1、 动点问题练习1.如图，已知在矩形 ABCD 中，AD=8，CD =4，点 E 从点 D 出发，沿线段 DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点 F 从点 C 出发，沿射线 CD 方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动设点 E 移动的时间为 t（秒） （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形 BCFE 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）求当 t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当 t 为何值时，BEC=BFC 1. 解：（1）当 B，E，F
2、 三点共线时，两点同时停止运动，如图 2 所示（1 分）由题意可知：ED=t，BC=8 ，FD= 2t-4，FC = 2tEDBC，FED FBC DFCB 解得 t=4248t当 t=4 时，两点同时停止运动；（3 分）（2）ED=t，CF=2t， S=S BCE + SBCF = 84+ 2tt=16+ t212即 S=16+ t2 （ 0 t 4） ；（6 分）（3）若 EF=EC 时，则点 F 只能在 CD 的延长线上，EF 2= ，22()516tttEC2= ， = t =4 或 t=0（舍去） ；4216若 EC=FC 时，EC 2= ，FC 2=4t2， =4t2 ；24t 4
3、3若 EF=FC 时，EF 2= ， FC2=4t2，()5t =4t2t 1= （舍去） ，t 2= 2516t6831683当 t 的值为 4， ， 时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰3AB CDEFO图 2AB CDEF三角形；（9分）（4）在 RtBCF 和 RtCED 中，BCD=CDE=90， ，2BCFDERtBCFRtCEDBFC=CED（10 分）ADBC，BCE=CED 若BEC=BFC ，则BEC=BCE即 BE=BCBE 2= ， =641680t21680tt 1= （舍去） ，t 2= 33当 t= 时，BEC=BFC （12 分）2. 正方形 边长为 4
4、， 、 分别是 、 上的两个动点， 当 点在 上ABCDMNBCDMBC运动时，保持 和 垂直，（1）证明： ；Rtt （2）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；当 点运动xyx到什么位置时，四边形 面积最大，并求出最大面积；AB（3）当 点运动到什么位置时 ，求此时 的值RttAN x2. 解：（1）在正方形 中，ABCD，490AB， ，MN，90，C在 中， ，Rt M，tABC （2） ，tRN ，4xMCN， 2x，2 22141180ABCNxySxx梯 形 DMAB CNNDACDB M当 时， 取最大值，最大值为 102xy（3） ，90BAMN要使 ，必须有 ，
5、 ABNM由（1）知 ，C，当点 运动到 的中点时， ，此时 BAB 2x3.如图，在 RtAOB 中，AOB90，OA 3cm ，OB4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设 P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点A、O 向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 移动时间为t（0t4）（1）求 AB 的长，过点 P 做 PMOA 于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示）（2）求OPQ 面积 S（cm 2） ，与运动时间 t（秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当 t 为何值时，OPQ 为直角三角形？（4）若点 P 运动速度不
6、变，改变 Q 的运动速度，使 OPQ 为正三角形，求 Q 点运动的速度和此时 t 的值.4.（1）由题意知：BD=5，BQ=t，QC=4-t，DP=t，BP=5-tPQBC BPQBDC 即 BCDP45t920t当 时，PQBC3 分920t（2）过点 P 作 PMBC，垂足为 MBPMBDC 4 分35t)5(3tP = 5 分tS1)(53t81)2(0t当 时，S 有最大值 6 分2（3）当 BP=BQ 时， ， 7 分t5t当 BQ=PQ 时，作 QEBD，垂足为 E，此时，BE= 251tBPyAOMQPB xBQEBDC 即 9 分BDQCE542t132当 BP=PQ 时，作
7、PFBC，垂足为 F, 此时，BF= tBQBPFBDC 即 11 分PF542tt1340 ， ， ，均使PBQ 为等腰三角形 12 分1403t25t31t4.如图，在梯形 中， 动点ABCD35425BADCAB ， ， ， ， 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点M NC出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动设运动的时间为 秒t（09 年济南中考） （1）求 的长。（2）当 时，求 的值N t（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形tMN4.解：（1）如图，过 、 D分别作 AKBC于 ， DHBC于 ，则四边形ADHK是矩形 3A
8、在 RtB 中， 2sin4542cos45KAA在 RtCDH 中，由勾股定理得， 2543HC 310BA DCB MN（图）A DCB K H（图）A DCB G MN（2）如图，过 D作 GAB 交 C于 点，则四边形 ADGB是平行四边形 MNAB 3 107C由题意知，当 、 运动到 t秒时， 102NtMt， DG N 又 M C即 10257tt解得， t（3）分三种情况讨论：当 NCM时，如图，即 102tt 10t当 MNC时，如图，过 N作 EMC于 90DH ， E 即 53t 28t当 MNC时，如图，过 M作 FCN于 点. 12FNCt 90FDH ， FHCA DCB MN（图） （图）A DCB MNH E（图）A DCB HNMF即10235tt 67t综上所述，当 1t、 58t或 6017t时， MNC 为等腰三角形
