1、教师用2014、8、11 周一- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度
2、,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或 30-60-90 的特殊直角三角形,或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解
3、题2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线教师用2014、8、11 周一- 2 -D CBAEDFCBA(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角
4、形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例 1、 (“希望杯”试题)已知,如图ABC 中,AB=5,AC=3,则中线 AD 的取值范围是_.解:延长 AD 至 E 使 AE2AD,连 BE,由三角形性质知AB-BE BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图,在ABC
5、的边上取两点 D、E,且 BD=CE,求证:AB+ACAD+AE.教师用2014、8、11 周一- 7 -证明:取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、在 ABC 中,ABAC.求证:BC(答案与解析)证明:作A 的平分线,交 BC 于 D,把ADC 沿着 AD 折叠,使 C 点与 E
6、点重合.教师用2014、8、11 周一- 8 -OED CBA在ADC 与ADE 中 ADCADE(SAS) AEDCACEDAED 是BED 的外角, AEDB,即BC.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图,已知在ABC 中,B=60,ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O,求证:OE=OD,DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线 ,计算数值法) B=60 度,则BAC+BCA=120 度 ;AD,CE 均为角平分线 ,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO; OAE=
7、OAF.则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度= COD;又 CO=CO; OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.3、如图,ABC 中,AD 平分BAC,DGBC 且平分 BC,DEAB 于 E,DFAC 于 F. (1)说明 BE=CF 的理由;(2)如果 AB= ,AC= ,求 AE、BE 的长.ab解:(垂直平分线联结线段两端)连接 BD,DCDG 垂直平分 BC,故 BDDC由于 AD 平分BAC, DEAB 于 E,DFAC 于 F,故有E
8、DDF故 RTDBERTDFC(HL)故有 BECF。AB+AC2AEEDGFCBA教师用2014、8、11 周一- 9 -FEDCBAAE(a+b)/2BE=(a-b)/2五、旋转例1 正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点,BE+DF=EF,求EAF 的度数.证明:将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度,至三角形ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE, AF=AG,所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度例 2 D 为等腰 斜边 AB
9、的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC(1)当 绕点 D 转动时,求证 DE=DF。MN(2)若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。解:(计算数值法)(1)连接 DC, D 为等腰 斜边 AB 的中点,故有 CDAB,CDDARtABCCD 平分BCA90,ECDDCA45由于 DMDN,有EDN90由于 CDAB,有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF(ASA)故有 DE=DF(2)S ABC =2, S 四 DECF= SACD =1应用:如图, 是边长为 3 的等边三角形, 是等腰三角形,且 ,以 DABCBDC012BC为顶点做一个 角,使
10、其两边分别交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,连接 MN,则 的06 AMN周长为 ;教师用2014、8、11 周一- 10 -解:(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F,在线段 CF 上取点 E,使 CEBMABC 为等边三角形,BCD 为等腰三角形,且BDC=120,MBD=MBC+DBC=60+30=90,DCE=180-ACD=180-ABD=90,又BM=CE,BD=CD ,CDEBDM,CDE= BDM,DE=DM,NDE= NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60,在DMN 和DEN 中,DM=DEMDN= EDN=60DN=DNDMN DEN,MN=NE在DMA 和DEF 中,DM=DEMDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30DMN DEN (AAS),MA=FE的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN