1、0数学思维训练教程目 录第 1 讲 计算（一） 速算与巧算 .1第 2 讲 计算（二） 比较大小、估算、定义新运算 .16第 3 讲 数字谜、数阵图、幻方 .29第 4 讲 数论（一） 整除、奇偶性、极值问题 .43第 5 讲 数论（二） 约数倍数、质数合数、分解质因数 .54第 6 讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 .64第 7 讲 几何（一） 平面图形 .74第 8 讲 几何（二） 曲线图形 .93第 9 讲 几何（三） 立体图形 .106第 10 讲 典型应用题（一）和差倍、年龄、植树问题 .116第 11 讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题 .122第 12
2、 讲 牛吃草问题 .130第 13 讲 行程（一） 相遇追及（多次） 、电车问题 .137第 14 讲 行程（二） 平均速度、变速度、流水、电梯 .153第 15 讲 行程（三） 行程中的比例 .163第 16 讲 分数与百分数 .177第 17 讲 工程问题 .187第 18 讲 浓度与经济问题 .202第 19 讲 方程 .211第 20 讲 排列组合 .222第 21 讲 容斥原理 .233第 22 讲 抽屉原理 .245第 23 讲 逻辑推理 .253第 24 讲 统筹与策略 .2711第 1 讲 计算（一） 速算与巧算一、知识地图二、基础知识（一）整数计算1、基本公式（1） 加法交换
3、律： ab（2） 加法结合律： cbacc)()(（3） 减法的性质： （4） 乘法交换律： ab（5） 乘法结合律： cbac（6） 乘法分配律： ()ab（7） 除法的性质： ()c速算与巧算 整数计算 基本公式平方、立方公式数列及特殊公式特殊方法分数计算拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数22、平方、立方公式（1） 完全平方公式：2222() 2ababccca（2） 平方差公式： 2()abab（3） 完全立方公式：3223()（4） 立方和公式： 322()abab（5） 立方差公式： )3、数列及特殊公式（1） 等差数列：A) 通项公式： 为什么要“n-1”呢？1()nadB)
4、 求项数公式： 为什么要“+1”呢？C) 求和公式： 为什么要“2”呢？1()2nS关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？“在数轴上植树” ，这可是带有一定的技术含量的如图：25221916131074请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。例如： a) 22 这个数是“第七棵树” ，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+（7-1）3；b) 如果要求这个数列从 4 到 25，一共有多少个数，相当于把 4 看作第一棵树，问 25 是第几棵树？可以思考，从 4 到 25 一共有多少个“间隔” ，仅做了解3（25
5、-4）3=7，所以应该是“第 8 棵树” ，这里注意到了为什么求项数“加 1”了吧？c) 求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：法一：高斯“配对法” 。例如，在计算 1+2+3+8+9 这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是 10，这里，要注意还有一个“中间数”5， ，没有配上对，所以，这组数列 9 个数的和是 104+5=45。法二：借来还去法。例如，还是计算 1+2+3+8+9 这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+3+2+1” ，这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相
6、等的。所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以 2”的！问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了“变异为同”了！如图：+ + + + + + + +=2S=S=S101010101010101010123456789+987654321所以，可以得出，1092=45回头再看，这里的 10 可以用（1+9）为代表，则得：（1+9）92=45再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：和=（首项+末项）项数2（2） 等比数列： 1nnaq1()(nSq（3） 1123()2n4a) 222113()2
7、1)6nnb)233(4（4） 2121nn （5） 23（n9） 145321nn 个（6） 0abab（7） 10ccabdd这一类的数不妨称之为“重码数” ，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。4、特殊方法（1） 凑整法：利用运算公式和运算律（如交换律、结合律、分配律）将一些数凑成整一或整十整百再计算。（2） 换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如 a，b，c 达到化繁为简的目的。（二）分数计算1、拆分与裂项（1） 1()nn（2） ()()kk(1)（3） 1 1 ()2()(2)nnn5（4） 1()()anknk(1)ak且2、
8、几个常用拆分分数16235162347405905136136427427 3、循环小数化分数0.9a0.9a0.9ab0.9ab.bc.bc.cd请聪明的你，来比较 1 与 0.99999999的大小？你可能已经知道：0.9999999=1也就是： =1，可是这是为什么呢？0.9铺垫： = = 21.0901= =337= =4.29= = = =120014564321.090137以此题为例推导：1.240.913.240.961234610.905设 为 A，那么 100A=. 2.3410000A=1.所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12123461
9、905A注意：循环小数化分数，分母中 9 的个数与其循环节的位数对应，0 的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。三：经典透析【例 1】：（） 19231945审题要点：1） 看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？对了，每一个数都有一个小秘密：01928 2） 发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程：1931945(0)(28)(07)(206)(205)65专家点评：这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！【例 2】 （） 2387654387654审题要点：1） 好大的数啊！别怕，肯定有绝招。原来平方差公式还
10、可以这么用！ 2()abab72） 哈哈，终于发现了数之间的小秘密。 3876542(3876541)详解过程： 223876543187654311原 式 （ ） （ ）（ ）专家点评：做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手。【例 3】 （） 2221350审题要点：1） 这题看着很熟悉联想平方求和公式2） 可是起始的数不是 ？21没关系，缺什么补什么！详解过程： 22222221350(150)(130)50466()4 专家点评：很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这
11、道题目就是一个很好的例子。【例 4】 （） 1695730153.2审题要点：1） “73”好像是关键。2）如果可以提取 73，那不是很简单？试试吧！ ；2213()16n凑整；提取公因数；“借来还去”思想。提取公因数的两大特征：一是要有“公因数” ， “疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工。二是要有互补数。 (10)(babcab变 招 8详解过程：195.730.241732.73()2460原 式专家点评：此处利用了分拆法，将 730 分拆为 7310，153.3 分拆为 732.1，目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？【例 5】 （）11123
12、230 审题要点：1） 分母很特别哦： ,10 2） (1)32n3） (1)()n详解过程：原式= 112()()2()13n= 0= ()0= 21专家点评：这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。【例 6】 （） 15109_26审题要点：1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；2） 如果做一下变换呢？91256 试试吧。详解过程：原式= 111()()()2620= 00=1()31= 2= 0()1=9专家点评：这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细。【例 7】 （） 444459139377审题要点：1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：， （这两个利用辗转相除法） ，能够约掉 37，看来确456293738546510237实可以裂项。详解过程：观察到 5，37，101 以及约去的最大公约数 17 和 65 都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的约分后等于 ，原式等于 。497201462501专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答案的。本题解题的关键在于“试算观
