1、1三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角 正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角按终边位置不同分为象限角和轴线角角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角x 第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 918第三象限角的集合为 18270,kkk第四象限角的集合为 3602736终边在 轴上的角的集合为x,k终边在 轴上的角的集合为y
2、1890k终边在坐标轴上的角的集合为 ,(2)终边与角 相同的角可写成 k360(k Z)终边与角 相同的角的集合为360,kk(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角弧度与角度的换算：3602 弧度；180 弧度半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是rllr若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，为 弧 度 制 rlCSlr， 2Crl21Slr2任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为 ，那么角 的正弦、余弦、2rxy正切分别是：sin ，cos ，tan
3、 （三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、yr xr yx四余弦）3特殊角的三角函数值2角度函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360角 a 的弧度 0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5 /6 3 /2 2sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -2/2 -3/2 -1 0 1tana 0 3/3 1 3 -3 -1 -3/3 0 0二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2cos
4、 21；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系： tan . （3）倒数关系：sin cos 1cottan2诱导公式公式一：sin(2k )sin ，cos(2k)cos_， 其中 kZ.tan)2t(k公式二：sin( )sin_，cos()cos_，tan( )tan .公式三：sin( )sin ，cos()cos_， tant公式四：sin()sin_，cos()cos _， .公式五：sin cos_，cos sin . (2 ) (2 )公式六：sin cos_，cos sin_.(2 ) (2 )诱导公式可概括为 k 的各三角函数值的化简公
5、式口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指 的奇 2 2数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把 看成锐角时，根据 k 在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后 2作为结果符号B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan 化成正、余弦sin cos (2)和积转换法：利用 (sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化（ 、 、 三个式子知一可求二）cosincosinin3
6、(3)巧用“1”的变换：1sin 2cos 2= sin tan4（4）齐次式化切法：已知 ，则ktan nmkbaanmbatncossi三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如 与 的周期是 ） 。 xysincos3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道 ， ， 的简单性质sin()yAxcos()yAxtan()yAx（一） 知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别icosy为 0， 的五点，再用
7、光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。3,21-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx2、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcs()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，1,对 ，当 时， 取最大值 1；当 时， 取最小值1；siyx2kZy32xkZy对 ，当 时， 取最大值 1，当 时， 取最小值1。co（3）周期性： ， 的最小正周期都是 2 ；incosyx（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函
8、数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；si()yxR,0kZ2xkZ余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；（正(余)弦co 2k 型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点） 。x（5）单调性：4上单调递增，在 单调递减；sin2,yxkkZ在 32,kkZ在 上单调递增,在 上单调递减。特别提醒，别忘了 ！co, , kZ3、正切函数 的图象和性质：tanyx（1）定义域： 。|,2kZ（2）值域是 R，无最大值也无最小值；（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余) 切型函数的对称中心有两类：一,02kZ类是图象与 轴的交点，
9、另一类是渐近线与 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。xx（4）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。,kk4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 时，2xk；当 may2时， kmin1y当 时， xk；当may2时， kmin1y既无最大值也无最小值周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 2,2k上是增函数；在32,2k上是减函数在 上是2,kk增函数；在 2上是减函数k在 ,2k上是增函数函 数性质5对称性对称中心 ,0k对称轴 2x对称中心 ,02k
10、k对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴5、研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将 中的 看sin()yAsinysin()yAxx成 中的 。six函数 yAsin（x ） （A 0，0）的性质。（1）定义域：R（2）值域：-A, A（3）周期性： 2|T 和 的最小正周期都是 。()sin()fxAx(cos()fAx2|T 的最小正周期都是 。ta|T（4）单调性：函数 yAsin（x ） （A 0， 0）的单调增区间可由 2k x 2k ，kz 解得；单调减区间可由 2k x 2k ，kz 解得。3在求 的单调区间时，要特别注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正。sin(
11、)yAx如函数 的递减区间是_3（答：解析：y= ，所以求 y 的递减区间即是求的递增区间，由 得，所以 y 的递减区间是四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用sinyAx一、 知识要点1、 几个物理量： 振幅： ；周期： ；频率： ；相位： ；初相：212fx2、 函数 表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定.sin()yx 函数 ，当 时，取得最小值为 ；当 时，取得最大值为 ，则1xminy2xmaxy， ， maxin1Amain2y212xx6y=sinxy=sinxXXXxxx横坐标伸（缩）倍1左（右）平移 纵坐标伸（缩）A 倍sinyxsinyxxy
12、siny=sinx左（右）平移 纵坐标伸（缩）A倍横坐标伸（缩）倍1左（右）平移 xAysinsi 横坐标伸（缩） 倍 横坐标伸（缩）倍1sinyAx 纵坐标伸（缩）A倍 横坐标伸(缩) 倍1xysinAixysini 纵坐标伸（缩）A倍 左（右）平移左（右） 平移 纵坐标伸（缩）A倍3、函数 图象的画法：“五点法”设 ，令 0， 求出相应的 值，sin()yAxXxX3,2x计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数 ysinx 的图象经变换可得到 的图象sinyAx05、函数 的图象与 图象间的关系：函数 的图象向左（ 0）或向右sin()yxbsin
13、yxsinyx（ 0）平移 个单位得 的图象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，| siysiyx1得到函数 的图象； 函数 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数ii的图象；函数 图象向上（ ）或向下（ ）平移 个单位，得到sn()yAxn()Ax0b0b|的图象。ib要特别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个单位，sinyxsiy |如要得到函数 ysin(2x )的图象，只需将函数 ysin2x 的图象( )3(A)向左平移 个单位 (B)向右平移 个单位3 3(C)向左平移 个单位 (D)向右平移 个单位6 66、函数 yAcos（x ）和 y=
14、Atan（x ）的性质和图象的变换与 yAsin（x ）类似。三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ； ；coscossincoscsosin ； ；inicinic （ ） ；tata1nttata1tan7 （ ） tantan1ttantan1tan如 ； （答案： ）ooo 40t2340t2t 32、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sinics 222 )cos(incosincssini1 如 cos2 cos 2 cos cos 的值等于 ； （答案： ）512 12 512 12 54 2cossincossi升幂公式2,n降幂公式 ， 21scs21cosi 2
15、tant3、二弦归一 把两个三角函数的和或差化为一个三角函数： ，其中 2sincosinababtanb4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如： 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 24224 ；问： ； ；153065ooo1sin12cos ； ； ；等等.)( )4(4 )4()()()( 如1 . （答案： ）2tan,t
16、an,tan5则 322若 cos() ，cos( ) ，且 ， 2，则 cos2_，cos2 _.45 45 2 32（答案： ，1） 7253已知 则 ； （答案：sinco,tan,3tan）18（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一） 。如 ； )10tan3(50sinoo 132cos0in2sin301csi 2sin4co0si8=i sin551coooo o 解 析 ： 原 式（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：822
17、1sincosin90ta45oo（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。有时需要升幂，常用升幂公式有： ； .如对无理式 常用升幂化为有理式.cs（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如： ； ；oin=_sincosin=_； ；tat _ta1； ； ；sinco_2sinco_22 2i 1sin1_； ； ； ；cos1cos； ；tan 2tan；（其中 ；）sicsb tan（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。
