1、0数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要 在高等数学中极限是一个重要的基本概念。高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。本文主要研究了求极限问题的若干种方法。在纷繁众多的求极限方法中,同学们往往在求解极限时不知如何下手。文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性；利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限；这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特殊方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限；利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极
2、限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。关键词：数列，极限，概念，定理。Solution of the limitAbstract ：In the higher mathematics limit is an important basic concepts. In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration, series are used to define the limi
3、t. This paper mainly studies the problem of several limit. In the numerous and numerous limit method, students often in solving limit doesnt know how to start. The contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property, Monotone h
4、ave defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit, These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special structures and properties of invariable; the sequence limit, Usin
5、g the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method, these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods.Key words: Series, limit, the concep
6、t, the theorem.1引 言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。因此，掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。下面简单介绍一下求极限的几种方法，不仅具有教材建设的现实意义而且具有深刻的理论意义。一、数列极限的基本概念及基本理论（一） 、数列极限的定义 1设 是一个数列，若存在确定的数 ，对 ， ，使na a0N当 时，都有 | |0（或0） ，则对任意一个满足不等式anlim， （或 ）的 ，都存在正数 ，使当 时，0aaNn1 华东师范大学数学系编， 数学分析上册，第三版，23 页，定义 1。2（或 ） 。ann4、若 ， ，且 ，则 。alimbnli )(0Nnaba5
7、、迫敛性（两边夹） 设 ，且 ，bnnlimli )(0Nncn则 。cnli（三） 、数列极限的四则运算1、若 ， ，则 ， 。anlimbnli bann）（li abnli2、若 ， ，则 。nli 0linnlim（四） 、常用公式 1、有理式比 .,0.lim11 kmkbanbnamkkm当当 当2、 ，其中| |1。0linqq3、 。ane）（ 14、 。silm（五） 、充要条件 1、柯西准则 2 数列 收敛的充要条件是：对 ，总存na0在自然数 ，使当 ，都有 。NNmn, |m2、子数列法则 数列 收敛的充要条件是它的任一子列都收n敛于同一极限。（六） 、单调数列 2 华
8、东师范大学数学系编， 数学分析上册，第三版，38 页，定理 2.10。3任何有界的单调数列一定有极限。且单调递增有界数列的极限为其上确界。单调递减有界数列的极限为其下确界。二、求数列极限的方法（一）求数列极限的基本方法（1） 、利用定义求数列极限例 1 设数列 收敛于 ，证明 。nxaanxxn.lim21分析：欲证 ，考虑x.lim21|.| 21xnn|.|21 axxan由于 。当 充分大时， 就充分小，上述和式的xnli |构成项 ， ，. ， 中后面的绝大部分项充分小，而|1a|2|axn前面不充分小的项则仅有少数几项，被分母 除后亦会充分小。n证明 因为 。 是有界数列。xnlim
9、nx也是有界数列，即存在正数 ，使得 ， axn 0M,.21n皆有 。又 ， ，使得 时， 。于是M| 01N1N|ax当 时， 1Nn 2)(| 11111 naxaxxnkknk 2| 11 nMnnkk只要取 ， 时，必有 。12maxNMN，|1|axk此即证得 。anxn.li2注 1、证明过程中其实采用了一种分段技术，性质不同的对象4以不同的方法处理。 2、为了简化证明的书写，不妨先设 ，而对一般情形，0a可以做平移变换 ，即等价转换为 的命题。axn*3、 时，相应结论应成立，但证明须作一定修改，或a主要体现在对 应作反向的缩小。|1|nkx（2） 、利用迫敛性求数列极限我们常
10、说的迫敛性或夹逼定理。当我们面对一个数列 难以直na接处理时，不妨尝试适当的放缩技术，去伪存真，去细存粗，抓住主要矛盾，使问题得以解决。例 2 求极限 nnn222.1lim分析 即 ，易知 关于 单调递增。knC12 k2即得 nn22当 ，上式左、右两端各趋于 0 和 1，似乎无法时n利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。解 对 各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。nk12就得如下不等关系： 12121212 nnkCnknnk令 ，上式左、右两端各趋于 ，得时。2.21lim22 nnn5例 3 求证 02limn证 因为 nnnCC21)1(由于数列的分子是 的一次
11、幂，所以可以把上式右边的第三项保留，其余全部甩掉以实现对分母的缩小，达到使整个分数放大2nC的目的，即：故有 。012)(210nn 02limn用这种放大法下列极限为 0，对所有的自然数 ，有 ，只要klink将 的二项式展开的第 项保留，其余甩掉，以实现整个数列的n21k放大，找到一个无穷小 来控制它。进一步，对所有的自然数 k 和nz所有的实数 ， 。1a0limnk例 4 设 ，求证：1,liaxn 。linx证明 由极限的不等式性质可知，存在 ，使当 时，有 0NNn21axnnnax21nnaxa1122令 ，上述两个结论成立n用夹逼定理对数列进行放大和缩小时要注意“正确”和“适当
12、” ，也就是说一方面要进行正确的不等式运算，另一方面无论是放大还是缩小都要适当，即要使放大和缩小所得数列都有相同的极限。（3） 、利用单调有界定理求数列极限在实数系中，有界的单调数列必有极限。不妨设 为有上界na6的递增数列，由确界原理，数列 有上确界，记 ，事实nasupna上，任给 。按上确界的定义，存在数列 中某一项 ，使得0 naN。又由 的递增性，当 n N 时有 。另一方面，Nanan由于 是 的一个上界，故对于一切 都有 ，所以当n n时有 ，就得到 = 。同样的有下界的递减数nnnalim列也必有极限，且其极限为它的下确界。因而有界的数列必有极限。用这个知识，我们就可先判断极限
13、的存在然后求解它。 例 5 设 ，证明： 收敛，并求其极限。2,101nnacacna证明 先用数学归纳法可证10na.3,21n再用数学归纳法证明n1.,显然 ，归纳假设 ，则2a1ka02111 kkk从而成立。由， 知 单调递增有上界，na（存在）lnlim，注意到 ,2cl1l。clan1li（4） 、利用极限的四则运算性质求极限7例 6 求 ，其中 。1limna1a解 若 ，则显然有 ；2lin若 ，则由 得1|a0lina；1limlinn若 ，则1|a。101lili nnna例 7. n2lim解 n1li21)(2lim)1(2lim)()( 21li nnnnnnn注意：
14、用运算法则时，要求各等式号右边的极限都存在。（5） 、利用 收敛准则Cauchy单调有界定理只是数列收敛的充分条件，而在实数系中，收敛准则是数列收敛的充分必要条件。它的内容：数列 auchy na收敛的充要条件是，对于任给的 总存在某一个自然数 ，使得,0N当 时有mn,N.mna柯西收敛准则求极限与定义不同,最大的区别是不用事先知道8极限的存在.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。因而用 收敛准则可先判断或证明数列的收敛性，然后在求出Cauchy其极限，并且我们知
15、道在实数完备性的六个基本定理：确界原理,单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,柯西( )收Cauchy敛准则中任意知道一个可以推出其他五个命题的。因而它在求解数列极限方式上和单调有界定理是类同的,都要确定数列的极限是存在的然后求解它,当然所有的数列首先必须有极限我们才能想办法求出它,对于一些极限不是很明显看出存在的数列,我们当然就要先确定它的极限存在性了。补充一句并不是利用 收敛准则判断收敛Cauchy的数列的极限值都能求出来的,因为有的数列的极限值可能难求出具体的数值,但用 收敛准则我们起码判断其收敛或发散性。知道Cauchy其极限存在与否。如:例 8 应用柯西准则证明 收敛：
16、。na221.31nn证明 对 ，取 ，则对 ，有02NNm2221.1| nman n1.n21而由 知 ，故 。2m|mna由柯西收敛准则知 收敛。9（二） 、求数列极限的特殊方法（1） 、利用斯托兹（ ）定理求极限stolz斯托兹定理与洛比达法则是数学分析中处理 型及 型极0限的两个重要工具，它们分别适用于变量为“离散的”和“连续的”情形。1、 设 是趋于零的数列， 是递减趋于零的数列，则型0nanb当 存在或为 时， 也存在或为 ，且 =1limnnbanalimnbalim。1linn2、 设 且 ，如果 存在型 ,.21nbnbli nnba1li或为 时，则 也存在或为 ，且 = 。nalimnalimn1li例 9 令 ，试证：.2,1,10nxxn lix证明 ，则说明 为单调递减的，12,nx而且是有下界数列，因此根据单调有界定理可知 存在，nxlim设 在 两边取 的极限，xnlimnnx1可得到 则可得 。0所以 设 ， 则 ，有 0linxnxb,.21nblim,.1所以利用定理 2，有：
