1、23.1 二次函数教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯重点难点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，先取 x 的一些值，算出矩形的另一边 BC 的长，进而得出矩形的面积 ym2试将计算结果填写在下表的空格中，AB 长 x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9BC 长(m) 12面积y(m2)482x 的值是否可以任意取?有限定范围吗?3我们发现，当 AB
2、 的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y 是 x的函数，试写出这个函数的关系式，对于 1.，可让学生根据表中给出的 AB 的长，填出相应的 BC 的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当 AB 的长为 5cm，BC 的长为 10m 时，围成的矩形面积最大；最大面积为 50m2。对于 2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x 的值不可以任意取，有限定范围，其范围是 0 x 10。对于 3，教师可提出问题，(1)当 AB=xm
3、 时，BC 长等于多少 m?(2)面积 y 等于多少?并指出 y=x(202x)(0 x 10)就是所求的函数关系式二、提出问题 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100件该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加 10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?利润=(售价进价)销售量2如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?108=2(元)，(108)100=
4、200(元)3若每件商品降价 x 元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?(108x)；(100100x)4x 的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，x 的值不能任意取，其范围是 0x25若设该商品每天的利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式。y=(108x) (100100x)(0x2)将函数关系式 y=x(202x)(0 x 10化为：y=2x 220x (0x10)(1)将函数关系式 y=(108x)(100100x)(0x2)化为：y=100x 2100x20D (0x2)(2)三、观察；概括1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让
5、学生思考回答；(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?(各有 1 个)(2)多项式2x 220 和100x 2100x200 分别是几次多项式?(分别是二次多项式)(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(都是用自变量的二次多项式来表示的)(4)本章导图中的问题以及 P1 页的问题 2 有什么共同特点？让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量 x 为何值时，函数 y 取得最大值。2二次函数定义：形如 y=ax2bxc (a、b、 、c 是常数，a0)的函数叫做 x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项四、课堂练习1.(口答)下列函数中，哪些是
6、二次函数?(1)y=5x1 (2)y=4x 21(3)y=2x33x 2 (4)y=5x43x12P3 练习第 1，2 题。五、小结1请叙述二次函数的定义2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。六、作业布置教材P4 习题23.1 2，3，4，5，623.2 二次函数 y=ax2的图象和性质教学目标： 1、使学生会用描点法画出 y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。2、使学生经历、探索二次函数 y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯重点难点：重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数 y=ax2
7、的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数 y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例 1、画二次函数 y=ax2的图象。 新 课标 第一 网解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：x 3 2 1 0 1 2 3 y 9
8、4 1 0 1 4 9 (2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数 y=x2的图象，如图所示。提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点三、做一做1在同一直角坐标系中，画出函数 y=x2与 y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2在同一直角坐标系中，画出函数 y=2x2与 y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的
9、图象，你能发现什么?3将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?对于 1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于 y 轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数 y=-x2的图象开口向下。对于 2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比 1 得出。对于 3，教师可引导学生从 1 的共同点和 2 的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于
10、 y 轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)四、归纳、概括函数 yx 2、y=-x 2、y=2x 2、y=-2x 2是函数 y=ax2的特例，由函数 yx 2、y=-x2、y2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，可猜想：函数 y=ax2的图象是一条_，它关于_对称，它的顶点坐标是_。如果要更细致地研究函数 y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生观察 yx 2、y2x 2的图象，填空；当 a0 时，抛物线 y=ax2开口_，在对称轴的左边，曲线自左向右_；在对称轴的右边，曲线自左向右_，_是抛物线上位置最低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题；
11、(1)XA、X B大小关系如何?是否都小于 0？(2)yA、y B大小关系如何?(3)XC、X D大小关系如何?是否都大于 0?(4)yC、y D大小关系如何?(XAyB；X C0，X D0，y CO 时，函数值 y 随 X 的增大而_；当 X_时，函数值 y=ax2 (a0)取得最小值，最小值y=_以上结论就是当 a0 时，函数 y=ax2的性质。思考以下问题：观察函数 y-x 2、y=-2x 2的图象，试作出类似的概括，当 aO 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x=0 时，函数值 yax 2取得最大值，最大值是 y0。五、课堂练习：P6 练习 1、2、3、4。六、小结：1如何画出
12、函数 y=ax2的图象?2函数 yax 2具有哪些性质?六、作业布置教材P9 习题23.2 1，3，4，523.3 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质第一课时教学目标： 1使学生能利用描点法画出二次函数 ya(xh) 2的图象。2让学生经历二次函数 ya(xh) 2性质探究的过程，理解函数ya(xh) 2的性质，理解二次函数 ya(xh) 2的图象与二次函数yax 2的图象的关系。重点难点：重点：会用描点法画出二次函数 ya(xh) 2的图象，理解二次函数ya(xh) 2的性质，理解二次函数 ya(xh) 2的图象与二次函数yax 2的图象的关系是教学的重点。难点：理解二次函数 ya(x
13、h) 2的性质，理解二次函数 ya(xh) 2的图象与二次函数 yax 2的图象的相互关系是教学的难点。教学过程：一、提出问题1在同一直角坐标系内，画出二次函数 y x2，y x21 的图象，并回12 12答：(1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。 2二次函数 y2(x1) 2的图象与二次函数 y2x 2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?二、分析问题，解决问题问题 1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数 y2(x1) 2和二次函数 y2x 2的图象，并加以观察)问题
14、2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数 y2x 2与 y2(x1) 2的图象吗?教学要点1让学生完成下表填空。x 3 2 1 0 1 2 3 y2x 2y2(x1) 22让学生在直角坐标系中画出图来： 3教师巡视、指导。问题 3：现在你能回答前面提出的问题吗?教学要点1教师引导学生观察画出的两个函数图象根据所画出的图象，完成以下填空：开口方向 对称轴 顶点坐标y2x 2y2(x1) 22让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y2(x1) 2与 y2x 2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y2(x-1) 2的图象可以看作是函数 y2x 2的图象向右平移 1
15、 个单位得到的，它的对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，0)。问题 4：你可以由函数 y2x 2的性质，得到函数 y2(x1) 2的性质吗?教学要点1.教师引导学生回顾二次函数 y2x 2的性质，并观察二次函数 y2(x1)2的图象；2让学生完成以下填空：当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x的增大而增大；当 x_时，函数取得最_值 y_。三、做一做问题 5：你能在同一直角坐标系中画出函数 y2(x1) 2与函数 y2x 2的图象，并比较它们的联系和区别吗?教学要点1在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；2请两位同学上台板演，教师讲评；3让学生发表不同的
16、意见，归结为：函数 y2(x1) 2与函数 y2x 2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数 y2(x1) 2的图象可以看作是将函数 y2x2 的图象向左平移 1 个单位得到的。它的对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，0)。问题 6；你能由函数 y2x 2的性质，得到函数 y2(x1) 2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x一 1 时，函数取得最小值，最小值 y0。 问题 7：在同一直角坐标系中，函数 y (x2) 2图象与函数 y x213 13的图象有何关系?(
17、函数 y (x2) 2的图象可以看作是将函数 y x2的图象向左平移 213 13个单位得到的。)问题 8：你能说出函数 y (x2) 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标13吗?(函数 y (x 十 2)2的图象开口向下，对称轴是直线 x2，顶点坐标13是(2，0)。问题 9：你能得到函数 y (x2) 2的性质吗?13教学要点让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x2 时，函数值 y 随工的增大而减小；当 x2 时，函数取得最大值，最大值 y0。四、课堂练习： P11 练习 1、2、3五、小结：1在同一直角坐标系中，函数 ya(xh) 2的图
18、象与函数 yax 2的图象有什么联系和区别?2你能说出函数 ya(xh) 2图象的性质吗?3谈谈本节课的收获和体会。六、作业布置教材P23 习题23.3 1，223.3 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质第二课时教学目标： 1、使学生能利用描点法正确作出函数 yax 2b 的图象。2、让学生经历二次函数 yax 2bxc 性质探究的过程，理解二次函数yax 2b 的性质及它与函数 yax 2的关系。重点难点：1、会用描点法画出二次函数 yax 2b 的图象，理解二次函数 yax 2b的性质，理解函数 yax 2b 与函数 yax 2的相互关系。2、正确理解二次函数 yax 2b 的性质，
19、理解抛物线 yax 2b 与抛物线yax 2的关系是教学的难点。教学过程：一、提出问题1二次函数 y2x 2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而_，在对称轴的右侧，y随 x 的增大而_，函数 yax 2与 x_时，取最_值，其最_值是_。2二次函数 y2x 21 的图象与二次函数 y2x 2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题 1：对于前面提出的第 2 个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数 y2x 2和函数 y2x 2的图象，并加以比较)问题 2，你能在同一直角坐标系中，画出函数 y2x 2与 y2x
20、21 的图象吗?教学要点1先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数 y2x 2的图象。2教师说明为什么两个函数自变量 x 可以取同一数值，为什么不必单独列出函数 y2x 21 的对应值表，并让学生画出函数 y2x 21 的图象3教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。解：(1)列表：x 3 2 1 0 1 2 3 yx 2 18 8 2 0 2 8 18 yx 21 19 9 3 l 3 9 19 (2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数 y2x 2和 y2x 21 的图象。（图象略）问题 3：当自变量 x
21、 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当 x 依次取3，2，1，0，1，2，3 时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量 x 取同一数值时，函数y2x21 的函数值都比函数 y2x 2的函数值大 1。教师引导学生观察函数 y2x 21 和 y2x 2的图象，先研究点(1，2)和点(1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数 y2x21 的图象上的点都是由函数 y2x2 的图象上的相应点向上移动了一个单位。问题 4：函数 y
22、2x 21 和 y2x 2的图象有什么联系?由问题 3 的探索，可以得到结论：函数 y2x 21 的图象可以看成是将函数 y2x 2的图象向上平移一个单位得到的。问题 5：现在你能回答前面提出的第 2 个问题了吗? 让学生观察两个函数图象，说出函数 y2x 21 与 y2x 2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数 y2x2 的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数 y2x 21 的图象的顶点坐标是(0，1)。问题 6：你能由函数 y2x 2的性质，得到函数 y2x 21 的一些性质吗?完成填空：当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x的增大而增大，当
23、 x_时，函数取得最_值，最_值 y_以上就是函数 y2x 21 的性质。三、做一做问题 7：先在同一直角坐标系中画出函数 y2x 22 与函数 y2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?教学要点1在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；2让学生发表意见，归纳为：函数 y2x 22 与函数 y2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数 y2x 22 的图象可以看成是将函数 y2x2 的图象向下平移两个单位得到的。问题 8：你能说出函数 y2x 22 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?教学要点1让学生口答，函数 y2x 22 的图象的开口向上，对
24、称轴为 y 轴，顶点坐标是(0，2)；2分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x0 时，函数取得最小值，最小值 y2。 问题 9：在同一直角坐标系中。函数 y x22 图13象与函数 y x2的图象有什么关系?13要求学生能够画出函数 y x2与函数 y x22 的草图，由草图观察13 13得出结论：函数 y 1/3x22 的图象与函数 y x2的图象的开口方向、对13 13称轴相同，但顶点坐标不同，函数 y x22 的图象可以看成将函数13y x2的图象向上平移两个单位得到的。
25、13问题 10：你能说出函数 y x22 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐13标吗?函数 y x22 的图象的开口向下，对称轴为 y 轴，顶点坐标是(0，2)13问题 11：这个函数图象有哪些性质?让学生观察函数 y x22 的图象得出性质：当 x0 时，函数值 y 随 x13的增大而增大；当 x0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x0 时，函数取得最大值，最大值 y2。四、练习： P9 练习 1、2、3。五、小结1在同一直角坐标系中，函数 yax 2k 的图象与函数 yax 2的图象具有什么关系?2你能说出函数 yax 2k 具有哪些性质?六、作业布置教材P23 习题23.3 3，
26、4，523.3 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质第三课时教学目标： 1使学生理解函数 y=a(xh) 2k 的图象与函数 y=ax2的图象之间的关系。2会确定函数 y=a(xh) 2k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。3让学生经历函数 y=a(xh) 2k 性质的探索过程，理解函数 y=a(xh) 2k的性质。重点难点：重点：确定函数 y=a(xh) 2k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数 y=a(xh) 2k 的图象与函数 y=ax2的图象之间的关系，理解函数 y=a(xh) 2k 的性质是教学的重点。难点：正确理解函数 y=a(xh) 2k 的图象与函数 y=ax2
27、 的图象之间的关系以及函数 y=a(xh) 2k 的性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题1函数 y=2x21 的图象与函数 y=2x2的图象有什么关系?(函数 y=2x21 的图象可以看成是将函数 y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2函数 y=2(x1) 2的图象与函数 y=2x2的图象有什么关系?(函数 y=2(x1) 2的图象可以看成是将函数 y=2x2的图象向右平移 1 个单位得到的，见 P10 图 26.2.3)3函数 y=2(x1) 21 图象与函数 y=2(x1) 2图象有什么关系?函数 y=2(x1)21 有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?y=2x2 向右平移的图象
28、 1 个单位y=2(x1)2向上平移1 个单位 y=2(x1) 21的图象开口方向向上对称轴 y 轴顶 点 (0，0)问题 2：从上表中，你能分别找到函数 y=2(x1) 21 与函数 y=2(x1)2、y=2x 2图象的关系吗?问题 3：你能发现函数 y=2(x1) 21 有哪些性质?对于问题 2 和问题 3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数 y2(x1) 21 的图象可以看成是将函数 y=2(x1) 2的图象向上平称1 个单位得到的，也可以看成是将函数 y=2x2的图象向右平移 1 个单位再向上平移 1 个单位得到的。当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x=1 时，函数取得最小值，最小值 y=1。三、做一做问题 4：在图 2623 中，你能再画出函数 y=2(x1) 22 的图象，并将它与函数 y=2(x1) 2的图象作比较吗?教学要点1在学生画函数图象时，教师巡视指导；2对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。问题 5：你能说出函数 y= (x1) 22 的图象与函数 y= x2的图象的关13 13
