1、子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。1必修五 数列知识梳理 1.数列的前 n项和与通项的公式 nnaaS21； )2(1nSn.例 1. 已知下列数列 的前 项和 ，分别求它们的通项公式 .n na Sn32； 13n.设数列 满足 ，则 na21*13.,.3naaNna数列 中， )(2321 na ，求 53a的值.na已知数列 n的首项 12，其前 项和 21nS求数列 na 的通项公式设 nS、T分别是等差数列 、 的前 n项和， 327nT，则 5b .nab2. 数列的单调性递增数列: 对于任何 Nn,均有 na1.递减数列: 对于任何 ,均有 .2010-2011 海
2、淀区高三年级期中已知数列 满足：na123,(,23)nnaa （I）求 的值；123,子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。2（）求证：数列 是等比数列；1na（）令 （ ），如果对任意 ，都有 ，求 实数 的取值(2)1nnba,23.*nN214nbtt范围.2.等差数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式 da)1(，a为首项， d为公差.前 项和公式 2nnS或 nS)1(21.等差中项:如果 bA,成等差数列，那么 A叫做 a与 b的等差中项.即： 是 a与 的等差中项 ， ， 成等差数列.等差数列的判定方法定义法： dn1（ N， 是常数） 是等差数列；na中项法： 2
3、2a( ) 是等差数列.n ) 是等差数列(nab一n 是等差数列2 )SAB数 项 为0na等差数列的常用性质数列 是等差数列，则数列 pn、 n（ 是常数）都是等差数列；na等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,32knknaa为等差数列，公差为 kd. mnan)(；子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。3若 ),(Nqpnm，则 qpnmaa；若等差数列 的前 项和 nS，则 是等差数列；na例 2.已知 nS为等差数列 的前 项和， )(NnSbn.求证：数列 nb是等差数列.n等差数列的前 项和 的最值问题nnS若 nda,01有最大值，可由不等式组 01
4、na来确定 n；若 nS,1有最小值，可由不等式组 1n来确定 .例 2.已知 n为数列 的前 项和， 31a， )2(1aSnn.na求数列 的通项公式；数列 中是否存在正整数 k，使得不等式 1k对任意不小于 k的正整数都成立？若n存在，求最小的正整数 ，若不存在，说明理由.3.等比数列知识点通项公式与前 n项和公式通项公式： 1nqa， 为首项， q为公比 .前 项和公式： 当 时， 1naS当 q时 ， qannn1)(.等比中项子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。4如果 bGa,成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项.即： G是 a与 b的等， ，中项 a， 成等差数
5、列 2.等比数列的判定方法定义法： qan1（ N， 0是常数） 是等比数列；na中项法： 221n( )且 n是等比数列.n等比数列的常用性质数列 是等比数列，则数列 npa、 n（ 0q是常数）都是等比数列；na在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knkn为等比数列，公比为 k. )(Nmqa若 ,qp，则 qpnma；若等比数列 的前 n项和 nS，则 k、 kS2、 k23、 kS34是等比数列.例 3.已知 nS为等比数列 前 项和， 54， 60n，则 n .a4.数列的通项的求法利用观察法求数列的通项.利用公式法求数列的通项： )2(1nSan（ ；应用迭
6、加（迭乘、迭代）法求数列的通项： (1fa； ).(1nfan构造等差、等比数列求通项： qpann1； nnqpa1； 1nkb子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。5例 4.设数列 的前 n项 和为 nS，已知 )(3,11 NnSan，设 nnSb3，a求数列 nb的通 项公式（宣武二模理 18）设 是正数 组成的数列，其前 项和为 ，且 对于所有的正整数 ,有nannSn12nS(I) 求 ， 的值；2(II) 求数列 的通项公式；na（III）令 ， ， （ ），1bkk)1(2kab321,21求数列 的前 项和 n2nT例 5.已知数列 中， )2(1,211 nan，求
7、数列 的通项公式；na na设 na是首项为 1 的正 项数列，且 )(0)1(12Nnana，则数列 的通项 na .子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。6例 6.已知数列 中， 23,1nnaa，求数列 的通项公式；n na已知数列 中， nnaa3,1，求数列 的通项公式.n na例 7.数列 na中， )(2,1Nnan，则 na的通项 n .数列 na中， )(,111naan，则 na的通项 n .例 8.已知数列 中， naan2,1，求数列 的通项公式.n na5.数列求和基本数列的前 n项和 等差数列 na的前 项 和： nSnbadn21)( 等比数列 n的前 项
8、 和 n：子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。7当 1q时 ， 1naS；当 q时， qaaSnnn1)(1；数列求和的常用方法：拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法.例.等差数列 ，公差 21d，且 60953aa ，则 10321aa .na拆项分组法求和求数列 ， )21(83412n的前 项和 nS.裂项相消法求和数列 ,)1(432,4321, k的前 n项和 nS 求和： )2(531421n ； 求和： n13412312 .倒序相加法求和北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测已知函数 ， 为正整数5)(xfm（）求 和 的值；01f)1(
9、)xf（）若数列 的通项公式为 （ ），求数列 的前 项和 ；nanfam,21 namS（）设数列 满足： ， ，设 ，若（ ）中nb21nnb21 1121nbT子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。8的 满足对任意不小于 3 的正整数 n， 恒成立，试求 的最大值.mS 574nmTSm例 9.设 nS是数列 na的前 项和， 1a， )2(12nSan.求 n的通项；设 12nSb，求数列 nb的前 项和 nT.错位相减法求和若数列 na的通项 nn3)12(，求此数列的前 n项和 nS.【解析】 S 3)12(531 ， 1432 nn -，得1432 3)2(3312 nn
10、nS14)2()( n 6.n)1n.子曰：知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者。9例 10.已知 nS为数列 的前 n项和， 1a，Sn+1=4an+2.a设数列 b中， 21，求证： b是等比数列；设数列 nc中， n，求证： nc是等差数列；求数列 的通项公式及前 项和.a例 11.设函数 )(xf的定义域为 R，当 0x时， 1)(xf，且对任意的实数 Ryx,，有)(yyxf求 0f，判断并证明函数 )(xf的单调性；数列 满足 01fa,且 )()2(1*1Nnafafnn求 通项公式；n北京市宣武区 20092010 学年度第一学期期末质量检测子曰：知之者，不如好之者；好之者，
11、不如乐之者。10解：（） =1；515)0(1f= = =1；分)()xf1x xx5（）由（）得 ,即)1( )()mkfmkf ,1 1)() kmka,mfkf由 , m1321maaS得 由, 得 ，10 分,21)(2mmaS 4521)()12)( mfS（） ,对任意的 . ,1b1bbnnn 0 *,nbN 即 .,)(nn1n 1nnb .111321 2)(1 nnnn bbT 数列 是单调递增数列.,0bn1nn 关于 n 递增. 当 , 且 时, .N3Tn 2567)1(6,12)4(3)2(,1 4bb .而 为正整数，.75643bTn ,573Sm0m 的最大值为 650. m
