1、南京工业大学 线 性 代 数 试题（A）卷（闭） 2008-2009 学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分得分（符号说明： 表示单位矩阵， 表示矩阵的秩， 表示行列式， 表示矩阵的转置。 ）ERT一、填空题（每题 3 分，共 15 分）1设 3 阶矩阵 ，则 。11230,05246ABAB2设三阶矩阵 的特征值为 1，1，3，再设 则 .。32,3设 阶矩阵 的各行元素之和等于零，且 的秩为 ，则齐次线性方程组n 1n的0AX通解为 。4设向量 为属于实对称矩阵 的不同特征值的特征向1(2,0),(,1)TTkkA量，则
2、。5已知 ，则 。2EA1二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1设齐次方程组 的一个基础解系为 ，则 0X12312,01（ ）.5)(AR4)(ARB3)(ARC2)(ARD2设 阶矩阵 有 个不同的特征值 ，而且 。ns12,s ,i iEnr1,s如果 与对角矩阵相似，则( ).(A) (C) (D) 1sir()B1sirn1sirn1sir3.若向量组 线性无关，向量组 线性相关, 则 （ ）.23,24,必不可由 线性表示 必可由 线性表示 )(A4123,)(B4123,必不可由 线性表示 必可由 线性表示C24D244. 设 阶矩阵 ， 则如下结论正确的是（ ）.nm()R
3、Ar（A） (B) (C) (D) (T)(TRA()(TRA()()TTRA5. 对于矩阵方程 ，以下结论正确的是（ ）.BC(A) (B) (C)如 可逆 （D ）以上均不正确.,BC则三、(10分) 计算下行列式123123nnxaaDxaaxa 四、（10分）设三阶矩阵 满足矩阵方程 ，试求矩阵04512A239AXE.X五、 （14分）设向量 1234(3,),(,1,4)(7,12)(1,32),，求向量组的秩和极大无关组，并把极大无关组以外的向量用极大无5(0,74)关组线性表示.六、 （13分）当 为何值时，线性非齐次方程组,ab1234123401()3xxba无解、有唯一解
4、、或有无穷多组解？在有无穷多解时，求出其通解.七、 （15 分）已知二次型 ，试回答下列问题22123133(,)4fxxx1） 写出此二次型的矩阵 ；A2） 利用正交变换 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；QYX3） 判断该二次型是否具有正定性。八、 （8分）Housesholder 矩阵是计算数学中一类重要的变换（镜面反射）方法，一般用来化矩阵为上Hesseberg矩阵。设实向量 且 ，则其一般形式为12(,)Tnuu 1试回答下列问题：2THEu1） 证明：Householder矩阵是实对称正交矩阵 ;（3分）2） 证明：一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或1，并确定H
5、ouseholder矩阵的特征值（3分）3） 对于 ，试给出此Householder矩阵属于各特征值的特征向量.（2分）(,1)Tun南京工业大学 线 性 代 数 试题 （A）卷试 题 标 准 答 案2008-2009 学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生 一、填空题(每题 3 分，共 15 分)(1) 0 (2.) -432 (3) (4) 1 或1 (5) .(1,Tkk 为 任 意 常 数 ./2()AE二、选择题（每题 3 分，共 15 分）（1） D (2) C (3) B (4) A (5) C三、 （10 分）解：（从231123 231123 231ni nnini nnn
6、i nxaaxaaDxxaxaaa x 第二列至第 n 列加到第 1 列）5 分（提取公因子）23123() nni naaxxaxa （ ）8 分100()0nixxx 1(2)ic 10 分1()nnixa四、 （10 分）解：由 得239AXE6 分()(3)AE又 ，故 可逆，上式两边同时左乘 得30AE31(3)AE。10 分50()48127XAE五、 （14 分）解：以 为列生成矩阵 ，并对 施行初等行变换将其化为行12,TT A最简形.370213442A13r1342710422134r017581432r347150106 分32r30175980231/9r3471520
7、08 分2317r210012r1200所以 ，一个极大无关组为 ，（12 分）15(,)R 124,且 （14 分）32124.六、 （13 分）对方程组的增广矩阵进行初等行变换03(|)0121Abab213r100213ab-5 分324r001Bab显然可见： 当 时方程组无解，当 时方程组有唯一解，当 时1,ab1a1,ab方程组有无穷多组解.8 分当 时继续将矩阵 化为行最简形得, BB1002112r0120与原方程组等价的方程组为1342xx令 ，得原方程组的一个特解为 。11 分340x10与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 1342x令 得齐次方程组的一个基础解系为3
8、410,x 121,.0故原方程组有无穷多组解时的通解为 ， 为任意常数.13 分12Xk12,k七、 （15 分）解：1）二次型的矩阵为 3 分203A2）先计算矩阵的特征多项式20()32()1(5)AfE故矩阵的特征值分别为 6 分123,5.再计算矩阵的属于各特征值的特征向量：当 时，求解方程组 得一个特征向量为 .11()0AEx1/2(0,1)Tq当 时，求解方程组 得一个特征向量为 .22()0AEx2(1,0)Tq当 时，求解方程组 得一个特征向量为 .353 /,令 ，作变换 ，则此变换即为正交变换，该二次型在此变换下的标123(,)QqXQY准型为 。12 分22,135f
9、yy3）因为矩阵的特征值都是正的，故该二次型为正定二次型.15 分八、1）显然 为实矩阵，又H，(2)2TTTEuuH.()E所以 为实对称正交矩阵 .3 分2)设 是实对称矩阵正交矩阵 的属于特征值 的特征向量，则x ,2(,)(,)TT TExHxx而 ，则必有 容易验证 ，即 是 的一个特征值，设 是和01.或 Hu1v正交的非零向量，则有 ，又 R(u)=1,这种非零向量 可以求出 个。所以 1 是uvvn的 重特征值。 6 分H1n3）由 2）可知 是 的属于特征值1 的一个特征向量，而方程组(1,)Tun的一个基础解系即为属于特征值 1 的 个特征向量，比如120xx n12 1(,)(1,0,),(,0,1).TTT 即是属于特征值 1 的 个特征向量。8 分n
