1、- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添
2、辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计
3、算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等- 2 -D CBAEDFCBA变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法4) （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换
4、中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”6) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目7) 已知某线段的垂直平分线，那么
5、可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.例2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.- 3 -例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA(一)中线倍长法:例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一
6、半。已知：如图，ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证：AD (AB+AC)21分析：要证明 AD (AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线21段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD。在ADB 和EDC 中，AD=DE ADB= EDCBD=DC ADBEDC(SAS)AB=CE又 在ACE 中，AC+CEAEAC+
7、AB 2AD，即 AD (AB+AC)21小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 AB、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习: 中，AD 是 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=ACABCAB CDAECDAB- 4 -例 2: 中线一倍辅助线作法ABC 中 方式 1： 延长 AD 到E， AD 是 BC 边中线 使 DE=AD， 连接 BE 方式 2：间接倍长作 CFAD 于 F， 延长 MD 到N，作 BEAD 的延长线于 E 使 DN=MD，连接 BE 连接 CD例 3：ABC
8、中，AB=5 ，AC=3，求中线 AD 的取值范围例 4：已知在ABC 中，AB=AC ，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F，且DF=EF，求证：BD=CEDAB CEDAB CFEDCBAND CBAMF ECABD- 5 -课堂练习：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF例 5：已知：如图，在 中， ，D、E 在 BC 上，且 DE=EC，过 D 作ABC交 AE 于点 F，DF=AC.BDF/求证：AE 平分 课堂练习：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD
9、 的中线，求证：C=BAE作业：1、在四边形 ABCD 中，AB DC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论FEDAB C图 1 图图 ABFD E CE DAB CFEAB C D- 6 -2、已知：如图， ABC 中， C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.3：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交AC 于 F，求证： AF=
10、EF4：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAE5、在四边形 ABCD 中，AB DC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论D A B C M T E FEDAB CE DAB C- 7 -应用：1、 （09崇文二模）以 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰RtABCABD， 连接DE ， M、 N分别是BC 、 DE的中点探究：AM与DEACE90,DE的位置关系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与
11、DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0 90)后，如图所示，BD（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短FEAB C D- 8 -EDCBADCBAP21D CBAPQCBA1、如图， 中，AB=2AC，AD 平分 ，且 AD=BD，求证：CDACABCBAC2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC。 3、如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且ABC0604CAP，BQ 分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA
12、,ADCD，BD 平分 ，BC求证： 018CA5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PCCDBA- 9 -ADB CE图 2-1已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=DC，BD 平分ABC .求证： BAD+ BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF BC 于点 F，如图1-2 BD 平分 ABC， DE=DF，在 Rt AD
13、E 与 Rt CDF 中，CDAFE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180，即 BAD+ BCD=180例 1. 如图 2-1， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.AB CD图 1-1FEDCBA图 1-2- 10 -例 2. 已知，如图 3-1，1=2， P 为 BN 上一点，且 PD BC 于点 D， AB+BC=2BD.求证： BAP+ BCP=180.例 3. 已知：如图 4-1，在 ABC 中， C2 B，12.求证： AB=AC+CD.AB CDP12N图 3-1D CBA12图 4-1
