1、第一章 习题解答1.2 给定三个矢量 ， ， ：ABC= +2 -3xayz= -4 +z=5 -2Cxz求：矢量 的单位矢量 ；AAa矢量 和 的夹角 ；BB 和 （ ）和（ ） ；ACAC （ ）和（ ）BB解： = = = （ +2 -3 ）/Aa149xayz14 = /cosB=A35.o = 11, = 10 4xayz （ ）= 42BC（ ） = 42A （ ）=55 44 11xayza（ ） =2 40 +5BCz1.3 有一个二维矢量场 = （ y）+ (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图F(r)x形。解：由 dx/( y)=dy/x,得 + =c21.6 求数量
2、场 =ln（ + + ）通过点 P（1，2，3）的等值面方程。xyz解：等值面方程为 ln（ + + ）=c2xy2z则 c=ln(1+4+9)=ln14那么 + + =142xy2z1.9 求标量场 （x,y,z）=6 + 在点 P（2，-1 ，0）的梯度。2x3yze解：由 = + + =12x +18 + 得xayza3yxa2yzea= 24 +72 +xyz1.10 在圆柱体 + =9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S:2求矢量场 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为A= 3 + （3y+z）+ (3z x)xa2yza验证散度定
3、理。解： = + + + +sdS曲 dxozASyozd上 AS下= =156.4AS曲 232(csinsi)曲= = 6xoz)yzxo= =0dy23dyz+ = + =AS上 下 (6cos)d上 cosd下 27=193sd = =6 =193V(6)xd(cos1)Vdz即： =sA1.13 求矢量 = x+ x 沿圆周 + = 的线积分，再求 对此圆周所包围的xay22y2aA表面积分，验证斯托克斯定理。解： = =ldA2Ld4=za2y= = =SsdA2Sy2sinSd4a即： = ，得证。l1.15 求下列标量场的梯度：u=xyz+ 2x= + + = (yz+zx)+
4、 xz+ xyuxayuzaxyazu=4 y+ z 4xz2= + + = (8xy-4z)+ (4 +2yz)+ ( 4x)uxayuzaxya2xza2y = + + = 3x+ 5z+ 5yxyzxyz1.16 求下列矢量场在给定点的散度 = + + =3 +3 +3 =6AxyzA2xy(1,0)| =2xy+z+6z =2(1,0)|1.17 求下列矢量场的旋度。 =A = （x x）+ （y y）+ （z z）=aa01.19 已知直角坐标系中的点 P(x,y,z)和点 Q(x,y,z),求：P 的位置矢量 和 Q 点的位置矢量 ；rr从 Q 点到 P 点的距离矢量 ；R 和 ；
5、r 。1()R解： = x+ y+ z;rxayz= x+ y+ z za = = （x x）+ （y y）+ （z z）Rra = , =3r0 22211()()()Rxyz=( + + )xayza1R= x21(y2(za21()R= a3R3z3= （x x）+ （y y）+ （z z）1a= 3即： =1()R3第二章 习题解答2.5 试求半径为 a，带电量为 Q 的均匀带电球体的电场。解：以带电球体的球心为球心，以 r 为半径，作一高斯面，由高斯定理 =Q，及 得，SDdAE r a 时，由 = ，得S2243ra34QrD30Ea ra 时，由 =Q，得SDdA34Qr304Q
6、rE2.5 两无限长的同轴圆柱体，半径分别为 a 和 b（a0 的区域外电场强度为 0，即：= =0，得 =120ssre1S2sa2.9 一个半径为 a 的薄导体球壳，在其内表面覆盖了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为Q 的电荷，球壳上又另充了电量为 Q 的电荷，已知内部的电场为 ，计算：4()rEa球内电荷分布；球的外表面的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。解：由 ，得0vEA304ra rEe0srrDE由高斯定理 = =qSdA24r当 r a 时，q=2Q ， Q=0a02rQ aEdl=2-2ara2.17 一个有两层介质（ ， ）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 和 ，电12
7、 12容器极板的面积为 S。当外加压力为 U 时，求：电容器的电场强度；两种介质分界面上表面的自由电荷密度；电容器的漏电导；当满足参数是 ，问 G/C=?(C 为电容器电容 )121解：由 ，得n2ED,JU，211d122d两介质分界面的法线由 1 指向 2由 ，得21sE=s212Ud12d由 ，知IJES121dG= =IU21S =DQC21dG/C= 13.1 设一点电荷 与无限大接地导体平面的距离为 ，如图 3.1 所示。求：qd（1）空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上感应电荷密度；（3）点电荷 所受的力。1201222203333021212122120(),)()41(
8、 )()()()()4()z=0,(xy zrxyzdqryzdxzdEqaaarrrrxydqE在 导 体 平 面 上 有 则 323222200).()(3)()416zsz zadaxyqqFadd由 库 仑 定 律 得3.6 两无限大接地平行板电极，距离为 ，电位分别为 0 和 ，板间充满电荷密度为U的电荷，如题 3.6 图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。0xd解 ： 板 间 电 位 满 足 泊 松 方 程 20xd边 界 条 件 为 0()=,dU对 方 程 进 行 两 次 积 分 得30126xCd代 入 边 界 条 件 得 021,CUd300,()6所 以 板 间
9、电 位 分 布 为xUx200200000000()6()3x=极 板 上 的 电 荷 密 度 为d极 板 上 的 电 荷 密 度 为xxsxsxddEaDdUadD3.8 一个沿 z 方向的长且中空的金属管，其横截面为矩形，金属管的三边保持零电位，而第四边的电位为 U，如题 3.8 图所示。求：（1）当 时，管内的电位分布；0（2）当 时,管内的电位分布。sinyb（1） 电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程22 00, ,0, , ()()()0()=()0(1)()即边 界 条 件 为分 离 变 量 ,设代 入 方 程 并 且 两 边 同 时 除 以 得设 则方 程 可 写 成
10、 以 下 形 式xybxaybaUfgfxyfxgyffxfgy22解 方 程 并 要 求 满 足 边 界 条 件0, ,0得只 有 时 方 程 满 足 要 求yxaybxa2()sin)解 得 nngyb0,1,()sinh()将 代 入 方 程 ()并 满 足 边 界 条 件解 得xybnfAxb则 y则 电 位 的 通 解 为1sinh()si()nxyb,01001sinh()si()sin()i()02sinh()si()代 入 边 界 条 件 得两 边 同 时 乘 以 iy并 对 从 到 b积 分 ,并 由时时 得 xaybxabbnUAmdyybAadnyb0sih()2(3ym
11、baUd0(1)=)cossinh()2时 ,由 方 程 得 mbAam001,3541(,35)sinh)si()4sin()h则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为mnUAmabxyba 000(2)siinsin=(m1)2时y)y)bbUmddbU0100(3)sinh()2i()sinh()i由 方 程 得则代 入 电 位 的 通 解 求 得 电 位 为bUAabxybUa3.9 一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为 ，其余两面的电位为零，如图 3.90U所示。求槽内的电位函数。 2200U电 位 分 布 满 足 拉 普 拉 斯 方 程即边 界 条 件 为 xxayyC
