1、0求数列通项公式的 11 种方法方法总述：一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、数学归纳法（少用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、特征根法二四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定
2、义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1()naf2若 ，1nf2则 231() ()naff 1两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112na， na解：由 得 则12na1n1123212()()()()21()(1)nnnaaannn 所以数列 的通项公式为 。na2na例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113na， na解法一：由 得 则12na12nn32112211()()()()333( )()(331nnnnaaa 所以 .na解法二： 两边除以 ，得 ，
3、1321nn13n1123nna则 ，故11nna21122321122()()()()3332() 1)333nnnnnnnaaaa因此 ，1()2(1)2nn na则 3.nnn练习 1.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式. na*12()naNna答案： 2n练习 2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案：裂项求和 n2评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、a1 )(1nfnn指数函数、分式函数，求通项 .若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累
4、加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0)(21nnaSn解:由已知 得 ,)(21nnS )(11nnS化简有 ,由类型(1)有 ,n1Sn3213又 得 ,所以 ,又 ,1aS2)1(nS0na2)1(nsn则)()(2nn此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于： -这是广义的等比数列1()nnaf累乘法是最基本的二个方法之二。2若 ，则1()nfa 31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nn
5、kfa例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nnaa， 0n12()5n13212 2211 (1)()1(1)2()55()5()53333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)1235!.nnna例 5.设 是首项为 1 的正项数列，且 （ =1，2， 3，） ，01221nnnaa则它的通项公式是 =_.na4解：已知等式可化为： 0)1(1 nnnaa( ) (n+1) , 即0na*N01nna11an时，2n1= = .1221aann 12nn评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因
6、式分解（一般情况时用求根公式）得n1到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .na1 na练习.已知 ,求数列an的通项公式.1,1nan答案： -1.n)(!1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法),1(1nnanab nb1求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 1()nqf基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1（1）若 c=1 时，数列 为等差数列 ;n（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;na（3）若 时，数列 为线性递
7、推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列01且dcn来求.5待定系数法：设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dn,所以 所以有：d)()0(,c )1(1cdacann因此数列 构成以 为首项，以 c 为公比的等比数列，1can 11cda所以 即： .1)(nncd 1)1(11cddann规律：将递推关系 化为 ,构造成公比为 c 的dcan1)(1ccdnn等比数列 从而求得通项公式cdan )1(11 dann逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系 中把 n 换成 n-1 有cnn1,两式相减有 从而化为公比为 c 的等比数列 ,dcan1 )(1naca
8、 1na进而求得通项公式. ,再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此121n方法比较复杂.例 6 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。na11,2()nana解法一： 12(),n1nna又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列12,na，即na1n解法二： 12(2),nn612nna两式相减得 ，故数列 是首项为 2，公比为11()(2nna1na2 的等比数列，再用累加法的练习已知数列 中， 求通项 。na,21,211nnana答案：)21(n2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nnap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nn1若 时，即： ，pnnqap1求通
9、项方法有以下三种方向：i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令 ，则 ,然后类型 1，累加nnnqpap)(11 nabnnqpb)(11求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1nq即： ,qapnn1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nqabbnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通)(11 nnnn papa 项.注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。7例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11243nnnaa， na解法一（待定系数
10、法）：设 ，比较系数得112(3nnn)，124,则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，13na 1435a所以 ，即11452nnn 11nnn解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1np12n nn)(1练习.（2003 天津理）设 为常数，且 证明对任意 1，0a)(231Nnann；02)()1(351 annnn 3形如 (其中 k,b 是常数，且 )bkpan1 k方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为 ; )1()(1ynxapyxnan解题基
11、本步骤：1、确定 =kn+b()fn2、设等比数列 ，公比为 p)(yxnabn3、列出关系式 ,即)1(1ynxann 1nnpb4、比较系数求 x,y85、解得数列 的通项公式)(yxna6、解得数列 的通项公式n例 8 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）na,23,1nanna解： ， ,231nn时， ，2)1(1an两式相减得 .令 ,则2311 nnnannab1 231nb利用类型 5 的方法知 即 5nb 351n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .2321ann 2121nan例 9. 在数列 中， ,求通项 .（待定系数法）na36,11 nan n解：原递推式可化为
12、 yxyxnn )1()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为 nb所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 . nb 2961a11)2(9nnb即：nna)21(96故 .)(nn4形如 (其中 a,b,c 是常数，且 )cnbapann 21 0a基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。9例 10 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345nnaa， na解：设 2 21()()()n nxyzxyz 比较系数得 ， 3,0,18xyz所以 2 21()()(3108)n nana由 ，得2130813210n则 ，故数列 为以2()()2nan238na为首项，以 2 为公比的等比数列，因此2130183，则 。12nna43108na5.形如 时将 作为 求解21 nnapqan()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列211) nnpa 为等比数列。1na例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na211256,nnnaana解：设 211()nnnn比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）322则 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnnnaa1nna，所以143nn 14352n
