1、 相似三角形专题0【一】知识梳理【1】比例定义：四个量 a,b,c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例形式：a:b=c:d，性质：基本性质： ac=bddcba4，比例中项： ca2【2】黄金分割定义：如图点 C 是 AB 上一点，若 ，则点 C 是 AB 的黄金分割点，BAC2一条线段的黄金分割点有两个 ACBCBA618.02532.3618.025注意：如图ABC，A=36，AB=AC，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例【4】相似三角形B.注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负1、可以把比例式与等积式互化。2、可以验证四个量是否成比例上比全=上
2、比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上，全比下 =全比下 下比上=下比上相似三角形专题11、相似三角形的判定AA 相似：A=D, B=EABCDEFS A S EBFCDE,ABCDEFS S S AABCDEF平行相似：DEBC ADEABC2、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形A 型图 X 型图 K 型图母子图 一般母子图 AC 2=ADAB 母子图中的射影定理 AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=A
3、DBD【二】题型相似三角形专题21、求线段的比【例题 1】如图，直线 l1l 2l 3， 直线 AC 分别交 l1， l 2， l 3于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1， l 2， l 3于点 D，E，FAC 与 DF 相较于点 H，且AH=2，HB=1，BC=5 则 的值为 【例题 2】如图，已知在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DEBC，EFAB，且 ADDB = 35，那么 CFCB 等于 （1） （2）【例题 3】如图，点 D 是ABC 的边 AB 上一点，且 AB=3AD，点 P 是ABC 的外接圆上的一点，且ADP=ACB 则 PB:PD=
4、【例题 4】如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，DEAB 交 AC 于 E，如果 ，那么 （ ）AEC23ABCA B C D1253（3） （4）【例题 5】 已知 ，则 = 2dcbaba43，则 = 3a【例题 6】如图，将矩形纸片 ABCD(ADDC)的一角沿着过点 D 的直线折叠，使点A 与 BC 边上的点 E 重合，折痕交 AB 于点 F.若 BE:EC=m:n，则 AF:FB= .求 a 比 b 的方法：求 a,b 的长度，设 k 法，利用三角形相似的性质，平行推比例线段比例分配相似三角形专题3【例题 7】如图所示,将矩形 ABCD 折叠,使点 B 落在边 AD 上,点 B
5、与点 F 重合,折痕为 AE,此时,矩形 EDCF 与矩形 ABCD 相似,则 = .AD【例题 8】如图，RtABC 内接于O，,A=90，AB=4，AC=3，D 为弧AB 的中点，则 = DEC（6） （7） （8）【例题 9】在 RtABC 中，ACB=90，CD 为 AB 的中线，ANCD，交 BC 于 N,若 CD=3，AN=4，则 tanCAN= 2、相似三角形的性质与判定【例题 1】如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC 相似的是（ ）【例题 2】如图，已知ABC，P 是边 AB 上的一点，连结 CP，以下条件中不能确定ACP 与ABC 相似的是（
6、）A ACP=B， B APC=ACB C AC2=AP.AB D BCAP【例题 3】已知四边形 ABCD 与四边形 A/B/C/D/，且AB:BC:CD:DA=20：15：9：8，若四边形 A/B/C/D/为 26，则 A/B/的长为 相似三角形专题4【例题 4】 如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为 【例题 5】如图，P 为 ABCD 的边 AD 上一点，E,F 分别为 PB,PC 的中点，PEF的面积为 3，则平行四边形的面积是 已知两个相似三角形的对应高的比为 3:10，面积差为 100，则大三角形的面积为
7、 【例题 6】如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在点 Q 出，EQ 与 BC 相较于点 G，则EBG 的周长为 （4） （5） （6）【例题 7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔 AB，B 是 CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB为多少?【例题 8】如图，AB=4，射线 BM 和 AB 互
8、相垂直，点 D 是 AB 上的一个动点，点E 在射线 BM 上，BE= DB，作 EFDE 并截取 EF=DE，连结 AF 并延长交射线 BM于点 C设 BE=x，BC=y，则 y 关于 x 的函数解析式是 3、相似三角形讨论方法 1、固定一个角，按 AA 讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值相似三角形专题5【例题 1】直线 y=-x+1 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后得到COD，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、C、D 三点（1）写出点 A、B、C、D 的坐标；（2）求经过 A、C、
9、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；（3）在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【例题 2】已知二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（-5，0）和点 B,其中点 B 在第一象限，且 OA=OB，tanBAO= 1（1）求点 B 的坐标。（2）求二次函数的解析式。（3）过点 B 作直线 BC 平行于 x 轴，直线 BC 与二次函数图象的另一个交点为C，连结 AC，如果点 P 在 x 轴上，且ABC 和PAB 相似，求点 P 的坐标。【例题 3】如图，在平面直角坐标系中，正方形
10、OABC 的边长是 4，点 A， C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，动点 P 从点 A 开始，以每秒 2 个单位长度的速度在线段 AB 上来回运动动点 Q 从点 B 开始沿 B C O 的方向，以每秒 1 个单位长相似三角形专题6度的速度向点 O 运动 P， Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 O 时，两点同时停止运动设运动时间为 t 秒（I）当 t1 时，求 PQ 所在直线的解析式.（2）当点 Q 在 BC 上运动时，若以 P， B， Q 为顶点的三角形与 OAP 相似，求 t 的值.（3）在 P， Q 两点运动的过程中，若 OPQ 的面积为6，请直接写出所有符合条件的 P 点坐标【例
11、题 4】如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向上，顶点 M 在第三象限，抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴负半轴交于点 C，点 A 坐标为（3，0），点 B坐标为（1，0）（1）试用含 a 的式子表示 b， c；（2）连接 AM、 CM、 CB，试说明 OCB 与四边形 AMCO 的面积之比是一个定值，并求出这个定值；（3）连接 AC，若AC M=90，解决下列问题：求抛物线解析式并证明 MAO= ACB；线段 AM 上是否存在点 D，使以点 A、 O、 D 为顶点的三角形与 ACB相似？若存在，求出点 D 坐标；若不存在，说明理由【例题 5】已知在平面直角坐标系 xOy
12、中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以QPByxO CAyO BCA xy=ax2+bx+cM相似三角形专题7每秒 1 个单位长度的速度运动，连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t0）（1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b；（3）作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，连接 QE在点 F 运动
13、过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由【例题 6】在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的两个交点分别32bxay为 A（-3，0）、 B（1，0），过顶点 C 作 CH x 轴于点 H.（1）直接填写： ， ，顶点 C 的坐标为 ；ab（2）在 轴上是否存在点 D，使得 ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，y求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合）， PQ AC于点 Q，当 PCQ 与 ACH 相似
14、时，求点 P 的坐标. 【例题 7】如图：在平面直角坐标系中，直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于A BHC xyOA BHC xyO（备用图）相似三角形专题8A， B 两点，直线 y kx8 与直线 AB 相交于点 D，与 x 轴相交于点 C，过 D 作DE x 轴于点 E（1，0），点 P（ t ，0）为 x 轴上一动点若点 T 为直线 DE 上一动点，当以 O,B, T 为顶点的三角形与以 O,B, P 为顶点的三角形相似时，则相应的点 P（ t0）的坐标为 .【例题 8】如图，二次函数 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交4352xy于点 C，点 P 从点 O 出发沿
15、OA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 运动，到达点A 后立刻在以原来的速度沿 AO 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 匀速运动，过点 Q 作 QD 轴，垂足为 D。点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 C 时停止运动，点 P 也随之停止.设点 P， Q 的运动时间为 .)0(t(1) 当点 P 从点 O 向点 A 运动的过程中，求 面积 S 与 t 的函数关系式;(2) 当线段 PQ 与抛物线的对称轴没有公共点时，请直接写出 t 的取值范围;(3）当 t 为何值时，以 P、 D、 Q 为顶点的三角形与 相似;OBC(4) 如图 2： FE 保
16、持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 F，交折线 QC CO OP 于点E， 在整个运动过程中，请你直接写出点 E 所经过的路径长4、求线段长的方法1、勾股定理 2、相似 3、直角三角形边角关系 4、方程注意：方程可以根据勾股定理、相似、边角关系得到相似三角形专题9【例题 1】如图，在ABC 中，AB=AC，BC=8，tanC= 如果将ABC 沿直线 l 翻23折后，点 B 落在边 AC 的中点处，直线 l 与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为 【例题 2】已知 AB 是半圆 O 的直径，D 为 AC 的中点，sinBAC= ，AB=10，EA53与O 相切于 A，E、D、B 在一条直线上，求 AE 的长【例题 3】已知矩形 ABCD，AD=3，AB=2，E 为 AB 的中点，F 在 BC 边上，且BF=2CF,AF 分别与 DE,DB 相较于 G,H，求 GH【例题 4】如图所示，在ABC 中，BC=6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P
