1、1习题 1 解答1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. “出现奇数点” ；A（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. “两次点数之和为 10”， “第一次的点数，比第二次的点数大 2”；B（3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5；从中同时取出 3 只球，观察其结果， “球的最A小号码为 1”；（4）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， “通过汽车不足 5 台” ， “通过的汽车不少于 3 台”.B解 （1） 其中 “出现 点” ，123456,ii1,26.A（2） (,),()1,(),62123425(,)(3,
2、),(),34(),6(5,1)2,(3),54,5；66(),；(4,),(,)A.312534B（3） (,),)(,1,)(,451,2)(,5(1,23),4(,25),3(,),A（4） .004AB 22设 是随机试验 的三个事件，试用 表示下列事件：,ABCE,ABC（1）仅 发生；（2） 中至少有两个发生；,（3） 中不多于两个发生；AB（4） 中恰有两个发生；,C（5） 中至多有一个发生.解 （1） AB（2） 或 ；ABCAB（3） 或 ；CCAB（4） ；AB（5） 或 ；ABAB3一个工人生产了三件产品，以 表示第 件产品是正品，(1,23)ii试用 表示下列事件：（1
3、）没有一件产品是次品；（2）至少有一iA件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品.解 （1） ；（2） ；（3） ；13A12A123123123AA（4） .24在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率.解 设 “任取一电话号码后四个数字全不相同” ，则A41026().504P5一批晶体管共 40 只，其中 3 只是坏的，今从中任取 5 只，求（1）5 只全是好的的概率；（2）5 只中有两只坏的的概率.3解 （1）设 “5 只全是好的” ，则 ；A53740().62CPA:（2）设“5 只中有两只坏的” ，则 .237540()B6袋中有编号
4、为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，求（1）3 个球的最小号码为 5 的概率；（2）3 个球的最大号码为 5 的概率.解 （1）设 “最小号码为 5”，则 ；A25310()CPA（2）设 “最大号码为 5”，则 .B24310()B7求下列事件的概率：（1） 一枚骰子连掷 4 次，至少出现一个 6 点；（2）两枚骰子连掷 24 次，至少出现一对 6 点. 这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德梅尔问题)，当年德梅尔认为这两个事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.为此他迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一
5、下两个事件的概率：设 =“一枚骰子连掷 4 次，至少出现一个 6 点” ，1A=“两枚骰子连掷 24 次，至少出现一对 6 点”2则 ，44165()10.57P2424353()10.91PA8 （1）教室里有 个学生，求他们的生日都不相同的概率；r（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.4解 （1）设 “他们的生日都不相同” ，则 ；A 365()rPA（2）设 “至少有两个人的生日在同一个月” ，则B；2123214414() 96CPC或 .24()9从 6 双不同的鞋子中任取 4 只，求：其中恰有一双配对的概率；至少有两只鞋子配成一双的概率解 分析：先从 6 双中取
6、出一双，两只全取；再从剩下的 5 双中任取两双，每双中取到一只，则中所含样本点数为 ，所12216C以所求概率 P / 125216C436设 B 表示“至少有两只鞋子配成一双” ，则：1 /C ，或 C )()( 12.4647/2612516C4137注 ：不能把有利事件数取为 ，否则会出现重复事件这是2106C因为，若鞋子标有号码 1，2，6 时， 可能取中第 号鞋，此时16i可能取中 号一双，此时成为两双的配对为 ；但也存在配对210Cj ),(ji， 与 是一种，出现了重复事件，即多出了 个事件),(ij,),(i 26C10设事件 与 互不相容， ，求 与AB()0.4,().3P
7、AB()PAB()P解 1()1().P因为 不相容，所以 ，于是,ABAB()(0.6PAB11若 且 ，求 .()()()解 11)(PP由 得()()AB(1BAp12对任意三事件 ，试证 .,C()()()(CPBA5证明 ()()()()()()PABCPBAPCAB. 证毕.13随机地向半圆 （ 为正常数）内掷一点，点落在20yax园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于 的概率.x/4解 半圆域如图设 “原点与该点连线与 轴夹角Ax小于 ”/4由几何概率的定义214()aAP的 面 积半 园 的 面 积 114把长为 的棒任意折成三段，求它们可以构成
8、三角形的概率.a解 1 设 “三段可构成三角形” ，又三段的长分别为A，则 ，不等式构成平面域,xyy0,0xayxya.S发生A0,22aaxyxy不等式确定 的子域 ，所以SA1()4AP的 面 积的 面 积解 2 设三段长分别为 ，则 且,xyz0,0xayza，不等式确定了三维空间上的有界平面域 .xyza S发生Axyz0yxyxa xS0a/2a/2aaAxzyA6yzx不等式确定 的子域S，所以A.1()4APS的 面 积的 面 积15随机地取两个正数 和 ，这两个数中的每一个都不超过 1，试xy求 与 之和不超过 1，积不小于 0.09 的概率.xy解 ，不等式确定平面域 .0
9、,S“ ”则A1,0.9xy发生的A充要条件为不01,0.9xyx等式确定了 的子域 ，故SA0.91.()()APxdS的 面 积的 面 积0.418ln30.216假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30% ，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设 “任取一件是 等品” ，iAi1,23i所求概率为 ，1313()(|)PA因为 312所以 2()()0.63.9PAPA1311yy1y0.90.10yASxy7故 .1362(|)9PA17设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解
10、设 “所取两件中有一件是不合格品”A“所取两件中恰有 件不合格” iBi1,2.i则 12，1246420()()CPAB所求概率为 .1246|()5PA18袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设 “发现是同一颜色” ， “全是白色” ， “全是黑色” ，ABC则 ，BC所求概率为 36135/()()2(|)PAC19设 求 与 .()0.5,.6,(|)0.8PAB()PAB()A解 ()1|1.047.().42B20甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从
11、乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.解 设 “从乙袋中取出的是白球” ， “从甲袋中取出的两球AiB恰有 个白球” .i0,12i由全概率公式001122()(|)(|)(|)PABPBAPBA8.12232355546100C21已知一批产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设 “任取一产品，经检查是合格品” ，A“任取一产品确是合格品” ，B则 ()(|)(|)PABPA，0.968.045.928所求概率为 .()|60.(| 9422玻璃杯成箱出售，每箱
12、 20 只，假设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率 .解 设 “顾客买下该箱” ，A“箱中恰有 件残次品” ， ，Bi0,12i（1） 00 22()(|)(|)(|)PBAPBAPBA；4419182020.8.9C（2） .0()(|)5.PA23某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占的份额依次为：60%，20% ，10%，10% ，9且根据以往的检
13、验记录知，它们的次品率分别为 1%，2% ，3%，2% . 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.解 用 （ ）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，iA1,234设 “产品被退货”B则 ，1()0.6P， ， ， ，2A3()0.1PA4()0.1PA1()0.PBA， ，().BB.2(1)由全概率公式, 41()()0.61.20.103.02.15iiiPAP(2) 由贝叶斯公式, 1111()(0.61() 5PABPAB2222()( .24() 333
14、3 0.13()5PABPAB4444).2()()以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例 6:4:3:2 由四个厂家分摊相关费用.1024甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6和 0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设 “目标被击中” ， “第 个人击中” AiBi1,2i所求概率为 1111 22()()()(|)PAPB.0.675425设 ，证明 、 互不相容与 、 相互独立不能()0,()PABABAB同时成立.证明 若 、 互不相容，则 ，于是()0()0PP所以 、 不相互独立.AB若 、 相互独立，则 ，于是 ，()()PABAB即 、 不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若 、 互不相容，则 、 又是相互独立的 或ABAB()0PA.()0PB2）因 ，所以()(PPA如果 ，则 ，从而()1PB0A)()BPB可见概率是 1 的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果 ，则 ，即概率是零的事件与任()0PB()0()ABPB意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立.26证明若三事件 相互独立，则 及 都与 独立.,CAC证明 ()()()()()PABBPBPC()()A
