 ，2018解得 .084545xx ，A DFC GEBMA DFC GEBN点 的坐标为 . 10 分 C08516，12 解：方法一：如图（1-1） ，连接 BME， ，由题设，得四边形 和四边形 关于直线 对称ABNMFENM 垂直平分
25、1 分MNEB， 四边形 是正方形，CD902DCABCDA, 设 则112， x， ， 2x在 中， Rt 22N 解得 ，即 3 分22x 54x54B在 和在 中，tABM tDE，22，DE 5 分2设 则 y， y， 221y解得 即 6 分14， A 7 分5MBN方法二：同方法一， 3 分54BN如图（12） ，过点 做 交 于点 ，连接GCD ， AGBE 四边形 是平行四边形ADBC ， GDN NGCDB同理，四边形 也是平行四边形A54AGBN 90MENM， BBECM， ， 在 与 中C G 分90N， G ， 6 分14AMA5， = 7 分15BN类比归纳（或 ） ； ； 10 分24109721n联系拓广 12 分2nmN图（1-1）AB CDEFMN图（1-2）AB CDEFM G
