1、1 1线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1） ； （2）381402bac（3） ； （4） .22cba yxy解 注意看过程解答（1） 3810 81)(103)4(2)(1)(= 624=（2） bac cabca33（3） 221cba 222cbaab)()(（4） yxyyx)()()( 33)(xy223322.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；)(n)(n（6）1 3 2.解（1）逆序数
2、为 02 2（2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为 ：)(n3 2 1个5 2，5 4 2 个7 2，7 4，7 6 3 个 2， 4， 6， )1()()2()(n)2(个（6）逆序数为 n3 2 1个5 2，5 4 2 个 2， 4， 6， )1()()2()(n)2(个4 2 1个6 2，6 4 2 个 2， 4， 6， 个)(n)(n)()(3.写出四阶行列式中含有因子 的项.231a解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中 为 的逆序数由于4321)(ppta
3、t4321p3,12p已固定， 只能形如 ，即 1324或 1342.对应的 分别为t或00和 为所求.43214231a4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1） ； （2） ；71054260531（3） ； （4）efcbfdadcba10解(1) 710254342c01042= 34)(343 3= =014302321c147209(2) 26053124260531=024r041314r034(3) =efcbfdaecb= =1adeaf4(4) dcb102rdcba10= 2)(a123c0ca= =23)1(cdb1dab5.证明:(1) = ;122ba3)(2)
4、= ;bzayxbazyxyxz)(34 4(3) ;0)3()2()1()()()( 2222222 ddccbbaa(4) 4422dcba;)()()( dbca )(dcba(5) .1221001axaxnn nnaxx11证明(1) 02132bc左 边 aba2)(21)右 边3)(b(2) zayxzyxa分 开按 第 一 列左 边 bzayxzy02baz分 别 再 分 zyxbzyxzy33分 别 再 分 右 边233 )1(zbyza5 5(3) 222222 )3()()1( )()()(ddcccbbaa左 边 964122143 ddccbbaac9642ddccb
5、baa分 成 二 项按 第 二 列 964122dcba9496243dcbac第 二 项第 一 项 06412dccba(4) 4444 2222001adcab左 边= )()()( 22222= )()()(11222 adcabdacb = )()( )()()()()( 00122222 abdabcab= d)()()()( 112222c = dbcaba dcba(5) 用数学归纳法证明 ., 21212 命 题 成 立时当 xxDn6 6假设对于 阶行列式命题成立，即)1(n,122nnaxxaD:列 展 开按 第则 1100)(1 xxnn 右 边naD1所以，对于 阶行列
6、式命题成立.6.设 阶行列式 ,把 上下翻转、或逆时针旋转 、或依)det(ijaD90副对角线翻转，依次得， ， ，nna11 112nna 113aDnn 证明 .32)(2,证明 detijDnnnnn aa2211111)( nnnna331211)(nnn 1121)()(Dn2)()(21)( 同理可证 nnaD 11)(2 DnTn2)1()1( nn )1(2)1(2)1(2)(37.计算下列各行列式（ ）：阶 行 列 式为 k7 7(1) ,其中对角线上元素都是 ，未写出的元素都是 0；aDn1a(2) ;xaxn (3) ;11)()(111 naaDnn n提示：利用范德
7、蒙德行列式的结果(4) ;nnnndcbaD 012(5) ;jiajij 其 中),det(6) , .nn aD1121 021na其 中解(1) aaDn00100 按 最 后 一 行 展 开8 8)1(1 00100)( nnaa )1(2nna( )再 按 第 一 行 展 开 nnna )2(1() 2na)1(2(2)将第一行乘 分别加到其余各行，得 axxaxDn 00 再将各列都加到第一列上，得 axaDn 00)1( )()1(1axxn(3)从第 行开始，第 行经过 次相邻对换，换到第 1行，第n n行经 次对换换到第 2行，经 次行)( 2)()(交换，得 nnnn aa
8、D)()1(11)1( 112( 此行列式为范德蒙德行列式 12)1(1 )1()(jinn ji9 9 121)(2)1(12)1( )()( jinnnjin 1)(jin(4) nnnnn dcbaD00012 nn dcdbaa00011111 展 开按 第 一 行 00)1( 111112cdcbabn nn 22nDcbda都 按 最 后 一 行 展 开由此得递推公式：22)(nD即 i iicbda2而 111c得 ni iicbdaD12)(5) jiaj10 10043213310221130)det( nnnaDijn,321r043211 nn,1432c=1524321001nnn 21)()nn(6) nn aaD1121 ,43321cnnaaa100100014321 展 开 （ 由 下 往 上 ）按 最 后 一 列)(1121nna nnaa000002432
