1、1毕业论文开题报告数学与应用数学二维结晶几何学一、选题的背景与意义几何学有着悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公理和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理做出一系列的命题。可以说，几何原本是公理化系统的范例，对西方数学思想的发展影响深远。后来，笛卡儿在方法论的附录中，将代数坐标引入几何，带来了革命性进步。此后几何问题能以代数的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在中国古代数学史上是显著的方法。笛卡儿坐标的引入，是否有东方数学的影响，因为东西方数学交流史研究的欠缺，暂时还不得而知。考克斯特（HSMCOXETER）是20世纪伟大的几何学家，他著作的几何导论（ANINTRODUCTIONTOG
2、EOMETRY）十分适合初学者以及对几何感兴趣的人读，鉴于国内暂无本书的翻译，因此本课题就是要翻译并介绍其中的章节。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题将加拿大多伦多大学（UNIVERSITYOFTORONTO）考克斯特（HSMCOXETER）著作的几何导论（ANINTRODUCTIONTOGEOMETRY）中第四章二维结晶几何学（TWODIMENSIONALCRYSTALLOGRAPHY）翻译成中文。在翻译过程中深入了解考克斯特的几何导论，深刻体会几何思想，培养抽象思维的能力。三、研究的方法与技术路线首先通过查阅相关文献资料，熟悉本课题前人已经做的研究工作；同时进一步深入学习考克斯特的思想和
3、相关几何学的知识，特别注意翻译的准确性；最后着手进行本课题内容的写作。四、研究的总体安排与进度12010年11月初到11月中旬收集文献资料，确定论文题目。22010年11月中旬到12月中旬完成任务书、文献综述、开题报告和两篇外文翻译。232011年1月上旬到3月中旬，完成毕业论文的具体制作，毕业论文初稿。42011年3月下旬至4月上旬，完成毕业论文撰写与修改、定稿。52011年4月中旬，完成毕业论文装订。五、主要参考文献1OBOTTEMA1HOOFDSTUKKENUITDEELEMENTAIREMEETKUNDENVSERVIRE,THEHAGUE,19442DBREWSTER1ATREATI
4、SEONTHEKALEIDOSCOPECONSTABLE,EDINBURGH,18193梅向明，黄敬之几何微分M高等教育出版社20074杨文茂，李全英空间解析几何M武汉大学出版社20063毕业论文文献综述数学与应用数学二维结晶几何学我国对几何学的研究有着悠久的历史，翻开二千多年前已经成书的九章算术看一看，书中对许多平面图形及其面积的求法已有详细的记载。书中记载了三角形的面积是“半广以乘正从”，这里讲的“广”是指矩形，“正从”是指高，意思是把三角形割补成矩形，取其底长的一半再乘高，便是三角形的面积。至于原的面积“半周半径相乘得积步”，“积步”是当时的面积单位“平方步”，就是说圆周的一半与半径相乘
5、，用今日的圆面积公式表示。至于祖冲之的圆周率，更是早于印度半个世纪，早于欧洲一千多年。我国在几何学方面的成就很辉煌，然而几何作为一门学科开设，在我国的基础教育中，则是很晚的事了。晶体结构的形态属于自然界里最逗人喜爱的形态之列，将两个尖顶六棱柱口对口对接形成有规则的多面体，许多这种多面体可以填满一个空间区域，口对口对接还可以构成菱形十二面体。在自然界中，晶体中的石梅石结晶体便是菱形十二面体的天然模型，它在成长过程中相互重叠积压，最后形成具有某种角度的多面体，而这种多面体，是大自然的一种几何的深谋远虑。英国数学家考克斯特（HSMCOXETER）的著作几何简介（INTRODUCTIONTOGEOME
6、TRY）论述生动、精辟，包含的章节中有很强的灵活性同时又相互独立，有很广的覆盖面，其中的主题包含了欧几里得几何、仿射几何、射影几何、微分几何、拓扑学。其中的内容是较容易理解的，它要求学生思考，通过实验来学习令人费解的事。十分适合对研究海外几何学和对几何数学感兴趣的人阅读。由于我的工作是将其中的一个直接翻译成中文，我必须要对这个章节里所讲的内容有一定的掌握，这些参考文献都能很好的让我掌握几何学的基本知识以及提前深入学习该章节的所讲的内容。提前阅读和学习这些参考文献，对我的翻译工作有莫大的益处。文献1五维结晶学向我们介绍了五维晶体几何学的相关概念以及晶体的种类，让我们了解了多维晶体的特性，进而对二
7、维晶体几何学有了更加直观的印象，这个参考文献是国外科学家的最新研究，具有相当的价值。4文献2揭示细菌质表面的高分辨电子晶体学从高分辨率的角度向我们介绍了细菌质表面的晶体结构，让我们直观的看到晶体的结构以及特性，具有很好的意义，需要我们深入研究，对我翻译几何入门的第四章二维结晶几何学具有很大的帮助。文献3微分几何学以光滑曲线曲面作为研究对像，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有两
8、条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。文献4这本空间解析几何是我在大学里解析几何课程的教材。它虽然跟我要翻译的章节没有太大的联系，但是空间解析几何是数学的一门基础课，是用代数方法研究空间几何图形的学科。这门课程的学习让我对几何学有了深厚的兴趣，认识到了图形的性质和图形间的关系可以通过对数来计算。文献5几何重观本书的作者之一正是我将要翻译的几何简介的作者考克斯
9、特。该书是高中学生一本很好的数学课外读物，是研究初等几何一本有用的参考书。该书除了重现了初等几何中许多著名的定理外，作者还应用了变换的思想并介绍了“反演几何”、“射影几何”方面的知识。可以让读者了解欧式几何的发展过程，扩大眼界，提高解几何问题的能力，同时让我了解了考克斯特的几何学思想，对我翻译他的著作有很大的帮助。总之，这翻译工作开始之前阅读这些参考文献，让我了解了几何学的起源发展，几何学的地位和作用，同时对几何学的知识有了更深一步的学习并掌握。也了解的考克斯特的几何学思想，重点了解的待翻译章节的相关内容，对之后的工作有重大的作用。主要参考文献1MARIUSSCHMIDTFIVEDIMENSI
10、ONALCRYSTALLOGRAPHYMILWAUKEE20102YOSHIAKIKIMURASURFACEOFBACTERIORHODOPSINREVEALEDBYHIGHRESOLUTION5ELECTRONCRYSTALLOGRAPHYBIOMOLECULARENGINEERINGRESEARCHINSTITUTE19973梅向明，黄敬之微分几何M高等教育出版社20074杨文茂，李全英空间解析几何M武汉大学出版社20065HSMCOXETER，LGREITZER著；王宗尧，王岳庭译几何重观M郑州河南教育出版社，19846本科毕业设计（20届）二维晶体学摘要【摘要】几何学有着悠久的历史。最
11、古老的欧氏几何基于一组公理和定义，人们在公设的基础上运7用基本的逻辑推理做出一系列的命题。可以说，几何原本是公理化系统的范例，对西方数学思想的发展影响深远。后来，笛卡儿在方法论的附录中，将代数坐标引入几何，带来了革命性进步。此后几何问题能以代数的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在中国古代数学史上是显著的方法。笛卡儿坐标的引入，是否有东方数学的影响，因为东西方数学交流史研究的欠缺，暂时还不得而知。考克斯特（HSMCOXETER）是20世纪伟大的几何学家，他著作的几何导论（ANINTRODUCTIONTOGEOMETRY）十分适合初学者以及对几何感兴趣的人读，鉴于国内暂无本书的翻译，因此本课题
12、就是要翻译并介绍其中的章节。数学晶体学提供了对物理学的最重要的应用之一的初等几何学。三维理论是复杂的，但它在与二维类比的时候是很容易想象且不平凡的。覆盖面上的图案作为条状图案的扩展来源于37。可是，如果没有两个维度的限制，一个完整情况下无限枚举的对称群就超出了本书的范围。【关键词】结晶学；几何学；群；二维。8ABSTRACT【ABSTRACT】GEOMETRYHASALONGHISTORYEUCLIDEANGEOMETRYOFTHEOLDESTAXIOMSANDDEFINITIONSBASEDONAGROUPOFPEOPLEONTHEBASISOFTHEPOSTULATEOFLOGICALRE
13、ASONINGUSEDTOMAKEASERIESOFBASICPROPOSITIONSITCANBESAID,“ELEMENTS“ISANEXAMPLEOFAXIOMATICSYSTEMS,THEDEVELOPMENTOFMATHEMATICALTHINKINGOFTHEWESTERNFARREACHINGIMPACTLATER,DESCARTESINTHE“METHODOLOGY“OFTHEAPPENDIX,WILLCOORDINATETHEINTRODUCTIONOFALGEBRAICGEOMETRY,BRINGINGAREVOLUTIONARYPROGRESSAFTERALGEBRAIC
14、GEOMETRYINTHEFORMOFTHEPROBLEMCANBEEXPRESSEDINFACT,THEPROBLEMOFALGEBRAICGEOMETRYINTHEHISTORYOFANCIENTCHINESEMATHEMATICSISASIGNIFICANTWAYTHEINTRODUCTIONOFCARTESIANCOORDINATES,WHETHERTHEIMPACTOFTHEEASTMATHEMATICS,BECAUSEMATHEMATICSCOMMUNICATIONOFTHEEASTWESTGAPS,WILLNOTKNOWCOXETERISGREATGEOMETEROFTHE20T
15、HCENTURY,HISWRITINGS,“INTRODUCTIONTOGEOMETRY“ANINTRODUCTIONTOGEOMETRYANDTHEGEOMETRYISSUITABLEFORBEGINNERSWHOAREINTERESTEDINREADING,NOBOOKINVIEWOFTHEDOMESTICTRANSLATION,SOTHISPROJECTISTOTRANSLATEANDINTRODUCEONEOFTHECHAPTERSMATHEMATICALCRYSTALLOGRAPHYPROVIDESONEOFTHEMOSTIMPORTANTAPPLICATIONSOFELEMENTA
16、RYGEOMETRYTOPHYSICSTHETHREEDIMENSIONALTHEORYISCOMPLICATED,BUTITSANALOGINTWODIMENSIONSISEASYTOVISUALIZEWITHOUTBEINGTRIVIALPATTERNSCOVERINGTHEPLANEARISENATURALLYASANEXTENSIONOFTHESTRIPPATTERNSCONSIDEREDIN37HOWEVER,INSPITEOFTHERESTRICTIONTOTWODIMENSIONS,ACOMPLETEACCOUNTOFTHEENUMERATIONOFINFINITESYMMETR
17、YGROUPSISBEYONDTHESCOPEOFTHISBOOK。【KEYWORDS】CRYSTALLOGRAPHY；GEOMETRY；GROUP；TWODIMENSIONS。9目录摘要6ABSTRACT8目录9二维晶体学101格子及其狄利克雷区域102一般格子的对称群143埃舍尔的艺术164六个积木模型175晶体学的限制196对称的镶嵌197共线点的西尔维斯特问题23致谢错误未定义书签。10二维晶体学1格子及其狄利克雷区域爱丽丝站了好几分钟没有说话，看着这个国家的各个方向“我宣布，它被标记的像一盘棋遍布世界，如果这是世界的。”LEWISCARROLLDODGSON2,CHAP2无限二维群（
18、重复模式，如常用的墙纸或瓷砖地板上使用的对称群）有别于通过独立平移而存在的无限“一维”群，那就是，平移的方向既不平行也不是相反。晶体学家ESFEDOROV证明仅仅有十七个这样的等距二维群。POLYA和NIGGLI在这个世纪重新发现了它们。我们表示它们的这些符号来自于X射线晶体学国际表。LATTICES图41A最简单的实例是P1群，它由两个独立的变换X，Y组成。由于逆变换是一个变换，而且两个变换的积是一个变换（321），因此这个群由完整的变换构成。如果XTYX,这些变换XYXY完全适合所有的整数X，Y。理论上，直积CC具有唯一的定义关系XYYXCOXETERANDMOSER1,P40。任何对象，
19、比如图41A中的数字6，是由群P1转换为一个形成一种模式的无限数组的对象。反过来说，P1是完全对称的模式群，提供的对象没有内在的对称性。如果对象是一个单点，该模式就是一个称为二维晶格的点的阵列，这可能是作为11一个无限果园计划合照。每个晶格节点和由原点1变换而来的符号自然相关。图41B任何人站在一个果园向很多方向观察成行对齐的数木。这呈现出一个晶格的特性连接任意两点的直线含有无穷多的点，间隔均匀，这就是“一维晶格”。实际上，连接点1和点XYXY的直线也包含/NXDNYDXDYDNXYXY其中D是任意整数X和Y，以及N的最大公约数。特别的，X所有的幂位于一条线，Y的幂位于另一条线，并通过其余平行
20、于这些格点的线形成一个由全等平行四边形花纹填充的无缝隙平面（图41C）。（我们使用由多边形排列组合在一起的镶嵌项以涵盖整个平面而不重叠。）图41C一个典型的平行四边形由1，X，XY，Y这四个点组成。变换TXYXY使这个平行四边形变换为另外一个以点T（代替点1）为第一个角的平行四边形。因此，在细胞或镶嵌的瓷砖以及群里的变换之间有一一对应的性质，就是每个变换使原始细胞中任何点对应位于新细胞同样位置的点。正是因为这个原因，这个典型的平行四边形被叫做一个基本域。基本域的形状不是独一无二的。任何平行四边形都适合，只要它有四个顶角的格点且边界和内部没有HARDYANDWRIGHT1,P28。假如1ADBC
21、,那么由X，Y生成的群等价12于，CDXY生成的群，这是代数语句的几何对应。为了在新的方面表示旧的生成元，我们观察ABDCDBADBCXYXYX，ABCDAADBCXYXYX。但是基本域没有必要是一个平行四边形；例如，我们可能会让一对来代替两侧各一对的全等曲线，如图41D。图41D狄利克雷区域每个可能的基本域，不论我们是选择平行四边形还是其他的外形，都有着相同的区域就如图41C中典型的平行四边形。因为，在一个足够大的圈里，格点的数目等于任何基本域的复制品的数目（有一个无关紧要的错误应归于圆周的残缺区域）；因此，每一个可能的形状都与其区域中的大型圆的面积有相同比例。这是一个有趣的事实，任何关于变
22、换群的凸基本域是一个中心对称多角形（即一个中心对称的平行四边形或六边形）。在各种可能的平行四边形中，我们可以在这个群里选择一个标准的或者简化的平行四边形沿着母线Y做最短的平移（或者最短之一），而且X在另外一个方向做同样的或仅次于最短的平移。如果X和Y之间的角恰好是钝角，我们就扭转Y的方向。因此，在所有能够作为一个基本域的平行四边形中，简化的平行四边形具有尽可能短的两侧。沿着两侧的变换自然被叫做简化生成元。13图41E通过连接简化平行四边形的顶点X，Y，和每个复制品对应的顶点，我们得到其顶点是格点，角是锐角的全等三角形的镶嵌。每个格点属于六个三角形；例如，围绕着点1的三角形连接着闭链中临近的每对
23、点X,Y,1XY,1X,1Y,1XY（图41E）。通过连接这六个三角形的外心，我们得到这个格子的狄利克雷区域（或“泰森多边形”）多边形内由平面上所有距离相应格点最近的点组成（比如点1）。这样围绕着每个格点的区域，显然是组合在一起以填补整个平面，事实上，狄利克雷地区是一个特殊类型的基本域。格点是关于点1半圆对称的（或任何其他格点）。对于这半圆交汇处的格点XYXY,XYXY。（用技术语言来说，群P1有一个周期为2的自同构，即X和Y的逆替代X，Y本身）。因此，狄利克雷区域是对称的半圆。其精确的形状取决于产生的平移X，Y的相对长度和它们之间的角度。如果这个角是直角，那么狄利克雷区域是一个长方形（或正方
24、形），因为一个直角三角形的外心是斜边的中点。在所有其他情况下，它是一个六角形（不一定是正六边形，但因为这是中心对称的，其对边相等且平行）。通过让X和Y之间的角度逐渐增加至90度来改变格子，我们看到两个六边形的对边收缩，直到它们成为单一的顶点，那么剩下的四个边形成一个矩形（或正方形）。思考狄利克雷区域的四个或六个边并将中心格点1转变成其周围的其他四个或六个格点。练习（1）任何一个狄利克雷区域的两条对边垂直于连接它们中点的直。（2）画出不同类型格子的草图，X和Y需要受以下限制它们可能有同样的长度，以及它们之间的角度可能是90或60。指出狄利克雷区域的每种情况，以及说明这个区域的对称群是否是2C,2
25、D,4D或6D。142一般格子的对称群对一个给定的具有对称性的数学结构的研究历来产生了最出色的成绩。EARTIN18981962ARTIN1,P54任何给定的格子很容易看出是关于连接两个格点的线段中点半圆对称的。HILBERTANDCOHNVOSSEN1,P73。这样的中点形成细网格，其产生的平移只有X和Y的一半长度（见图42A中的开点）。图42A一般格出现在不同长度和既不是60也不是90角度的简化生成元中。在这种情况下，平移XYXY和上述半圆转换是其唯一的对称运算。换句话说，一般格的对称群来自于额外增加变换H的群P1，它是关于点1的半圆变换。这个群被记为P2COXETERANDMOSER1,
26、PP4142。它由半圆变换H和X，Y平移生成，就这个半圆变换HT而言，其互换了点1和TXYXY。（请注意，T本身是H和HT的积。）该群等价于由三个半圆变换HX，H，HY或（多余）它们的积形成的群HXHHYHXY其中关于平行四边形四个顶点的半圆变换在图42A。值得注意的是，任何简单的三角形或四边形（不一定是凸多边形）将作为P2的基本域。关于三个边或四个边中点的半圆变换可能被认为是等同于HX，H，HY（图42B）或者HX，H，HY，HXY（图42C）。15图42B图42C练习（1）为什么在图42C中形成两个重叠的四边形格的顶点（2）画出一个给定格的狄利克雷区域的镶嵌。用一个对角线把每个区域分为两半
27、。由此产生的镶嵌是不等边三角形（图42B）或不规则四边形（图42C）的镶嵌取决于该狄利克雷区域是长方形或六角形这一特殊情况。16插图13埃舍尔的艺术群P1和群P2是涉及两个独立平移的等距同构的二十七个离散群中最简单的两个。其他几个将会在这一节和下一节提及。为方便所有这些生成元列在413页的表I。用重复的图案填补一个平面的艺术在十七世纪的西班牙得到了最高的发展，摩尔人用十七个群来装饰他们错综复杂的阿罕布拉JONES1。他们对抽象图案的喜爱是因为他们严格遵守第二诫。荷兰艺术家埃舍尔，没有这样的顾虑，使用适合基本域的动物形状来做出这些群的巧妙应用。例如，他的在马背上的骑士图案（插图1）第一眼看起来似
28、乎是对称群P1，其由水平平移和垂直平移产生。但是，忽视黑暗和光明样本之间的区别，我们得到了更有趣的群PG，其是由两个平行滑移的反射产生的，比如G和G。我们观察到垂直平移可等价的表示为2G或2G。值得注意的是单一关系22GG为这个群提供了一个完整的抽象定义COXETERANDMOSER1,P43。显然，骑士和他的骏马（包括两种颜色）构成了PG的基本域。但是我们必须结合两个这样的区域，一个黑暗一个17光明，以得到P1的基本域。同样，埃舍尔的甲虫图案第一眼看起来似乎是对称群PM，其由由两个垂直反射和垂直平移生成。但仔细看，我们看到，有两个黑暗与光明甲虫，而且颜色也是通过滑移反射来互换的。完整的对称群
29、CM，它的基本域是任一颜色甲虫的左半部分或右半部分，其由任何此类垂直滑移反射和垂直反射一起产生。为了获得更小的群PM的基本域，我们要结合任一颜色甲虫的右半部分和另一种颜色甲虫的左半部分。一个完整甲虫（包括两种颜色）给群P1（与它的生成斜平移之一）及等价的PG提供了一个基本域。练习（1）找到插图1和2中生成PG的两个滑移反射的轴线。（2）任何两个平行四边形，只要它们的双边在相同的两个方向，那么它们就可以重复的通过平移去填补整个平面。4六个积木模型图44A显示了十七个二维空间群中的六个如何出现熟知的长方形图案的对称群，我们可能把它当作模型或者瓷砖。这些生成元如下所示虚线表示一个镜面，一个“镜头”是
30、指一个半圆，小方表示四分之一圆（即90旋转），和一个“半箭头”表示滑移反射。在每一种情况下，一个方便的基本域用阴影表示。这个区域在一定程度上比较武断除了PMM的情况，它完全是由镜面界定的。分析这种模式的过程如下。我们观察到一个单一积木的对称群是2D（4阶），该群有子群2C和1D。如果所有积木的对称运算也是整个图形的对称运算，像在CMM和PMM中一样，那这个基本域就是积木的四分之一，生成元中的两个是生成2D的反射，以及任何其他的生成元把原始的积木转换为临近的积木。如果仅仅是子群2C或1D属于整个方案（2C属于P2或者PGG和1D属于PMG或P4G），那么基本域就是半个积木，而且生成元并不是那么明
31、显。18插图2图44A练习在所有这些已了解的模式中，一个积木是长方形，其中一边是另一边的两倍。在每一种情况下，任何积木都关系到整个格局，跟其他的一样。（用技术语言来说，对称群是可传19递的积木）。那么有六个单一传递的积木图案吗5晶体学的限制一个数学家,就像一个画家或诗人，是一种图形制造商。如果他的图形是比他们永久的，那是因为它们是由思想组成的。GHHARDY2,P24一个完整的十七个二维空间群的统计账户将占用过多的空间。但是似乎值得给予BARLOW的简洁证明的是，唯一可能的循环子群是2C,3C,4C和6C。换句话说对于一个网格的旋转对称运算，唯一可能的周期是2，3，4，6。设P是任何周期N的旋
32、转中心。其余的网格对称运算把P转化为其他无穷多同周期的旋转中心。设Q是距离P最可能的其他中心中（图45A）的一个。第三个中心P，是将P绕点Q旋转2/N得到的；以及第四个中心Q，是将Q绕点P旋转2/N得到的。当然，线段PQ，QP,PQ都是相等的。P和Q有可能位置重合；那时6N。在所有其他条件下，由于Q被选为距离P最可能的距离，我们得出PQPQ因此4N。如果4N，PQPQ是一个正方形。如果5N，PQ明显短于PQ。如果6N，PQ穿过PQ，但是，但它就不再需要使用Q我们已经知道PPPQ，因此那是不可能的。图45A练习（1）如果S和T是关于P和Q的2/N旋转，那么1TST是什么（2）如果一个等距同构的离
33、散群包括两个关于不同中心的旋转，它包括两个这样的旋转具有相同的周期，因此也是一个平移。如果这个周期大于2，它包括两个独立的平移。6对称的镶嵌20数学家的图形，像画家或者诗人的，必须很漂亮；他们的思想，就像颜色或者文字，必须以和谐的方式结合在一起。美是第一个测验这个世界上没有为丑陋的数学准备永久的地方。GHHARDY2,P25这可能是开普勒（15711630）首先研究用相等的正多边形填补平面。我们会发现使用施莱夫利符号,PQ可以很方便地来表示对称的PGONS镶嵌，Q周围的每一个顶点SCHLFLI1，P213。这些实例6,3,4,4,3,6都是配有插图46A的，在每个实例中，用粗线绘制的多边形是顶
34、点图QGON它的的顶点是Q的边的中点。由于镶嵌有点类似于多面体，那就很自然地用边来代替临近多边形的共同边，以及用面代表临近多边形的共同面。图46A对于一个正式的定义，我们可以说一个对称的镶嵌有对称的面以及在每个顶点有对称的顶点图。镶嵌6,3经常被用于浴室的瓷砖地板。它也可以被看作是在任一蜂巢里。4,4在形式上相似于正方形的纸；在直角坐标系里，其顶点只能是X和Y都是整数的点。3,6在下面的意义上是6,3的对偶。,PQ的对偶是这样一个镶嵌，它的边是,PQ面的垂直平分线（见图46B）。因此,PQ的对偶是,QP,反之亦然；任何顶点都是其他面的中心。特别的，4,4的对偶等于自身。21图46BP和Q的可能
35、值可以很容易获得，使PGON的角度即12/P等于它必有的值如果Q这样的多边形连接在一个点221111,2224PQPQPQ4的因式分解有三个可行方法，即41，22，14，产生的三个镶嵌已经描述完毕。但是，在宣布这些是唯一对称的镶嵌之前，我们应该探讨，我们的方程的分数解；因为这有可能被认为是一个对称的星型镶嵌,PQ，其面P和顶点图Q被认为是28里的那种正多边形。例如，图46C显示十个五边形被放置在一个共同的顶点。尽管它们重叠着，我们还是期望能够进一步补充五边形从而形成一个镶嵌1035,（它的顶点数目是一个十克），覆盖了平面很多次。但是实际上，这个数目是无限的，正如我们将看到的。图46C考虑一般的
36、规则镶嵌,PQ,其中/PND。如果它覆盖平面的次数是有限的，那一对22面的中心点的距离必须是最短的。设P，Q是两个这样的最小距离的中心。因为它们是周期为N的旋转的中心，在45用过的这个论据证明N的唯一可能的值是3，4，6。像这样的话，当1D时，这些也是P的唯一可能值。因此没有规则的星型镶嵌COXETER1,P112。实际上它可能是使用了十二个五边形来覆盖一个球体范围，并覆盖了三次，这个球体范围的边是大圆弧形COXETER1,P111。为了找到一个规则镶嵌的对称群，我们把它的面当作44中积木的一个面。显然，,PQ的对称群是来自于一个面的对称群PD，通过增加那个面一侧的放射。因此，它是由一个三角形
37、的边的反射产生的，这个三角形的角度分别是/P（在面的中心），/2（在边的中点上），/Q（在一个顶点）。这个三角形是一个基本域，因为它是由三个产生的反射转变为临近的三角形。由于每个母线使一边的所有点不变，这个基本域是唯一的它不能像埃舍尔使用加法和减法去修改一些其他群的基本域那样被修改。这种三角形网络，覆盖了平面，被规则镶嵌的所有对称的线给切断了。对称线包括,PQ和它的对偶,QP的边缘线。在实例6,3和3,6（图46B）中，这些边缘线是足够的；在双重4,4的边缘线中我们也需要正方形的对角线。在图46D中，交替区域已经被阴影覆盖以表示两个完整的对称群P6M,P4M以及“直系”子群P6,P4（由旋转和
38、平移组成），其维持颜色和阴影部分的方向BREWSTER1,P94BURNSIDE1,PP416,417。P6和P6MP4和P4M图46D代替了来源于规则镶嵌的三角形网格，我们就可以从网格中得到镶嵌。为此，我们挑选出网格中的一个点使它的角度是/P，也就是说，其中P的阴影和P的白色的三角形连接在一起。这2P三角形联合成,PQ的面。23练习（1）证明第六十二页常规的形成定义。（这意味着面都是相似的，而且周围的顶点也都是一样。）（2）给个一般的理由来证明，一个规则的镶嵌的边的中点属于一个格点。（提示考虑由关于三个这样中点的半圆转换产生的群P2。）（3）挑选6,3的边的中点。证明它们属于一个格子。它们是
39、否构成整个格子（4）画出格子的一部分，格子的对称群是P2，PMM，CMM，P4M，P6M。7共线点的西尔维斯特问题反证法，欧几里德非常喜欢的方法，是一个数学家最好的武器之一。这是比任何国际象棋开局让棋更好的开局一个棋手可能会牺牲一个棋子，甚至牺牲一块棋子，但是数学家却提供了如何赢得比赛的方法。GHHARDY2,P34正如我们在41看到的，一个格点是一个离散点，它具有这样一种特性，连接其中任何两点的线都不仅仅包括这两个，二是无限多的。图47A显示了一个有限的“果园”，其中九个点分布在三个十行排列中BALL1,P105。或许正是这种配置的研究导致了西尔维斯特提出了他的1893年问题证明那是不可能去
40、整理任何实际点的有限数目，刚好使得一条直线穿过它们中的两个以及第三个，除非它们都在这条直线的一边。图47A图47B无论是西尔维斯特还是与他同时代的人没有任何人能想到一个令人满意的证明。这个问题被遗忘了，直到1933年，KARAMATA和厄多斯重新恢复了它，并和TGALLAI（别名GRIINWALD）终于成功解决了这个问题用一个相当负责的参数。西尔维斯特“否定的”陈述被MOTZKIN该述为“肯定”的如果实平面上的N个点并不在一条直线上，则存在一条直线恰好包含其中两个点。24以下证明，这有点类似于巴洛的晶体限制45的证明，这应归功于LMKELLY。这N个点1,NPP是由至少112NN条直线1132
41、,PPPP等相交而成的。考虑IP，JKPP，由一个点和一条并不是附带的连接线。由于至少有1122NNN对这样的，那那就至少有一对，设为1P，23PP，点到直线的距离1PQ是存在的最短距离。那么线23PP不包括其他的集点。因为，如果它包括4P，2P，3P，4P中至少有两个点将会在垂直线PQ的一侧（也可能点P的将和点Q位置重合）。那么设这两个点为2P，3P，以及接近Q（或者和点Q重合的）。接着2P，31PP（图41B）是另外一对比1PQ距离还要短的，这是不可能的。这就完成了证明，总有一条线刚好包含两个点。当然，可能有更多符合条件的线；实际上，KELLY和MOSER证明这样的线至少有3/7N条。练习
42、（1）上述证明产生了一条只包含P的两个的线23PP，该点Q在2P和3P之间。（2）如果N个点不全在同一行，那么它们至少有N个不同的连接点COXETER2,P31。（3）画出N个点的布局，为3/7N的下限。（提示7N）25参考文献1MARIUSSCHMIDTFIVEDIMENSIONALCRYSTALLOGRAPHYMILWAUKEE20102YOSHIAKIKIMURASURFACEOFBACTERIORHODOPSINREVEALEDBYHIGHRESOLUTIONELECTRONCRYSTALLOGRAPHYBIOMOLECULARENGINEERINGRESEARCHINSTITUTE19973梅向明，黄敬之微分几何M高等教育出版社20074杨文茂，李全英空间解析几何M武汉大学出版社20065HSMCOXETER，LGREITZER著；王宗尧，王岳庭译几何重观M郑州河南教育出版社，1984
