1、1有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC于 E，则1 = 2 = BAC12又AB = ACAEBC2ACB = 90 oBDACDBCACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为
2、 BC中点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180 o2BCA2ACN = 180 oBCAACN = 90 o即BCN = 90 oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2AN
3、CAEF = ANC21EDCBAFED CBANFECBA2EFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB上，E 在 AC延长线上，且 BD = CE，连结 DE交 BC于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D作 DNAE，交 BC于 N，则DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（证法二）过 E作 EMAB 交 BC延长线于 M,则EMB =B（过程
4、略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC上，D 在 BA延长线 上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E作 EFBC 交 AB于 F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180 o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D作 DNBC 交 CA的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A作 AMBC 交 DE于 M， （过程略）21N FEDCBA21MFEDCB
5、ANMF EDCBA3常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30 o 求PAB 的度数.解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60 oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60 o = 20oACE = (180oEAC)= 1280oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB= 80o50 o = 30oPCB = 30 oPCB = BC
6、EABC =ACB = 50 o, ABE = 60 oEBC =ABEABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60 oEB = ECE 在 BC的中垂线上同理 A在 BC
7、的中垂线上EA 所在的直线是 BC的中垂线EABCAEB = BEC = 30 o =PCB12PECBAPECBA4由解法一知：ABC = 50 oABE = EBCABC = 10 o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BP BAP =BPAABP =ABCPBC = 50 o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o1212有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，
8、ABC 中，AB = AC，D 为 BC中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB上，E 在 AC延长线上，且 BD = CE，连结DE交 BC于 F求证：DF = EF5常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，F 在 AC上，E 在 BA延长线上，且 AE = AF，连结 DE求证：EFBC常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC = 10o ，PCB = 30 o 求PAB 的度数.
