电磁场与电磁波杨儒贵第二版课后答案.doc

1、1第 一 章 矢 量 分 析重 点 和 难 点关 于 矢 量 的 定 义 、 运 算 规 则 等 内 容 可 让 读 者 自 学 。 应 着 重 讲 解 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 物 理 概念 和 数 学 表 示 ， 以 及 格 林 定 理 和 亥 姆 霍 兹 定 理 。 至 于 正 交 曲 面 坐 标 系 一 节 可 以 略 去 。考 虑 到 高 年 级 同 学 已 学 过 物 理 学 ， 讲 解 梯 度 、 散 度 和 旋 度 时 ， 应 结 合 电 学 中 的 电 位 、 积 分形 式 的 高 斯 定 律 以 及 积 分 形 式 的 安 培 环 路 定 律 等 内 容 ， 阐

2、述 梯 度 、 散 度 和 旋 度 的 物 理 概 念 。 详细 的 数 学 推 演 可 以 从 简 ， 仅 给 出 直 角 坐 标 系 中 的 表 达 式 即 可 。 讲 解 无 散 场 和 无 旋 场 时 ， 也 应 以电 学 中 介 绍 的 静 电 场 和 恒 定 磁 场 的 基 本 特 性 为 例 。至 于 格 林 定 理 ， 证 明 可 免 ， 仅 给 出 公 式 即 可 ， 但 应 介 绍 格 林 定 理 的 用 途 。前 已 指 出 ， 该 教 材 的 特 色 之 一 是 以 亥 姆 霍 兹 定 理 为 依 据 逐 一 介 绍 电 磁 场 ， 因 此 该 定 理 应 着重 介 绍

3、 。 但 是 由 于 证 明 过 程 较 繁 ， 还 要 涉 及 函 数 ， 如 果 学 时 有 限 可 以 略 去 。 由 于 亥 姆 霍兹 定 理 严 格 地 定 量 描 述 了 自 由 空 间 中 矢 量 场 与 其 散 度 和 旋 度 之 间 的 关 系 ， 因 此 应 该 着 重 说 明 散度 和 旋 度 是 产 生 矢 量 场 的 源 ， 而 且 也 是 惟 一 的 两 个 源 。 所 以 ， 散 度 和 旋 度 是 研 究 矢 量 场 的 首 要问 题 。此 外 ， 还 应 强 调 自 由 空 间 可 以 存 在 无 散 场 或 无 旋 场 ， 但 是 不 可 能 存 在 既 无

4、 散 又 无 旋 的 矢 量场 。 这 种 既 无 散 又 无 旋 的 矢 量 场 只 能 存 在 于 局 部 的 无 源 区 中 。重 要 公 式直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 表 示 ： zyxAeeA 矢 量 的 标 积 ： 代 数 定 义 ： zBB几 何 定 义 ： cos|矢 量 的 矢 积 ： 代 数 定 义 ： zyxzyxBAeA几 何 定 义 ： sin|ez标 量 场 的 梯 度 ： yxze矢 量 场 的 散 度 ： zAxA高 斯 定 理 ： SV d矢 量 场 的 旋 度 ： ；zyxzyAex2斯 托 克 斯 定 理 ： l S d)(A无 散 场 ： ；0)

5、(A无 旋 场 ： 格 林 定 理 ：第 一 和 第 二 标 量 格 林 定 理 ： SVV 2d)(d)( 2 S第 一 和 第 二 矢 量 格 林 定 理 ： SV dd)( QPQPV ( SPQ亥 姆 霍 兹 定 理 ： ， 式 中)()()rArrF Vd(41)(rVVd)(41F三 种 坐 标 系 中 矢 量 表 示 式 之 间 的 转 换 关 系 ：zyxzr AA 10cosin zyxr 0cossininicsi zrr AA 01ico题 解第 一 章 题 解1-1 已 知 三 个 矢 量 分 别 为 ； ； 。 试 求 zyeex32zyeBx2zeCx； 单 位 矢

6、 量 ； ； ； 及 ； | |,|CBAcbae ,AA)(B)(及 。)()(解 14321222 zyxAzB3510222 zyxC zyeAexa 314zyBxb 2zeCexc 51 1623 zyxBABA zyzyzyxz eeeexx 57213 zyz eeeCBAx0257因 zyzyzyxAeexx 45213则 zyzy eeeBCxx862345 1532A。9071-2 已 知 平 面 内 的 位 置 矢 量 A 与 X 轴 的 夹 角 为 ， 位 置 矢 量 B 与 X 轴 的 夹 角 为 ， 试0z证 sincos)cos(证 明 由 于 两 矢 量 位 于

7、 平 面 内 ， 因 此 均 为 二 维 矢 量 ， 它 们 可 以 分 别 表 示 为0ziAyeeAxsncoBB已 知 ， 求 得sBAsincosco4即 sincos)cos(1-3 已 知 空 间 三 角 形 的 顶 点 坐 标 为 ， 及 。 试 问 ： 该 三 角)2 ,10(P)3 ,14()5 ,26(P形 是 否 是 直 角 三 角 形 ； 该 三 角 形 的 面 积 是 多 少 ？解 由 题 意 知 ， 三 角 形 三 个 顶 点 的 位 置 矢 量 分 别 为； ；zyeP21zyxeP342zyxee563那 么 ， 由 顶 点 P1 指 向 P2 的 边 矢 量

8、为zx2同 理 ， 由 顶 点 P2 指 向 P3 的 边 矢 量 由 顶 点 P3 指 向 P1 的 边 矢 量 分 别 为zyex823 zyex7631因 两 个 边 矢 量 ， 意 味 该 两 个 边 矢 量 相 互 垂 直 ， 所 以 该 三 角 形 是 直 角 三 角 形 。0)()(2312因 74212P，6981223所 以 三 角 形 的 面 积 为 1735.02312PS1-4 已 知 矢 量 ， 两 点 P1 及 P2 的 坐 标 位 置 分 别 为 及 。 若 取xyeA )1 ,2(1P)1 ,28(P1 及 P2 之 间 的 抛 物 线 或 直 线 为 积 分

9、路 径 ， 试 求 线 积 分 。2 2 dplA解 积 分 路 线 为 抛 物 线 。 已 知 抛 物 线 方 程 为 , ， 则2yxy4d 积 分 路 线 为 直 线 。16d24dd 2312121212 yyxy PPPPlA因 , 两 点 位 于 平 面 内 ， 过 , 两 点 的 直 线 方 程 为 ， 即 ，1z1 28xy46xy， 则yx6。142d46d 21212 yyyPPlA1-5 设 标 量 ， 矢 量 ， 试 求 标 量 函 数 在 点 处 沿 矢 量 A3zxzyeAx )1 ,2(的 方 向 上 的 方 向 导 数 。解 已 知 梯 度 2223)(yzzx

10、yzyxx eeee那 么 ， 在 点 处 的 梯 度 为)1 ,2(5zyxe3因 此 ， 标 量 函 数 在 点 处 沿 矢 量 A 的 方 向 上 的 方 向 导 数 为)1 ,2(13623 zyxzyx eeA1-6 试 证 式 （ 1-5-11） ， 式 （ 1-5-12） 及 式 （ 1-5-13） 。证 明 式 （ 1-5-11） 为 ， 该 式 左 边 为zyxeee zyzyx xzzyy eeeex即 ， 。根 据 上 述 复 合 函 数 求 导 法 则 同 样 可 证 式 （ 1-5-12） 和 式 （ 1-5-13） 。1-7 已 知 标 量 函 数 ， 试 求 该

11、标 量 函 数 在 点 P(1,2,3)处 的 最 大 变 化zeyx3sin2i率 及 其 方 向 。解 标 量 函 数 在 某 点 的 最 大 变 化 率 即 是 函 数 在 该 点 的 梯 度 值 。 已 知 标 量 函 数 的 梯 度 为zyxee那 么 zyz eyxe 3cos2sin3sin2co ex zz eyx3sin2ie将 点 P(1,2,3) 的 坐 标 代 入 ， 得 。 那 么 ， 在 P 点 的 最 大 变 化 率 为6ezyP2723633 ezyPeP 点 最 大 变 化 率 方 向 的 方 向 余 弦 为； ；0cos27cs27cos1-8 若 标 量

12、函 数 为 zyxzyx6322 6试 求 在 点 处 的 梯 度 。)1 ,2(P解 已 知 梯 度 ， 将 标 量 函 数 代 入 得zyxee62432xz再 将 P 点 的 坐 标 代 入 ， 求 得 标 量 函 数 在 P 点 处 的 梯 度 为 yPex931-9 试 证 式 （ 1-6-11） 及 式 （ 1-6-12） 。证 明 式 （ 1-6-11） 为 ， 该 式 左 边 为AC即 AA CzyxzyCx AC式 （ 1-6-12） 为 ， 该 式 左 边 为zyxA zAzyyxx ；即 1-10 试 求 距 离 在 直 角 坐 标 、 圆 柱 坐 标 及 圆 球 坐 标

13、 中 的 表 示 式 。|21r解 在 直 角 坐 标 系 中 21212121 zyxr在 圆 柱 坐 标 系 中 ， 已 知 ， ， ， 因 此cosrsinr2121221221 icos zrr21szr在 球 坐 标 系 中 ， 已 知 , , ,因 此coinxsinrycosrz2122112211221 csisscosin rrr 1 cci1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 及 的 终 点 坐 标 分 别 为 及 ， 试 证 与 之 间 的1r2 ),(1r),(2r1r2夹 角 为 212121 cos)cos(insco7证 明 根 据 题 意 ， 两 个 位 置

14、 矢 量 在 直 角 坐 标 系 中 可 表 示 为11111 cossincosinrrr zyx eee 22222 z已 知 两 个 矢 量 的 标 积 为 ， 这 里 为 两 个 矢 量 的 夹 角 。 因 此 夹 角 为cs11rr21cos式 中 )cos sinsincsin(i21 212121r21因 此 ， 212121 21cos)cos(ins cos)inco 1-12 试 求 分 别 满 足 方 程 式 及 的 函 数 及 。0rf0)(rf )(1rf)(2f解 在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足 311111 rffrfrfrf即 要 求 ， 求 得03

15、d11frf rfd1Crflnln1即 3r在 球 坐 标 系 中 ， 为 了 满 足0222 rrfff由 于 ， ， 即 上 式 恒 为 零 。 故 可 以02rf rf2是 r 的 任 意 函 数 。1-13 试 证 式 （ 1-7-11） 及 式 （ 1-7-12） 。证 明 式 （ 1-7-11） 为 （ 为 常 数 ）AC令 ， ， 则zyxeeAA zyxee8 AeeeACAzyxCCzyxzz 式 （ 1-7-12） 为 令 ， ， 则zyxeeAA zyxeexyzzyxz AyzxyyxzAeezxyyxzxyz AAy ezxyyxzxyz Aee若 将 式 （ 1-

16、7-12） 的 右 边 展 开 ， 也 可 证 明 。1-14 试 证 ， 及 。0r0r03r证 明 已 知 在 球 坐 标 系 中 ， 矢 量 A 的 旋 度 为ArArrsinisin2ee对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 代 入 上 式 ， 且rr0因 r 与 角 度 ， 无 关 ， 那 么 ， 由 上 式 获 知 。0r对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 显 然 。r1rAA对 于 矢 量 ， 因 ， ， ， 同 理 获 知32r0。03r1-15 若 C 为 常 数 ， A 及 k 为 常 矢 量 ， 试 证 ：9 ；rkrkcceC ；rkrA c)( 。rrkcee证 明 证

17、 明 。rrC利 用 公 式 ， 则Frkrkrrk CCee而 zyxzyx求 得 。rkrkCe 证 明 。rkrA Ce利 用 公 式 ， 则Arkrkrrk CCC eee再 利 用 的 结 果 ， 则 rrA 证 明 。rkrkACCee利 用 公 式 ， 则Arkrkrkrk CCCeee再 利 用 的 结 果 ， 则 。rrA1-16 试 证 ， 式 中 k 为 常 数 。rekr22证 明 已 知 在 球 坐 标 系 中 22222 sin1sini1rrr则 rerrekk221 krkrer22krkr2 krkr112 kr210即 rekr221-17 试 证 2|1)

18、()( EE证 明 利 用 公 式ABABA令 上 式 中 的 ， 则 EEE222将 上 式 整 理 后 ， 即 得。211-18 已 知 矢 量 场 F 的 散 度 ， 旋 度 ， 试 求 该 矢 量 场 。)(rq 0F解 根 据 亥 姆 霍 兹 定 理 ， ， 其 中Ar；VVd4rr VVd41rA当 时 ， 则 ， 即 。 那 么 因 ， 求 得0F0rFrFqrqqV4d41r则 rerrF21-19 已 知 某 点 在 圆 柱 坐 标 系 中 的 位 置 为 ， 试 求 该 点 在 相 应 的 直 角 坐 标 系 及 圆 球3 ,4坐 标 系 中 的 位 置 。解 已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为， ，cosrxsinryz因 此 ， 该 点 在 直 角 坐 标 下 的 位 置 为; ; z = 323s423si4同 样 ， 根 据 球 坐 标 系 和 直 角 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 ，； ；22zyxrzyx2arctnxyarctn可 得 该 点 在 球 坐 标 下 的 位 置 为； ；5r534rt120