1、11.二元函数极限概念分析定义 1 设函数 在 上有定义， 是 的聚点， 是一个确定的实数.如f2DR0PDA果对于任意给定的正数 ，总存在某正数 ,使得 时，都有0(;)UPD,()fA则称 在 上当 时，以 为极限，记 .fD0P0lim()PDfA上述极限又称为二重极限.2二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数 在点 处连续，则 .(,)fxy0(,)y0 0(,),)lim(,(,)xyfyfx例 1 求 2, 在点 的极限.1,2解： 因为 ()fxyx在点 处连续，所以()122lim,()5.xyxy例 2 求极限 21,limyxyx解： 因函数在 点的邻域
2、内连续，故可直接代入求极限，即,= 2,liyxyx322.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例 3 求 024limxy解： 0lixy0(24)()lixy xy0lim()xyxy01li24.xy例 4 20, 31)(1limyxyx解： 原式 222,0, 223131lixyxyxy2,0,222 216lim33131xy xyxyx032.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小 ，有 ； ； (,)0uxysin(,)(,)uxy:2(,)1cos(,)uxy:； ； ；ln1,:ta,
3、arin,uxy； ； ；同一元函数arct()()uxy()1()nxyuxy:(,)1()e:一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例 5 求 0limxy解： 当 ， 时，有 . ，所以0xy11()2xyxy:001li()2lim1.xyxy这个例子也可以用恒等变形法计算，如： 0001lim1li()()1li.2xyxyxyyxyy42.4 利用两个重要极限， 它们分别是一元函数中两个重(,)0sin(,)lm1uxyy1(,)(,)0limuxyuxy e要极限的推广.例 6 求极限 . 2li(1)xyxya解： 先把已知极限化为，而 22 ()11lim()li(xx
4、 yyxyaa21limli,()()xxyaya当 时 ，所以 ,0xyli(1).xyxyae故原式=2()1lim(.xyxyae例 7 求 极限.0sin()lxya解： 因为 ，当 时， ，所以 i()si().xy0,ya0xy，再利用极限四则运算可得：sin()1xy1= .000i()sin()sin()lml.lim.xxyaxyaya ya这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 ， 时， ， .sin()yx:5所以， 00sin()lmlilim.xxyayaya2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例 8 求 301lim()sincoxyxy解: 因
5、为 是无穷小量， 是有界量 ，30li()xy1sincoxy故可知 ， 301li()sinco0.xy y例 9 求 2232()lim()xy解 原式= 223()li(3)xyyx因为 是有界量，又2222() 1()()yx是无穷小量，32lim0xy所以 ， .2232()li 0xyy虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，6从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。定理：函数 点 的取心领域内有定义的且 、 沿向量,f
6、xy0, cosab的方向余弦，若二元函数的极限 ,则0,xy 00lim,txtytA若 的值与 、 无关，则 ；1Aab0,li,xyfyA若 的值与 、 有关，则 不存在；2 0,x例 10 求 2()lim(xyxye解 222()()li(lixyxyxy yex因 时， ，令 ，显然满足定理的条件，则0,21xyt，所以 ， .22()limlilimli0xytttxtyeee2()lim(0xyxye例 11 求极限 201coslitanxyxy解：令 2u 又 20lili0xxyyu显然满足定理的条件，则2 22200001cos1cossin1sin1limlimllm
7、cotanectanx uuuyxy u 2.7 利用夹逼准则二元函数的夹逼准则：设在点 的领域内有 ，0(,)Pxy(,)(,)(,)hxyfgxy7且 （常数） ，则 . 但0 0(,),)(,),)limli(xyxyhgyA0(,),)lim(,xyfyA要注意求二元函数极限时是对两个变量同时放缩例 12 求 20lixy解: 因为 ，由夹逼准则，22()0(,0)xyxy得 .20limxy例 13 求极限 2)sin(lyxy解: ，221)sin(0yx又，0lim2yxy故=02)sin(lyxy2.8 先估计后证明法此方法的运用往往是先通过观察推断出函数的极限，然后用定义证明
8、.例 14 求函数 在点 处的极限 .2(,)xyf(0,)解: 此例分 2 部考虑：8先令 ，考虑 沿 时的极限，ykx(,)fxykx(,)0,y.因为路径 为424220000lim(,)lilimli(1)1xxxxyk kf ykx特殊方向，因此我们还不能判断出极限为 .所以下面用定义检验极限是否为 ：0因为2222()(,)00()xyxyxyfxy 12于是， 取 且 =0,20,():0,xyy210xy，所以 .220limxy例 15.求 在 的极限.24,f,解：若函数 中动点 沿直线 趋于原点 ，24,xyf,pxykx0,则 222324444,0, ,0,limli
9、limli1xyxykxoxok即函数 中动点 沿着无穷多个方向趋于原点时，它的极限24,f,py为 ；但根据这个我们不能说它的极限为 ；由于动点 沿着其它的路径，0 0,pxy比如沿抛物线 趋于原点时，其极限为yx24,0,limxy9从而判断出 不存在；通过例子2240,0, 1limlixxyxy24,0,limxy我们得出任意方向不能代表任意路径，也就是说，我们沿动点 不仅任何,pxy路径而且还必须任意方向；2.9 利用极坐标法当二元函数中含有 项时，考虑用极坐标变换：2xy通过综合运用恒等变换，不等式放缩等方法将二元函数cos,inxy转化为只含有参量 的函数 ，进而求二元函数的极限
10、.(,)f ()g例 16 计算 22(,)0,limsinxyxy解: 极限中的二元函数含有 ，令 ，使得cos,iny， ，由2222(sinc)0()sinxyx200lim,li夹逼准则得， 0(io)lim0所以， .22(,)0,li)sinxyxy例 17 求极限 240lixy.解：若令 t 为变量，使 cos,intyt且 ,2o，则，当 0,时，t 0.对任意固定的 2224csin0oxyt,x10上式均趋于 0，但不能下结论说240limxy=0.事实上240limxy不存在，这只让沿着任意方向 趋于定点(0,0)，此时240li1xyk.,xyyk=在运用此方法时注意
11、，经过初等变换后的函数满足用迫敛性得函数的极限为 ；若化简后的函数为 ，但对于某个固定的 ，仍不能a(,)g00,()g判断函数的极限为 .a2.10 利用累次极限法一般情况下，累次极限存在并不能保证二重极限存在，但二元函数满足定理 2 的条件，就可以利用累次极限(,)fxy来计算极限.0 0lim,lim(,)xyyxffy或定理 2 若 在点 存在重极限 与两个累次极限(,)f0 0(,),)lim(,xyfy，则它们必相等.00li,li,xyyxff例 18 求极限42(,)0,limxy解: ， 对任意422()xy一致的成立；而对 存在，40220(,)liyxxU 40220(,)limxyU根据定理 1，得.44222(,)0, 00limlilimxyxyx这道题也可以用上述所说的先估计后证明法和极坐标法来计算，如：
