1、1圆的知识点总结（一）圆的有关性质知识归纳1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。4. 垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论 1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于
2、弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论 1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径）；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。2推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何
4、一个外角都等于它的内对角。8. 轨迹轨迹 符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例题分析例 1. 已知：如图 1，在O 中，半径 OM弦 AB 于点 N。图 1若 AB ，ON1，求 MN 的长；若半径 OMR，AOB120，求 MN 的长。解：AB ，半径 OMAB， ANBNON1，由勾股定理得 OA2MNOMONOAON13半径 OMAB，
5、且AOB120 AOM60ONOAcosAONOMcos60说明：如图 1，一般地，若AOB2n，OMAB 于 N，AOR，ONh，则 AB2Rsin n2htan n例 2. 已知：如图 2，在ABC 中，ACB90，B25，以点 C 为圆心、AC 为半径作C，交 AB 于点 D，求 的度数。图 2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图 21，过点 C 作 CEAB 于点 E，交 于点 F。图 21又ACB90，B25，FCA25 的度数为 25， 的度数为
6、 50。解法二：（用圆周角求）如图 22，延长 AC 交C 于点 E，连结 ED4图 22AE 是直径，ADE90ACB90，B25，EB25 的度数为 50。解法三：（用圆心角求）如图 23，连结 CD图 23ACB90，B25，A65CACD，ADCA65ACD50， 的度数为 50。例 3. 已知：如图 3，ABC 内接于O 且 ABAC，O 的半径等于 6cm，O 点到 BC 的距离 OD 等于 2cm，求 AB 的长。析：因为不知道A 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（1）假若A 是锐角，ABC 是锐角三角形。如图 3，
7、由 ABAC，可知点 A 是优弧 的中点，因为 ODBC 且 ABAC，根据垂径定理推论可知，DO 的延长线必过点 A，连结 BOBO6，OD2在 RtADB 中，ADDOAO6285图 3 图 31（2）若A 是钝角，则ABC 是钝角三角形，如图 31 添加辅助线及求出 ，在 RtADB 中，ADAODO624AB综上所述 AB小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。例 4. 已知：如图 4，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CD 延长线上一点，AF 交O于 E。求证：AEEFECED图 4分析：求证的等积式 AEE
8、FECED 中，有两条线段 EF、ED 在EDF 中，另两条线段AE、EC 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线 AC，设法证明FEDCEA 即可。证明：连结 AC四边形 DEAC 内接于圆FDECAE，FEDDCA直径 ABCD，DCACEA，FEDCEAFEDCEA ，AEEFECED小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例 5. 已知：如图 5，AM 是O 的直径，过O 上一点 B 作 BNAM，垂足为 N，其延长线交O 于点 C，弦 CD 交 AM 于点 E。6图 5（1）如果 C
9、DAB，求证：ENNM；（2）如果弦 CD 交 AB 于点 F，且 CDAB，求证 CE2EFED；（3）如果弦 CD 绕点 C 旋转，并且与 AB 的延长线交于点 F，且 CDAB，那么（2）的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（1）连结 BM（如图 51）图 51AM 是直径，ABM90CDAB，BMCDECNMBN，又 AMBC，CNBNRtCENRtBMN，ENNM（2）连结 BD，BE，AC（如图 52）图 52点 E 是 BC 垂直平分线 AM 上一点，BEECCDAB，ACDBDC，又 ABAC，AEAEABEACE，ABEACDBDCBED 是公共角，
10、BEDFEBBE 2EFED，CE 2EFED（3）结论成立。如图 537图 53证明：仿（2）可证ABEACEBECE，且ABEACE又ABCD，ACBDBC，BDACBDEACE180而FBEABE180BDEFBE，而BED 是公共角BEDFEBBE 2EFED，CE 2EFED（二）直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置 相离 相切 相交公共点的个数 0 1 2公共点名称 无 切点 交点直线名称 无 切线 割线圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系2. 切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3. 切线的性质（1）圆的切线垂直于经过切点的半径；（2）
11、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3）推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。86. 和圆有关的比例线段（1）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2）推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是
12、它分直径所成的两条线段的比例中项；（3）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4）推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。7. 三角形的内切圆（1）有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；（2）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析例 6. 已知：如图 6，AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CG 切O 于 D，DEAB 于 E。图 6求证：CDBEDB。分析：由 AB 是O 的直径，联想到直径的三个性质：图 61 图 62
13、图 63（1）直径上的圆周角是直角。若连结 AD，则得 RtABD；（2）垂径定理。如图 62，若延长 DE 交O 于 F，则可得 DEEF，；（3）过直径外端的切线与直径垂直。如图 63，若过 B 点作O 的切线 BM，则ABBM。由 CD 是O 的切线，联想到切线的三个性质：（1）过切点的半径垂直于切线。如图 61，若连结 OD，则 ODCD；（2）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结 AD，则CDBA；（3）切割线定理。如图 6，CD 2CBCA。由 DEAB 于 E，联想到以下一些性质：（1）RtDEB 中两锐角互余，即EDBEBD90；9（2）垂径定理。如图 62，只要延长 DE
14、交O 于 F，则可得到相等的线段，相等的弧；（3）构造与射影定理相关的基本图形。即连结 AD，则可得到ADB 是直角三角形，DE是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结 AD，如图 6，AB 是直径，ADB90。DEAB，EDBACD 是O 的切线，CDBA，CDBEDB此例题还有许多证法，比如连结 OD，如图 61，利用切线的定义；又比如延长 DE 交O 于 F，连结 BF，如图 62，利用垂径定理；还可以过点 B 作O 的切线交 CD 于点 M，如图 63，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明C
15、DBEDB，即证明 BD 是CDE 的平分线，由此证明可以联想到AD 也是GDE 的平分线。另外，通过对此例题的分析和证明可知，图 64 中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图 64 分解成三个基本图形。如图 65，以利于进一步理解线段之间的比例关系。图 64图 65例 7. 已知：如图 7，点 P 是半圆 O 的直径 BA 延长线上的点，PC 切半圆于 C 点，CDAB于 D 点，若 PA：PC1：2，DB4，求 tanPCA 及 PC 的长。10图 7证明：连结 CBPC 切半圆 O 于 C 点，PCABPP，PACPCBAC：BCPA：PC
16、AB 是半圆 O 的直径，ACB90又CDABABADDB5例 8. 已知：如图 8，在 RtABC 中，B90，A 的平分线交 BC 于点 D，E 为 AB上的一点，DEDC，以 D 为圆心，DB 长为半径作D。图 8求证：（1）AC 是D 的切线；（2）ABEBAC分析：（1）欲证 AC 与D 相切，只要证圆心 D 到 AC 的距离等于D 的半径 BD。因此要作 DFAC 于 F（2）只要证 ACAFFCABEB，证明的关键是证 BEFC，这又转化为证EBDCFD。证明：（1）如图 8，过 D 作 DFAC，F 为垂足AD 是BAC 的平分线，DBAB，DBDF点 D 到 AC 的距离等于圆 D 的半径AC 是D 的切线（2）ABBD，D 的半径等于 BD，AB 是D 的切线，ABAF在 RtBED 和 RtFCD 中，EDCD，BDFD
