1、1圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等下面我们来说说这方面的基础知识圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用 表示另外，一般把直径记作 d，半径记作 r，如图 1 所示dr图 1所以，圆的周长 ，圆的面积 2Cdr2Sr如图 3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论nr图 3扇形的圆心角
2、为 n时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的 360n所以， 扇形弧长= ，面积= 2360r2360nr2我们先来熟悉一下这些公式练习：1. 半径是 2 的圆的面积和周长分别是多少？2. 直径是 5 的圆的面积和周长分别是多少？3. 周长是 10 的圆的面积是多少？4. 面积是 9 的圆的周长是多少？例题一、 基本公式运用例题 1.已知扇形的圆心角为 120，半径为 2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按 3.14 计算）例题 2. 已知扇形面积为 18.84 平方厘米，圆心角为 60，则这个扇形的半径和周长各是多少？ （圆周率按 3.14 计算）603随堂练习：1. 已知一个
3、扇形的弧长为 0.785 厘米，圆心角为 ，这个扇形的半径和周长各是多少？452. 扇形的面积是 31.4 平方厘米,它所在圆的面积是 157 平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？3. 如图，直角三角形 ABC 的面积是 45，分别以 B，C 为圆心，3 为半径画圆已知图中阴影部分的面积是 35.58请问：角 A 是多少度？（ 取 3.14）AB C二、 圆中方，方中圆4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是 2，那么大圆、小圆的面积分别为_、_随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是 4，里面小圆的面积是多少？（答案用 表示）4二、割补法5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆
4、周率按 3.14 计算）：（1） （2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1） （2） 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1） （2）223472256. 已知图中正方形的边长为 2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为_ （答案用 表示）7. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（ 取3.14）4作业：1. 半径为 4 厘米的圆的周长是_厘米，面积是_平方厘米；2. 半径为 4 厘米，圆心角为 的扇形周长是_厘米，面积是_平方厘米 （ 取
5、3.14）90 3. 家里来客人了，淘气到超市买了 4 瓶啤酒，售货员阿姨将 4 瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示） ，捆 4 圈至少要用绳子_厘米 （ 取 3.14，接头处忽略不计）4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按 3.14 计算）：（1） （2）11 1O7 厘米610105. 下列图形中的正方形的边长为 2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为_、_ （ 取3.14）6. 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中
6、特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域例题：一、 重叠问题例题 1.下图中甲区域比乙区域的面积大 57 平方厘米，且半圆的半径是 10 厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取 3.14）甲 乙O7例题 2.下图中有一个等腰直角三角形 ABC，一个以 AB 为直径的半圆，和一个以 BC 为半径的扇形已知厘米图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（ 取 3.14）10ABCAC BDE随堂练习1. 如图 17-13，以 AB 为直径做半圆，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分比阴影部分的面积小28 平方厘米，AB 长 40 厘米求 BC
7、 的长度 （取 3.14 ）例题 3.如图，直角三角形的两条直角边分别为 3 和 5，分别以三条边做了 3 个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上） ，那么阴影部分的面积为_54 3例题 4.图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 2 所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转60，此时 B 点移动到 C 点请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（ 取 3.14）ABC8图 1A B A B60图 2C二、 动态扫面积问题例题 5.如图，正方形 ABCD 边长为 1 厘米，依次以 A、 B、 C、 D 为圆心，以 AD、 BE、 CF、 DG 为半径画出四个直角扇形，那么阴影部
8、分的面积为_平方厘米 （ 取 3.14）例题 6.如图所示，以等边三角形的 B、C、A 三点分别为圆心，分别以 AB、CD、AE 为半径画弧，这样形成的曲线 ADEF 被称为正三角形 ABC 的渐开线，如果正三角形 ABC 的边长为 3 厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中 、 、 三部分的面积之和是多少平方厘米？IIABC DEIIIII IAB CDEGHF9三、 运动圆扫面积例题 7.图中正方形的边长是 4 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（ 取 3.14） 随堂练习1. 图中长方形的长是 10 厘米，宽是 4 厘米，
9、而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（ 取 3.14） 例题 8.图中等边三角形的边长是 3 厘米，而圆环的半径是 1 厘米当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（ 取 3.14） 思考题10如图所示，一只小狗被拴在一个边长为 4 米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计， 取 3）狗作业：1. 图 17-14 由一个长方形与两个 90角的扇形构成，其中 阴影部分的面积是_平方厘米 （取 3.14 ）52图 17-142. 图中有一个矩形和两个半径分别为 5 和 2 的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_ （ 取 3.14）3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是 10cm 和 6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_cm 2 （ 取 3.14）（1730）10cm6cm4. 图 1 是一个直径是 3 厘米的半圆，AB 是直径如图 2 所示，让 A 点不动，把整个半圆逆时针转
