1、子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。1必修五 数列知识梳理 1.数列的前 n项和与通项的公式 nnaaS21; )2(1nSn.例 1. 已知下列数列 的前 项和 ,分别求它们的通项公式 .n na Sn32; 13n.设数列 满足 ,则 na21*13.,.3naaNna数列 中, )(2321 na ,求 53a的值.na已知数列 n的首项 12,其前 项和 21nS求数列 na 的通项公式设 nS、T分别是等差数列 、 的前 n项和, 327nT,则 5b .nab2. 数列的单调性递增数列: 对于任何 Nn,均有 na1.递减数列: 对于任何 ,均有 .2010-2011 海
2、淀区高三年级期中已知数列 满足:na123,(,23)nnaa (I)求 的值;123,子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。2()求证:数列 是等比数列;1na()令 ( ),如果对任意 ,都有 ,求 实数 的取值(2)1nnba,23.*nN214nbtt范围.2.等差数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式 da)1(,a为首项, d为公差.前 项和公式 2nnS或 nS)1(21.等差中项:如果 bA,成等差数列,那么 A叫做 a与 b的等差中项.即: 是 a与 的等差中项 , , 成等差数列.等差数列的判定方法定义法: dn1( N, 是常数) 是等差数列;na中项法: 2
3、2a( ) 是等差数列.n ) 是等差数列(nab一n 是等差数列2 )SAB数 项 为0na等差数列的常用性质数列 是等差数列,则数列 pn、 n( 是常数)都是等差数列;na等差数列 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,32knknaa为等差数列,公差为 kd. mnan)(;子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。3若 ),(Nqpnm,则 qpnmaa;若等差数列 的前 项和 nS,则 是等差数列;na例 2.已知 nS为等差数列 的前 项和, )(NnSbn.求证:数列 nb是等差数列.n等差数列的前 项和 的最值问题nnS若 nda,01有最大值,可由不等式组 01
4、na来确定 n;若 nS,1有最小值,可由不等式组 1n来确定 .例 2.已知 n为数列 的前 项和, 31a, )2(1aSnn.na求数列 的通项公式;数列 中是否存在正整数 k,使得不等式 1k对任意不小于 k的正整数都成立?若n存在,求最小的正整数 ,若不存在,说明理由.3.等比数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式: 1nqa, 为首项, q为公比 .前 项和公式: 当 时, 1naS当 q时 , qannn1)(.等比中项子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。4如果 bGa,成等比数列,那么 G叫做 a与 b的等比中项.即: G是 a与 b的等, ,中项 a, 成等差数
5、列 2.等比数列的判定方法定义法: qan1( N, 0是常数) 是等比数列;na中项法: 221n( )且 n是等比数列.n等比数列的常用性质数列 是等比数列,则数列 npa、 n( 0q是常数)都是等比数列;na在等比数列 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即,32knkn为等比数列,公比为 k. )(Nmqa若 ,qp,则 qpnma;若等比数列 的前 n项和 nS,则 k、 kS2、 k23、 kS34是等比数列.例 3.已知 nS为等比数列 前 项和, 54, 60n,则 n .a4.数列的通项的求法利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项: )2(1nSan( ;应用迭
6、加(迭乘、迭代)法求数列的通项: (1fa; ).(1nfan构造等差、等比数列求通项: qpann1; nnqpa1; 1nkb子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。5例 4.设数列 的前 n项 和为 nS,已知 )(3,11 NnSan,设 nnSb3,a求数列 nb的通 项公式(宣武二模理 18)设 是正数 组成的数列,其前 项和为 ,且 对于所有的正整数 ,有nannSn12nS(I) 求 , 的值;2(II) 求数列 的通项公式;na(III)令 , , ( ),1bkk)1(2kab321,21求数列 的前 项和 n2nT例 5.已知数列 中, )2(1,211 nan,求
7、数列 的通项公式;na na设 na是首项为 1 的正 项数列,且 )(0)1(12Nnana,则数列 的通项 na .子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。6例 6.已知数列 中, 23,1nnaa,求数列 的通项公式;n na已知数列 中, nnaa3,1,求数列 的通项公式.n na例 7.数列 na中, )(2,1Nnan,则 na的通项 n .数列 na中, )(,111naan,则 na的通项 n .例 8.已知数列 中, naan2,1,求数列 的通项公式.n na5.数列求和基本数列的前 n项和 等差数列 na的前 项 和: nSnbadn21)( 等比数列 n的前 项
8、 和 n:子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。7当 1q时 , 1naS;当 q时, qaaSnnn1)(1;数列求和的常用方法:拆项分组法;裂项相消法;错位相减法;倒序相加法.例.等差数列 ,公差 21d,且 60953aa ,则 10321aa .na拆项分组法求和求数列 , )21(83412n的前 项和 nS.裂项相消法求和数列 ,)1(432,4321, k的前 n项和 nS 求和: )2(531421n ; 求和: n13412312 .倒序相加法求和北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测已知函数 , 为正整数5)(xfm()求 和 的值;01f)1(
9、)xf()若数列 的通项公式为 ( ),求数列 的前 项和 ;nanfam,21 namS()设数列 满足: , ,设 ,若( )中nb21nnb21 1121nbT子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。8的 满足对任意不小于 3 的正整数 n, 恒成立,试求 的最大值.mS 574nmTSm例 9.设 nS是数列 na的前 项和, 1a, )2(12nSan.求 n的通项;设 12nSb,求数列 nb的前 项和 nT.错位相减法求和若数列 na的通项 nn3)12(,求此数列的前 n项和 nS.【解析】 S 3)12(531 , 1432 nn -,得1432 3)2(3312 nn
10、nS14)2()( n 6.n)1n.子曰:知之者,不如好之者;好之者,不如乐之者。9例 10.已知 nS为数列 的前 n项和, 1a,Sn+1=4an+2.a设数列 b中, 21,求证: b是等比数列;设数列 nc中, n,求证: nc是等差数列;求数列 的通项公式及前 项和.a例 11.设函数 )(xf的定义域为 R,当 0x时, 1)(xf,且对任意的实数 Ryx,,有)(yyxf求 0f,判断并证明函数 )(xf的单调性;数列 满足 01fa,且 )()2(1*1Nnafafnn求 通项公式;n北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测子曰:知之者,不如好之者;好之者,
11、不如乐之者。10解:() =1;515)0(1f= = =1;分)()xf1x xx5()由()得 ,即)1( )()mkfmkf ,1 1)() kmka,mfkf由 , m1321maaS得 由, 得 ,10 分,21)(2mmaS 4521)()12)( mfS() ,对任意的 . ,1b1bbnnn 0 *,nbN 即 .,)(nn1n 1nnb .111321 2)(1 nnnn bbT 数列 是单调递增数列.,0bn1nn 关于 n 递增. 当 , 且 时, .N3Tn 2567)1(6,12)4(3)2(,1 4bb .而 为正整数,.75643bTn ,573Sm0m 的最大值为 650. m