1、1锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边 c的平方。 22cba2、如下图，在 RtABC 中，C 为直角，则A 的锐角三角函数为(A 可换成B)：3、任 意 锐 角 的 正 弦 值 等 于 它 的 余 角 的 余 弦 值 ； 任 意 锐 角 的 余 弦 值 等 于 它 的 余 角 的正 弦 值 。4、任 意 锐 角 的 正 切 值 等 于 它 的 余 角 的 余 切 值 ； 任 意 锐 角 的 余 切 值 等 于 它 的 余 角 的正 切 值 。5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0 30 45 60 90sin0
2、 212231co1 310定 义 表达式 取值范围 关 系正弦 斜 边的 对 边AsincaAsin 1sin0(A 为锐角)余弦 斜 边的 邻 边cobo oA(A 为锐角)BAcosini1si22正切 的 邻 边的 对 边AtanaAtn0tn(A 为锐角)余切 的 对 边的 邻 边cot abcotcot(A 为锐角)BAcottant1t(倒数)ca )90cot(tanAABAcottan)cs(iicsii90得由 BA对边邻边b斜边A CBac得由直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形 实际问题2tan0 31 3不存在co不存在 1 06、正弦、余弦的增减性：当 0
3、 90时，sin 随 的增大而增大， cos随 的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当 0 90时，tan 随 的增大而增大，cot随 的增大而减小。一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义例 1 在 RtABC 中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是 ( )Asin A 32 Btan A CcosB 3 Dtan B 3 分析 sinA C 1， tan A ，cos B CA 12故选 D.例 2 在ABC 中，C 90，cos A 35,则 tan A 等于 ； 分析 在 RtABC 中，设 AC3k，AB5k，则 BC4k，由定义可知 tan A 43kC分析 在 R
4、tABC 中，BC 224BC3，sin A 35B故填 35例 3（12哈尔滨）在 RtABC 中，C=90 0，AC=4，AB=5，则 sinB 的值是 ；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故 sinB= 54.例 4（2012 内江）如图 4 所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为 ；【解析】欲求 sinA，需先寻找A 所在的直角三角形，而图形中A 所在的ABC 并不是直角三角形，所以需要作高观察格点图形发现连接 CD（如下图所示） ，恰好可证得CDAB ，于是有 sinA CD 210 5例 5 ( 2012
5、宁波)，RtABC,C=90 0,AB=6,cosB= ,则 BC 的长为 ；23【解析】cosB= = ，又AB=6BC=4BCAB23例 6（2012 贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 的邻边与对边的CBA图 4D图22 题图3比叫做角 的余切，记作 ctan, 即 ctan = BCA的 对 边角 的 邻 边角 ，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30 = ；（2）如图，已知 tanA= 43，其中 A 为锐角，试求 ctanA的值【分析】 （1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便） ，然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出 ctan3
6、0。 （2）由 tanA= 43，为了计算方便，可以设 BC=3 AC=4 根据余切定义就可以求出 ctanA 的值 【解析】 （1）设 BC=1, =30 AB=2由勾股定理得： AC= 3ctan30= BCA= (2) tanA=设 BC=3 AC=4ctanA= = 4例 7（2012 山东滨州）把ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的正弦函数值（ ）A不变 B缩小为原来的 13 C 扩大为原来的 3 倍 D不能确定【解析】因为ABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角 A 的正弦函数值也不变 【答案】选
7、A例 8（2012 湖南）观察下列等式sin30= cos60= sin45= cos=45= sin60= cos30=根据上述规律，计算 sin2a+sin2（90a）= 解析：根据可得出规律，即 sin2a+sin2（90a）=1，继而可得出答案答案：解：由题意得，sin 230+sin2（9030）=1；sin 245+sin2（9045）=1；sin260+sin2（9060）=1；故可得 sin2a+sin2（90a）=1故答案为：1点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外 sin2a+sin2（90a）=1 是个恒等式，同学们可以记住并直接
8、运用例 9 (2012 山东德州)为了测量被池塘隔开的 A，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中 ABE， F，AF 交 BE 于 D，C 在 BD 上有四位同学分别测量出以下四组数据：BC，ACB； CD，ACB，ADB ；EF ，DE ，BD；DE，DC，BC 能根据所测数据，求出A，B 间距离的有哪 组【解析】对于，可由公式 AB=BCtanACB 求出 A、 B 两点间的距离；对于，可设AB 的长为 x，则 BC= xtanACB ，BD= xtanD ， BD-BC=CD，可解出 AB对于ABCDEFF4，易知DEFDBA，则 DEBFA，可求出 AB 的长；对于无法
9、求得，故有、三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有 HL例 10（2012 江苏泰州 18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 P，则 tanAPD 的值是 【解析】 要求 tanAPD 的值，只要将 APD 放在直角三角形中，故过 B 作 CD 的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可【答案】作 BMCD，DNAB 垂足分别为 M、N ，则
10、BM=DM= 2，易得：DN= 10，设 PM=x，则 PD= 2-x，由DNPBMP，得： PNDBM，即2PNx，PN= 5x，由 DN2+PN2=PD2，得： 10+ 5x2=( -x)2，解得：x1= 4，x 2= （舍去） ， tanAPD= 24BMP=2例 11. （2011 江苏苏州）如图，在四边形 ABCD 中， E、F 分別是 AB、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3 ，则 tanC 等于 分析： 根据三角形的中位线定理即可求得 BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得BCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解解答： 解：连接 BDE、 F 分別是
11、AB、AD 的中点BD=2EF=4BC=5，CD=35BCD 是直角三角形tanC= 43例 12（2011 山东日照）在 RtABC 中， C=90，把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cotA= ab则下列关系式中不成立的是（ ）AtanAcotA=1 BsinA=tanAcosA CcosA=cotAsinA Dtan 2A+cot2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得A、tanAcotA= ab=1，关系式成立；B 、sinA= ca，tanAcosA= cab，关系式成立；C、cosA= ，cotAsinA= c，关系式成立；D 、tan 2A+cot2A=（ b） 2
12、+（ a）21，关系式不成立故选 D点评：本题考查了同角三角函数的关系（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA= BAcosin或 sinA=tanAcosA（3）正切之间的关系：tanAtanB=1例 13（2011 贵港）如图所示，在ABC 中， C=90，AD 是 BC 边上的中线，BD=4，AD=2 ，则 tanCAD 的值是 解答：解：AD 是 BC 边上的中线，BD=4，CD=BD=4，在 RtACD 中，AC= =2，tanCAD= = =2故选 A例 14（2011 烟台）如果A
13、BC 中，sinA=cosB= 2，则下列最确切的结论是 （ ）A. ABC 是直角三角形 B. ABC 是等腰三角形 C. ABC 是等腰直角三角形 D. ABC是锐角三角形解： sinA=cosB= 2，A =B=45， ABC 是等腰直角三角形故选 C例 15（2011 四川）如图所示，在数轴上点 A 所表示的数 x 的范围是（ ）A、 30sin62sixB、 3cos02cs45C、 tat45D、 t0xt6解答：故选 D同步练习 1（2011 甘肃）如图，A、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB 绕着点 A 逆时针旋转得到ACB，则 tanB的值为 解答：解：过 C
14、点作 CDAB，垂足为 D根据旋转性质可知， B=B 在 RtBCD 中，tanB= CD：BD= 13，tan B=tanB= 132 （2011 甘肃兰州）点 M（sin60，cos60）关于 x 轴对称的点的坐标是 解：sin60= 2，cos60= 2，点 M（ 2， ）点 P（m ，n）关于 x 轴对称点的坐标 P（ m，-n），M 关于 x 轴的对称点的坐标是（ 32， 1）故选 B3（2011 广东）已知：45A90，则下列各式成立的是（ ）A、sinA=cosA B、sinAcosAC、sinA tanA D、sinA cosA解答：解：45A90，根据 sin45=cos45
15、，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小，当A45时，sinA cosA，故选：B4、（2011 宜昌）教学用直角三角板，边 AC=30cm， C=90，tanBAC= 3，则边 BC的长为 cm解：在直角三角形 ABC 中，根据三角函数定义可知：tanBAC= BCA，又AC=30cm，tanBAC= 3，则 BC=ACtanBAC=30 3=10 cm故选 C5、 （2011 福建莆田）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，沿 CE 折叠矩形ABCD，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，若 AB=4，BC=5，则 tanAFE 的值为 解答：解：四边形
16、 ABCD 是矩形， A= B= D=90， CD=AB=4， AD=BC=5，由题意得： EFC= B=90， CF=BC=5， AFE+ DFC=90， DFC+ FCD=90， DCF= AFE，在 Rt DCF 中， CF=5， CD=4， DF=3， tan AFE=tan DCF= DFC = 34 6、 （2012 连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出 67.5的角的正切值是 A BCCB7ECD
17、A BF【答案】设 AB=x,则 BE=x,在直角三角形 ABE 中，用勾股定理求出 AE=EF= 2x,于是BF=（ 2+1）x.在直角三角形 ABF 中，tan FAB= (21)BFxA= +1=tan67.5.选B。7、（2012 福州）如图 15，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号）解析：由已知条件，可知BDC、ADB 是等腰三角形，且 DA=DB=BC，可证BDCABC，则有 CAB，设 BC=x，则 DC=1-x，因此 21,10xx即 ，解方程得，12551,xx（不合题意，舍
18、去），即 AD= 5；又 cosA=4512AD答案： 1,248、（2012 南京）如图，将 45的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读书恰为 2 厘米，若按相同的方式将 37的AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数为 厘米.（结果精确到 0.1 厘米，参考数据sin370 0.60,cos3700.80,tan37 00.75）解析：由于AOB=45，B 点读书为 2 厘米，则直尺的宽为 2 厘米，解直角三角形得点C 的读数为 2tan37020.752.7 厘米.答案：
19、2.79、（2012湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中A =D=90，AB=BC=15 千米，CD=3千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据CBAO4321821.414 73.1 45.26）（2） 求ACD 的余弦值.【解答】（1）结 AC，AB=BC=15 千米，B=90，BAC=ACB=45，AC=15 千米. 又D=90，AD= 222)3()15(CDA=12 （千米）周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.78455（千米）.面积=S
20、 ABC +SADC = 21515+ 12 3 2= 5+18 6157（平方千米）.（2）cosACD= 513AC.10、（2012 甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角 1减至 2，这样楼梯占用地板的长度由 d1 增加到 d2 ，已知 d1=4 米， 140， 236，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到 0.01 米。参考数据：tan40=0.839，tan36=0.727）解析：根据在 RtACB
21、中，AB=d 1tan 1=4tan40，在 RtADB 中，AB=d2tan 2=d2tan36，即可得出 d2 的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度解：由题意可知可得，ACB= 1，ADB= 2在 RtACB 中，AB=d 1tan 1=4tan40，在 RtADB 中，AB=d 2tan 2=d2tan36，得 4tan40=d2tan36，d 2= 4tan0364.616，d 2-d1=4.616-4=0.6160.62，答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 米11、 （2012 贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道 AB，如图，在山外一点 C
22、测得 BC 距离为 200m， CAB=54，CBA=30 ，求隧道 AB 的长 （参考数据：sin540.81，cos54 0.59，tan54 1.38， 1.73，精确到个位）第 22 题图 d2ACBD9解析： 首先过点 C 作 CDAB 于 D，然后在 RtBCD 中，利用三角函数的知识，求得 BD，CD 的长，继而在RtACD 中，利用 CAB 的正切求得 AD 的长，继而求得答案答案： 解：过点 C 作 CDAB 于 DBC=200m， CBA=30，在 RtBCD 中， CD= BC=100m，BD=BCcos30 =200 =100 173（m ） ，CAB=54，在 RtA
23、CD 中，AD= 74（m ） ，AB=AD+BD=173+74=247（ m） 答：隧道 AB 的长为 247m12、 （2011 新疆建设兵团）如图，在 ABC 中， A90 （1）用尺规作图的方法，作出ABC 绕点 A 逆时针旋转 45后的图形AB 1C1（保留作图痕迹）；（2）若 AB3，BC 5，求 tanAB1C1解答：解：（1）作CAB 的平分线，在平分线上截取 AB1AB，作 C1AAB1，在 AC1上截取 AC1AC，如图所示即是所求（2）AB3，BC 5， AC4， AB13，AC 14，tan AB1C1 AC1AB1 43专题 2 特殊角的三角函数值例 1（2012，湖
24、北孝感）计算：cos 245+tan30sin60=_ 【答案】1例 2（2012 陕西）计算： 0cos45-38+1= 【解析】原式 2=-3=2【答案】 -52+例 3(2012 广安)计算： )3(18cos45o+ 1 ；解析： 1182()cos45= 23= 2例 4 计算|3| 2cos 45( 31) 010解：原式32 21 2例 5 计算 9( 1) 2007cos 60解：原式 23( 1) 2312例 6 计算| |(cos 60tan 30) 0 8解：原式 21 十2 3 21例 7 计算3( 3.14)0|1tan 60| 32.解：原式81 1 3210.例 8（2012 呼和浩特）计算： 1|sin45【解析】三角函数、绝对值、乘方【答案】 11|2|sin45(2)13例 9（2011 天水）计算：sin 230+tan44tan46+sin260= 分析：根据特殊角的三角函数值计算tanA tan（90A ）=1解答：解：原式= 14+1+ 3=2故答案为 2例 10（2011 莱芜）若 a=3tan60，则 196)1(2a= 。 3解答：解：a=3tan60=3 3， 原式= 23-）（a= =13故答案为： 练习 1、（2011 浙江）计算：|1| 182（5 ） 0+4cos45. 【解】原式=1 22 1+4 =
