1、第十章第十章 曲线积分和曲面积分一、一、基本内容（一）第一型曲线积分与曲面积分1.第一型曲线积分（1）第一型曲线积分的定义 ni iiL sfdszyxf10),(lm),( 若 是封闭的，则记作 Ldzyx(2) 第一型曲线积分的计算 dtttttfdszyxfL 222)()()()(,)(),(2.第一型曲面积分（1）第一型曲面积分的定义 ni iiiSfSzyxf10),(lm),( （2）第一型曲面积分的计算 Dyxdzyzxfdf 2),(),(（二）第二型曲线积分1 第二型曲线积分的定义设 ),(),(),(),( zRyQzxPzyxF，当 Ldsco， Ldsco， Ldsc
2、o都存在时，其中 ,是 的单位切向量，称 LLL zyxRzyx 为一般形式的第二型曲线积分.2. 第二型曲线积分的计算 dtztytxRtyztxQtztyxPdQ )(),()(),()(),( 3.格林公式及其一些命题（1）格林公式 DL dxyPdyxyx)(),(),(（2）若 ),(P、 ),(Q、 、 在单连通域 D上均连续，则下列四个命题等价：1) ABdyx只依赖于区域 内的起点 A与终点 B，而与连结 A、 B的积分路径无关；2) 在区域 D上， 是某一个函数 ),(yxF的全微分，且),(,(yxbaQdPF点 是 D内的某一定点，点 ),(yx是 D内的动点；3) yx
3、在区域 上的每一点处都成立；4) 0Ld，其中 L是 内的任意一条逐段光滑的闭曲线（三）第二型曲面积分1.第二型曲面积分的定义称 RxdyQzPy为一般形式的第二型曲面积分，当 是闭曲面时，积分号将写成 2. 第二型曲面积分的计算DdxyfyxdxyzR),(,),(,同理计算 zP),(,zQ3.奥-高公式与斯托克斯公式（1） dxyzRyxPRdxyzdy )(（2） z)()(LdzQyPx4.向量场的散度与旋度称 zRyQxPRdxVdivFN 1lm为散度,称,yzyRrot 为旋度二、练习题10.1 计算下列第一型曲线积分：（1）计算 Ldsyx)(,其中 L为连接 )0,(O，
4、)1,(A， ),(B的直线段所围成的围线解：如图 10-1， dysOA;0:； xyxB2；;1:ABOL sdsyx)()(201010 dxx（2） Ls，其中 为摆线 )sin(ta， )cos1(tay的第一拱O 11 A Bxy图 10-1解：摆线的第一拱，则 2,0tLdsy20 22)sin()co1()co1( dtatata3s（3） Lxyds，其中 是 )0(yx解： f),(是关于 的奇函数,而 L是关于 y轴对称.由第一型曲线积分的对称性知： 0Lxys（4） d2，其中 为圆周 axy2解：如图 10-2， 方程为： taytxsinco,cs2，其中 ,t原式
5、 2 222 )cos()si( dta22cosatda（5） Lx，其中 为圆周 zyax22解： 的参数方程为： 2,0,sin2,sin2,cos tztaytadxdttt 3022ssL （6）计算球面 22azyx在第一象限上的边界曲线的形心解：不妨假设 1，如图 10-3，dsMABACB23xx 其中 2,0,0sin,co: tadsztaytxAB；z O Bax ACyaa图10-3(x,y)a/2 a xyOt图10-22,0,sin,co,0:tadtztayxBC；sinA 22020 icotdtaMx 故 34又由于图形的对称性知 34azyx（7）设 L的方
6、程为 )0(22，其线密度 )(122yxa，求 对于原点处的单位质点引力 F解： 的极坐标方程为 ,)cos1ar，ddrds()(22，sGF，axcocos2ddLx )cos1(s02coaGaGd38)s23(由 L对称性知 yF10.2 计算下列第二型曲线积分：（1） yxdx)()(22， L为抛物线 )1(2xy解：原式 dx21343154)2(15 xx（2） OmAndyarct，其中 OmA为抛物线段 2xy， OnA为直线 xy解：原式 Oxtn0110 )4()2(arcddxt（3） L zxyxzy22)(， L为沿参数增加的方向进行的曲线)10(,3tttx解
7、：原式 10 23264 )( dtttt51)(104（4） L dzyxdzdxy)()( 222，为球面的第一象限中的部分 122x的边界，当沿着它的正向进行时曲面的外面保持在左方解：如图 10-4，由对称性知原积分为 AB dzyxdzdxy)()()(32220,sin,co:tt， t从 到原积分 20 20cos)()i( dtt4cosi333dtt（5） Lyyxexde)()(22， L是从 )0,(O沿曲线 )sin(2xy到点)0,1A解：补充直线段 AO， ,0:从 1到 原积分 L102)212( xdxexeDyy1（6） Lxd)sin()cos(，其中 L为域
8、 xyxsin0,的正方向的周线解：由格林公式， Lx dyxye)si()cs1(DeniDxe)1(5sin0eydx（7） L2， L为沿正向进行，而不经过坐标原点的简单闭曲线解：（1）若原点不在 所围的区域 D内，直接L1图10-5lxyoz O B1x ACy11图 10-4应用格林公式 0)(2 DDL dxyyPxQyxd（2）若原点在 L所围成的区域 内，如图 10-5，在原点附近作一个充分小的圆周 2:l，其方向为顺时针方向，设 L与 l所围成的复连域为 1D，则 逆顺逆 llLL yxdyxdyxd222逆lD101222ldxy（8） )1,3(03)(y解： 46xPQ
9、故积分与路径无关如图 10-6，选取路径 ACB，计算积分原积分 CBAyxd3)(3)()(0131dy2（9） )4,1(0 2sin)cos ydexyex解： yPQxin，故积分与路径无关，如图 10-7，选取路径 OAB计算积分原积分 ABxxOydedye2sin)2cos(24010 )(3)(e10.3 计算下列第一型曲面积分：1 A3 xyo-1 B(3,-1)图10-6C4/1OB(1, ) 4/xy图10-7A（1） xyzdS， 是 22zyx在第一象限的部分解： 2， dzyx3)(如图 10-8， xyDxydS)2d10(620)3（2） Szyx(2， 是 a
10、zyx2的表面解：如图 10-9，取 da,:1取 22:yxz， xyzdS2)( 则 dS(2221 )()2dSzxzyx xyxy DD xdyxa(22 xyDadrd202)44)3(12( a(3)设曲面 )(2azyxz的面密度为 1，求其质心坐标及对于坐标轴的转动惯量解：由对称性知： 0 dxyzdSz yx2)(1,: 222 ayMxyDzzzxyDdxy212arMa30故质心坐标为 ),(xozy112图 10-8zoxya2图 10-9 xyDx dxydSzyI 2)()(22aa rr00 sin444232由对称性知 yxI xyDz dxydsI )()(2
11、2402ara10.4 计算下列第二型曲面积分：(1)zdxy, 是由2yxz与 z所围成的立体的表面内侧解：由高斯公式知 dvz 4202rd（2） yzxxy22， 是由 )(12yxaz， 2a及 0z所围成立体表面外侧解：由高斯公式 ydzxzxy22 aradzv20022)(53（3） xyzxydzx )()(， 为球面1)1()(222y的外侧解： dvzydd)2()()(2由对称性知 zvyxv故原积分6设 cosin1rx， sin1ry， cos1rz，则仍有 ddyzi2020 i)coi(6dv 8（4）求向量 ,xzF穿过曲面 为 )0(hzayx的全表面流向外侧
12、的流量解： ydyzd0v三、测验题1. 1. 填空（1） L是曲线 142yx，其周长为 s，则 Ldsyx)4(2等于 解：由积分的对称性知 0Ld，又 即： 2，故 sxL 4)(2（2） 是顺时针方向的光滑封闭曲线，所围成的平面图型的面积为 A，则Lydx5解：由格林公式，AdydxDL 3)52(52（3）.（4）略2. 2. 选择（1）.（2）.（3）略（4） dzxydyzeIx )sin()4(2，其中 是平面 042zx被柱面162yx所截得部分的上侧，则 I等于（） A.164eB. )1(46eC. 0 D. )1(6e， ,n故 ， ， ，5cos0cos52cs有 ，
13、 ， dSyz1dSzxdSxy5)4(2eIyxxyxy DD de22 42)( 10)1(1选取坐标： ， ，则 cosrsinryr，应选 B)(4216204edeI 3. 计算下列各题（1） ，其中 是从 沿 ，Lxx yye)3cos()sin( L)0,1(A132yx到 0,解：补充直线段 ， ，其中 BOA1,0(,Lxx dyedye)cs()si(ABAB0cos410ydDin10x1si)(cs233ttiniin1064dtts8(2)求摆线 ， 的弧的重心)i(tax)cos1(tay)0(t解： dtaddtt 2sin2)2tsML4in02si)(dtax0202 )3co(si tdtta316802sin)co(dtatysML022 )indta3164故 ， xaMy4（3）计算 ，其中 是 从 轴正向L dzyxzdxz)()()( L212zyx看 的方向为顺时针方向解：取 为 被 所截得的部分，由右手定则方向为下侧，2y12根据斯托克斯公式有： L dzyxzdxz)()()(y202xyD（4） ，其中 是 在 的第一象dxyzzd22 2yxz10z限部分的下侧
