1、1毕业论文开题报告数学与应用数学近五年高考数学立体几何试题的研究一、选题的背景与意义几何学是研究显示世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而2003年教育部推出的新课程标准中提出，立体几何学通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形以及性质，即学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。这与以往的通过点线面来认识几何有很大的不同，在教学的把握上也是很不相同，最直观的体现就是高考题中的出现形式多样，并且更加灵活，如何立足考纲，拿下立体几何是我们的研究方向。中学立体几何是引导学生走进几何殿堂，接受全面的
2、思维训练的关键，同时也是培养学生对几何的深厚兴趣，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。而这种能力的考察在高考卷中也是很明显的反映出来，无论是选择填空题或是一道计算题，都是非常的灵活与新意并存，而我们考生在这道题目的得分率也不是特别高，关键可能是对于一些实质的东西没有把握，那么如何更好的立足考纲，拿下立体几何题使考生不再失分则是十分有研究必要的。除了在学习中逐步形成各单元知识结构,认真剖析各章节典型例题,仔细分析练习中出现的各类错误这几个重要环节外,在课堂教学中对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视,并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题,
3、一定可以使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度二、研究的基本内容与拟解决的主要问题整理分析近五年来各地高考数学中关于立体几何的试题，从试题所占的比重，出题的方式，考查的内容，易错的常见类型,解题的策略等方面来分析归类试题。拟解决的问题主要是通过对近五年来的高考试题立体几何的研究来整体全面把握新课标对立体几何知识的要求，从而对立体几何的教学方法以及复习策略2提出一些可行性的建议。三、研究的方法与技术路线研究方法内容分析法，文献研究法主要是通过研究近五年来各地的高考数学中立体几何的试题来进行分析归类总结，并查阅大量的文献，对试题的出题方式，考查的主要内容，常见的易错类型，解题的策略等方面进行
4、研究，从而得出结论。三、研究的总体安排与进度12月1日前查找并筛选文献资料，确定理论支撑。12月17日前总结研究的一些相关资料，完成开题报告，文献综述以及外文翻译等。1月至2月间完成论文框架，细化论文结构。3月中旬完成论文内容。4月20日定稿，并上交给指导教师。5月1日指导教师和评阅教师完成评阅。5月11日20日，进行答辩工作。五、主要参考文献1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准（实验）M北京人民教育出版社，2003142鲁金全施建昌剖析立体几何六类易错点J数学金刊高中版3宋延忠从近几年高考试题谈立体几何的解题策略J教学通讯2009年6月。4唐学宁立体几何高考命题新特点及趋势J高中200
5、6年第十一期5章晓英问渠那得清如许，为有源头活水来从一道2009年高考试题的阅卷谈立体几何教学J中学数学教学参考,2010年第六期（上旬）6薛彬高中立体儿何改革的回顾与前瞻J中学数学教学参考上旬，2009，37董武也谈“回归教材”之立体几何J中学数学教学参考上旬，2009，48廖东明立足考纲，拿下立体几何J数学金刊高中版P30P3139邱宗如用向量方法证明立体几何中的位置关系J中国数学教育2009年第六期,P47P4810王位高从五年高考数学试题谈立体几何的复习J广东教育高中版2008年7期11叶友军空间图形的六种变化J高中数学教与学2005年12期12张振栋从2008年高考数学试题谈立体几何
6、备考策略J中学数学杂志高中版2008年6期13张森在立体几何教学中引导学生学好推理论证的一些体会M中学教学研究动态1984（3）10010514KEITHPLEDGERSOLIDGEOMETRYPROPOSITIONTENDENCYPROBLEMSOLVINGSTRATEGIESREVIEWINGSUGGESTION10目录摘要错误未定义书签。ABSTRACT错误未定义书签。目录101引言1111问题的提出1112研究目的和内容11121研究目的11122研究内容1113研究方法122高考立体几何命题简介123高考立体几何考题分类解析1431立体几何中的基本题15311空间线线、线面、面面的位
7、置关系问题15312点线到面的距离问题16313线与面相互间的夹角问题20314球与多面体的组合问题24315三视图问题2632立体几何中的综合题28321立体几何中的折叠问题28322立体几何中点的轨迹问题33323立体几何中参数求值以及最值问题34324立体几何中的概率问题38325立体几何中的探索性问题394复习建议43参考文献46致谢错误未定义书签。附录错误未定义书签。111引言11问题的提出立体几何是高考命题的重点内容，也是考查考生的空间观念、逻辑思维能力、空间想象能力及推理运算能力的有效载体随着数学新课程标准的实施和高考命题改革的不断深入，一些新型试题，形式多变的立体几何试题正跃然
8、于试卷中，因此，了解和分析高考题中立体几何题将有利于高中数学老师有的放矢地展开教学工作，尤其是应对高考复习。承载着考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力于一体的立体几何试题,近几年在考查题型、试题材料背景、重要知识点考法上具有较大的灵活性,因此分析立体几何的命题趋势将会对学生老师产生事半功倍的作用。而目前虽然关于高考数学中立体几何的期刊报纸比比皆是，探讨高考数学立体几何复习策略的文章也层出不穷，但都是比较分散零星的，如从2008年高考数学试题谈立体几何的备考策略、2009年高考数学试题分类解析立体几何等，虽然这其中也不乏对近几年高考题立体几何的探究但是地域性较强，如从五年广东高考数学试题谈立
9、体几何的复习等，这不便于教育热爱者对高考题中的立体几何试题进行全面、系统的了解。因此整合近几年来全国各地高考卷中的立体几何试题，并对其命题趋势进行分析，进而分类、归纳至关重要。对于即将踏入教师岗位的学习者来说，了解高考立体几何试题能引导他们正确选择立体几何部分的学习教学重点。对于在职教师来说，系统地了解高考立体几何试题，能更好地从整体出发，用更高、更远的视角审视、分析每一道立体几何题目，做到讲深、讲透，而不是纯粹的为讲题而讲题。同时，了解中高考立体几何试题有利于把握高考对立体几何的要求与根本，抓住试题的灵魂，有利于高中数学教师从一开始就高瞻远瞩，做好数学的教学工作。12研究目的和内容121研究
10、目的本文通过对近五年全国各地高考卷中的立体几何试题进行分类，归纳整理，从它在高考卷中所占的比重以及命题趋势特点等对其进行分析，以对即将踏入教师岗位的学习者、在职教师以及学生等提供深入认识和理解近几年高考数学题中立体几何题命题趋势以及重点。122研究内容12研究全国各地近五年来数学高考卷中立体几何试题，主要从立体几何的基本题以及一些新颖的综合考题的内容如立体几何的折叠探索型试题等方面进行分类归纳，从而进一步进行分析总结。13研究方法对近五年全国各地高考题中的立体几何试题以内容分析法进行分类，同时查阅相关资料与文献、分析归纳出立体几何试题的命题趋势以及相应的解题策略。2高考立体几何命题简介在新课程
11、实施的大背景下，立体几何高考命题是一道最富有特色的靓丽风景线。作为中学数学传统的主体内容之一，立体几何高考命题始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与距离的计算以及线线角、线面角、二面角的夹角以及三视图，球与多面体的组合作为考查的重点，对学生的空间想象能力、逻辑思维、演绎推理能力等传统的考查方式，仍保持相对的稳定。但考查的知识更加多样化，除了单一的对立体几何知识的考查，同时还融合其他的知识，如与解析几何，不等式，函数方程以及概率相结合来考查，知识网络更加综合，对学生的能力也要求更高。从近几年的高考试题来看,高考立体几何试题在高考中所占的比重比较稳定，以下我统计了近五年各
12、省份立体几何在高考卷中所占的比重，可以看出各省份近五年考查的分数都相对较稳定，如湖北近五年每年都是17分。总体而言立体几何近五年各省份考查的分值在20分左右，这可从下表的平均分值一栏得出。如下表统计近五年各个省份高考题中立体几何所占的分值立体几何分值2010年2009年2008年2007年2006年各省份近五年立体几何平均分值全国卷一2227222221228全国卷二272727222225浙江2428232323242广东191919192420江苏1424152219188上海1718161917174安徽1823212321212湖北17171717171713湖南17222217242
13、04重庆1717221818184四川212626262625天津211621212120福建221821222221辽宁2222212117206陕西1721212221204江西1821212221206山东1922171721192北京2019191924202各年全国高考卷中平均分值196215206207211但是近几年立体几何考题的形式多变,一般是12道客观题和一道解答题,解答题常与棱柱、棱锥相关在客观题上,除保留传统的四选一的选择题外,还尝试开发了多选填空、完形填空、构造填空等题型，至今已连续几年出现，这表明将立体几何填空题设计成新颖的题型已成为高考命题的趋势；在解答题上,一般设
14、计成几个小问题,其中第一小问考查线线、线面、面面的位置关系,其他几问则考查空间角、距离、面积、体积等度量关系此类考题往往以特殊几何体为依托,既可以用传统方法求解,又可以用向量法处理。近年来立体几何命题的总趋势是保持一定的稳定性,命题的重点会体现在以下几个方面1从内容上来看，主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多以选择题、填空题的形式出现熟练掌握空间线、面各种位置关系的判定与性质的适用范围是解决这类问题的关键；计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为
15、相交直线所成的角；求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，而其中又以点面距离为核心，因为其它的距离最终大多是转化成点面距离来求解的，因此要掌握解决此类问题的转化方法；球与多面体的组合问题，通常是指柱体椎体与球的组合问题，题目一般构思新颖，包括求球面距离，根据所给的几何体求球的体积或表面积以及球圆心角等，掌握这类问题应该首先记住相关公式以及特殊的位置关系如长方体的中心即为外接球的球心等，同时培养自己的空间想象能力至关重要。三视图问题。三视图是“新课标”的新增内容，对进一步发展同学们的空间观念，增强对数学价值的认识起到一定的作用通
16、常考查的是一些基本几何体的三视图或是几个几何体的组合，或是根据给出的三视图判断原几何图形，并计算相应的体积或是表面积，解决这类问题必须充分了解一些常见几何体的三14视图情况。简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用2从方法上来看，立体几何试题着重考查公理化方法，如解答题注重理论推导和计算相结合；考查转化的思想方法，也是最核心的思想方法，如经常要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决；考查模型化方法和整体考虑问题处理问题的方法以及构造法如有时把图形纳入不同的几何背景之中
17、，从而宏观上把握图形，巧妙地把问题解决；考查割补法、等积变换法，函数的思想以及变化运动的思想方法，极限方法等。3从能力上来看，立体几何着重考查学生空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求学生是“四会”会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线面，作出的图形直观而且虚实分明；会识图根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合，既能从整体上把握图形同时也能从局部把握图形；会用图能对图形或对其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术，从而考查学生的逻辑思维能力、运算能力和探索能力。4化归、转化思想贯穿立体几何命题的始终，它
18、是处理立体几何问题的基本数学思想。在复习时应注意培养学生的化归、转化意识，并且需要掌握常见的化归、转化方法,如位置关系的转化、空间距离的转化、等积转化、降维转化、割补转化以及符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等；在复习时还要建立知识框架和网络，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉，掌握整个知识的发生发展过程，从条件、结论和适用范围上去比较容易混淆的各个定理。3高考立体几何考题分类解析立体几何能够很好的考查学生的几何直观能力、空间想象能力以及逻辑推理能力，因此立体几何成为了近几年来高考题中的一道亮丽风景线，也成为高考命题改革的“突破口”和“实验田”。纵观近五年高考卷中的立体几何试题，
19、我们会发现立体几何试题大致可以分为两大类即基本题和综合题。其中基本题中主要包括立体几何的主要知识内容，包括空间线线、线面、面面的位置关系，点线到面的距离问题，线与面相互之间的夹角问题，球与多面体的组合问题，三视图问题。这些基本题几乎涵盖整个立体几何的主要知识考点。而立体几何中的综合题即为立体几何的一些创新题，考查形式新颖，内容综合，具有一定的难度与综合性，主要包括折叠问题，点的轨迹问题，参数求值以及最值问题，概率问题以及探索型问题，一15般属于压轴型题，考查的知识全面到位，需要有很强的空间想象能力以及创新能力。31立体几何中的基本题立体几何的近五年考查的内容相对较稳定，其基本题一般考查模式比较
20、简单，稳定，包括空间线线、线面、面面的位置关系，点线到面的距离问题，线与面相互之间的夹角问题，球与多面体的组合问题，三视图问题。这类问题一般属于中档或简单题，选择题，以及大题的一二小问，只要抓住其中的常规解题策略，一般都能比较容易拿下。311空间线线、线面、面面的位置关系问题空间线线、线面、面面的位置关系问题是高考中常见的一类题型，难度一般不大，多为选择、填空题一般的线线位置关系包括平行，相交，异面三种；线面位置关系包括直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种；面面的位置关系包括平行和相交，解决这类问题的关键是熟练掌握空间线、面各种位置关系的判定与性质定理。对于证明题，一般需要通过转化
21、来求，如求线线垂直一般转化成线面垂直来证，求面面关系则一般通过线面关系来求等。例12008年湖南卷第五题设有直线M，N和平面,下列四个命题中，正确的是A若,/,/NM则NM/B若/,/,NMNM，则/C若,M则MD若,MM则/M解析由于A中平行于同一平面的两条直线可以平行相交或异面，而B中未说明直线M，N相交，C中未说明M与两平面的交线垂直故均不正确，在D中，内至少有一条直线L，使LM,LM/又M，L，LM/故正确答案为D本题考查的是立体几何中线、面位置关系的判定解决这类问题一要把握空间线、面位置关系的性质定理、判定定理的适用条件，二要充分发挥空间想象能力例2（2009年江苏卷12题）设,为不
22、重合的两个平面，给出下列命题（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于（2）若外一条直线L与内的一条直线平行，则L和平行；（3）设和相交于直线L，若内有一条直线垂直于L，则和垂直；（4）直线L与垂直的充分必要条件是L与内的两条直线垂直。16上面命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）解析（1）是两个平面平行的判定定理；（2）是直线与平面平行的判定定理；（3）是两个平面垂直的判定定理之一；（4）因为直线与平面垂直的充要条件是若直线与平面内两条相交直线垂直，则此直线与此平面垂直，所以（4）错误。这是以填空题的形式给出的，我们在解这道题目的时候必须熟练地掌握要把握空间线、面位置
23、关系的性质定理、判定定理的适用条件，同时我们要加强文字语言和符号语言的相互转化能力，从而顺利求解。例题3（2006年浙江卷第17题）如图1，四棱锥ABCDP中，底面为直角梯形,BCAD/,90BAD,PA底面ABCD，且BCABADPA2P,NM,分别为PBPC,的中点（图1）求证DMPB求CD与平面ADMN所成的角解析（I）如图1，因为N是PB的中点，PBPA，所以PBAN因为AD平面PAB，所以ADPB，从而PB平面ADMN因为DM平面ADMN，所以PBDM（）略为了证线线垂直，通常把一条直线放在一个平面内，然后通过证线面垂直得到线线垂直，即为证线线垂直先证线面垂直再证线线垂直（利用线面垂
24、直的性质），这样通过转化思想即可证得所需要的。同时这道题也可以利用向量法，以A为坐标原点建立空间直角坐标系XYZA，写出点坐标，计算PBDM的点积也可得到。312点线到面的距离问题立体几何中的距离问题，也是高考中的命题热点，一般包括面面距离、线面距离和点面距离。而其中点面距离是空间距离的核心，因为许多距离最终都需要转化为点面距离来求解求点到平面距离的常见方法有两种一是直接利用传统方法找到或作出表示距离的垂线段再来构造三角形进行求解，而这种方法有时会比较困难，需要通过各种手段进行转化，具有一定的难度；二是向量法，即以向量为工具，把垂直转化为数量积运算，把找垂线段转化17为求坐标，从而使问题获解其
25、做法为设N为平面的法向量，A，B分别为平面内、外的点，则B点到平面的距离为D同时还可以采用体积等积法来进行转化求解等。例题1（2010年江苏卷第16题）如图1，在四棱锥ABCDP中，PD平面,ABCD,1BCDCPD,2AB,/DCAB90BCD1求证BCPC2求点A到平面PBC的距离。解（1）PD平面ABCD，PDBC，又BCCD，BC面PCD，BCPC。（2）设点A到平面PBC的距离为H，,ABCPPBCAVVPDSHSABCPBC3131容易求出2H这道题利用体积转换法来求点到平面的距离显得十分的简便，这种等积转化方法在求点到平面的距离时具有很重要的意义。线面距离一般可通过转化思想，将其
26、转换成点到面距离，从而求解。例题2（2010年重庆卷19题）如图2，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，PA18底面ABCD，6ABPA，点E是棱PB的中点。（1）求直线AD与平面PBC的距离；2若3AD，求二面角DECA的平面角的余弦值。解（1）ABPA,E是棱PB中点PBAEABCDPA面,PABC又ABBC且APAAB，BC面PAB，又AE面PAB，BCAE，AE面PBC在矩形ABCD中，/ADBCAD面PBC，所以直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离即为AE的长度，经计算得AE的长度为6（2）解略。当所求直线与平面平行时，此时求直线到平面的距离可以通过转化的思想，将其
27、转化为求直线上的任意一点到平面的距离，线面距离转化为点面距离，从而利用体积等积法或是向量法等进行求解。直线上点的选择则根据题目的需求而自行选择。例题3（2006年湖北卷18题）如图3，已知正三棱柱111CBAABC的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱1CC上的点，且NCCN12（）求二面角NAMB1的平面角的余弦值；（图3）MA1C1B1BCAN19（）求点1B到平面AMN的距离。解析（1）略（）如图4，过1B在面11BBCC内作直线MNHB1，H为垂足。又由（1）得AM平面11BBCC，所以HBAM1。于是HB1平面AMN，故HB1即为1B到平面AMN的距离。在HMBR
28、T1中，155225SIN111MHBMBHB。故点1B到平面AMN的距离为1。解法2（1）略。（图4）（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0,01B，0,21,0M,0,1,0C,32,1,0N,0,21,23A，所以，3,0,02AM，110,12MB,120,23MN。设,ZYXN为平面AMN的一个法向量，则由MNAMNN,得ZYXZYX3400322023故可取1,34,0N。所以1B到平面AMN的距离为135351NNMBD本题第二小题旨在考查学生点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，对于求点到面的距离可利用传统方法先作出此点到平面的垂线再构造直角三角形去求得距离
29、，或是建立直角坐标系，求出面AMN的法向量以及斜线MB1的向量再利用向量公式D也是很容易得到的例题4（2006年安徽卷第16题）多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的。如图205，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是3；4；5；6；7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）（图5）解析如图，1,ADB到平面的距离分别为1,2，4，则1,AD的中点到平面的距离为3，所以1D到平面的距离为6；1,AB的中点到平面的距离为25，所以1B到平面的距离为5；则BD,的中点到平面的距
30、离为23，所以C到平面的距离的距离为3；1,AC的中点到平面的距离为27，所以1C到平面的距离为7；而P为111,DBCC中的一点，所以选本题是一道多选填空题，位于填空题的最后一题，求点到平面的距离，具有一定的难度。本题没有复杂的计算但是有一定的技巧性，充分利用了中位线这一良好的载体，具有一定的创新性。313线与面相互间的夹角问题空间线与线、线与面、面与面的夹角问题能很好考查学生的分析推理能力和空间想象能力这类题常出现在高考数学试题中的选择题或解答题,解答时应首先明确一点就是立体几何中的问题永远要转化为平面几何问题解决（即立几化平几）。所以要求线面角与线线角，即要先作出其平面角，然后再求解。过
31、程如下线面角实质就是平面斜线与平面斜线在平面内的射影所成的角。要求角，就要先作角，常在斜线上任取一点（有特殊位置取特殊位置）向平面作垂线，则斜线与平面的交点（斜足）与垂线与平面的交点（垂足）的连线为射影然后，代入三角形中去解而线线角，若是异面直线所成角，就任意平移一条跟另一条相交，构成平面角后，再代入三角形中求解另一种方法是向量法，用向量法时应该注意211设斜线与平面所成的角为，则90,0,其中为平面的法向量，为斜线的方向向量。2设二面角的大小为，分别为两个面的法向量，则注锐二面角取“”，钝二面角取“”）例题1（2007年全国卷一第7题）如图6，正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21
32、，则异面直线BA1与1AD所成角的余弦值为（）A51B52C53D54（图6）此题旨在求异面直线所成角的大小，可以通过平移其中一条直线与另一条直线相交然后利用三角形中的关系进行求解，如本题中可以连接1CD，则BACD11/，从而在CAD1中利用余弦定理求出答案，选D；或者本题可利用向量法来求解。例题2（2008年海南宁夏卷第18题）如图7，已知点P在正方体DCBAABCD的对角线BD上，60PDA。（1）求DP与CC所成角的大小；（2）求DP与平面DDAA所成角的大小。MBACCPDDBA（图7）解如图8，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系XYZDD1C1B1DBCAA122则100D
33、A，001CC，连结BD，DB在平面DDBB中，延长DP交DB于H设10DHMMM，由已知60DHDA，由COSDADHDADHDADH，（图8）可得2221MM解得22M，所以22122DH，（）因为2200112COS212DHCC，所以45DHCC，即DP与CC所成的角为45（）平面AADD的一个法向量是010DC，因为2201101COS212DHDC，所以60DHDC，可得DP与平面DDAA所成的角为30此题旨在考查学生求线线角以及线面角，此题若利用传统的方法去做会比较麻烦，利用向量法则显得比较容易直观，选取如图所示的坐标系，算出则一切都能迎刃而解了。例题3（2010年湖北卷第18题
34、）如图9,四面体ABOC中，（图9）OBOCOAOC,120AOB，且1OCOBOA设P为AC的中点证明在AB上存在一点Q,使OAPQ，并计算AQAB的值；求二面角BACO的平面角的余弦值解析解法略如图10，在平面OAB内作OAON交AB于N，连接OPPN,ABCDPABCDXYZH23又OBOCOCOA,OC平面OAB。ON平面OAB,ONOC又由OAON得ON平面AOCOP是NP在平面AOC内的射影在等腰COART中，P为AC的中点，OPAC根据三垂线定理知NPACOPN为二面角BACO的平面角。在等腰COART中，1OCOA22OP在AONRT中，3330TANOAON在PONRT中，6
35、3022ONOPPN515COSPNPOOPN解法2如图11，取O为坐标原点，分别以OCOA,所在的直线为X轴,Z轴，建立空间直角坐标系XYZO（如图所示），则0,23,21,1,0,0,0,0,1BCA设平面ABC的法向量为,ZYXN24则由ABCANN,得1,3,1N又平面OAC的法向量是0,1,0E53,COSEN二面角BACO的平面角为锐角，则515COS本题第二小题是求二面角所成平面角的余弦值，有两种方法传统方法是作出这个平面角，这中间需要用到线面垂直等性质定理以及三垂线的性质定理，再构造三角形转化成平面问题来加以计算；另一种方法是向量法即选取恰当的坐标系然后分别求出这两个平面的法向
36、量再利用此公式来进行计算即可。314球与多面体的组合问题球与多面体的组合问题在近几年的高考试题中频频出现,它以题目新颖、构思巧妙等特点逐渐成为高考对空间几何体考查的一个亮点此类题目多以球体与多面体的组合为载体,考查几何体中距离、角、表面积、体积的计算以及空间想象力和思维能力,常以填空选择的形式出现。理清图形之间的关系是求解这类问题的关键例题1（2009年全国卷1第15题）直三棱柱111CBAABC的各顶点都在同一球面上，若21AAACAB,120BAC，则此球的表面积等于_解在ABC中2ACAB,120BAC,可得32BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径2R设此圆圆心为O，球心为O，由对称性
37、可知1OO，在OBORT中，122RR，易得球半径5R，故此球的表面积为2042RS此题是一道小综合题，是三棱柱与球相结合，考察距离的求算，是立体几何与三角形相结合，有一定难度。此类题目在解题的过程中一定要找到关键，各个突破。例题2（2008年湖南卷第9题）长方体1111DCBAABCD的8个顶点在同一球面上，且2AB,3AD,11AA,则顶点A、B间的球面距离是（C）A22B2C22D42解析由题可知球心O是此长方体的中心，易得球的半径为2；在AOB中，25ABCD2OBOA,2AB,故2AOB；由球面上两点间的球面距离的定义得，A,B两点的球面距离为2222。本题是立体几何中的组合体问题，
38、考查了学生对空间组合体的空间认识，同时考查了学生对球面上两点间的球面距离的理解与计算，因此解这类题学生不仅需要很强的空间想象能力同时还有很好的计算能力。例题3（2008年浙江卷第14题）如图12，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，BCAB，3BCABDA，则球O点体积等于29解析本题考查组合图形中的点线面的关系，关键是找出球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半为23，29343RV图12（图13）例题3（2006年浙江卷第9题）如图13，
39、O是半径为L的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是（）A4B3C2D42解析由已知FE,是弧中点得4FOCEOB，所以由三余弦定理可得AOFAOEEOFCOSCOSCOS即2145COS45COSCOSEOF，则可得263EOF，因此FE,在球面上的球面距离是3。本题考查的是弧长公式以及球面距离，重点在于求出FE,在球面上的夹角，运用了三余弦定理，具有一定的难度。例题4（2008年辽宁卷第14题）在体积为34的球的表面上有A、B、C三点，1AB，2BC，A、C两点的球而距离为33，则球心到平面ABC的距离为_
40、（图14）解析如图14，由34343RV球可得，3ROCOA，又由AC两点的球面距离为AOC333可得3AOC，3ACOCOA，又1AB，2BC可得BCAB，即得平面ABC所在的圆的圆心1O为AC中点,23231OAOO例题5（2008年福建卷第15题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_解析本题的三棱锥是一个特殊的三棱锥，三条侧棱相等且两两垂直，所以它实际上就是一个正方体的一个角，可将其补成棱长为3的正方体，则三棱锥的外接球就是这个正方体的外接球，其直径就是正方体的对角线的长，于是可求出其外接球的表面积是9本题是重在考查学生的空间想象能力和创新能力，此题中的三棱
41、锥是一个特殊的三棱锥，因此我们可以通过构造补形法来将图形丰满完整起来，从而能够帮助我们轻松求解。315三视图问题几何体的投影和视图是高中数学新课程新增的教学内容，它是描述现实生活中的一些简单物体结构的手段，也是在平面上表示空间图形的重要方法。由于三视图是空间图形平面化描述的有效载体，因此能有效考查学生的空间想象能力和几何直观能力。常见的考题主要是27会根据所给的直观图和三视图能判断出几何体的组成；会根据直观图和三视图求出几何体的有关数据或根据有关数据求出三视图中的某些数据。三视图的内容从2009年开始则大面积的考到，而且大部分属于中等题目，在试卷中一般位于选择的第6,7题或是填空的2，3题，因
42、此掌握这部分知识能更好的拿下高考中的立体几何试题。例题1（2007年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（D）（A）2,1（B）3,1（C）4,1（D）4,2解析从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案。这道题属于容易题，旨在考查学生是否掌握一些常见立体几何图形的三视图，只要掌握则就很能轻易拿下。例题2（2010年天津卷第12题）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为解析由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正四棱柱的体积为2，正四棱锥的体积为341431，所以该几何体
43、的体积310342V本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体积的计算，属于容易题。解这类题目，首先我们要明确知道一些常见几何体的三视图如椎体，柱体，球等，并能快速根据所给出的三视图判断出所给的立体几何图形，然后利用所给的三视图的数据得到原几何图形的一些数据一般考查时都是考查几个图形的组合体，其实方法一样。28例题32010年辽宁卷第14题如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为22222223本题考查了三视图视角下多面体棱长的
44、最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。32立体几何中的综合题立体几何中除了常见的基本题外，还有很多的综合题，所谓的综合题即指题目不是单一来考查立体几何的有关知识，而是通过各种创新性的题型来综合考察，对于学生的能力要求更高，常见的综合题包括折叠问题，点的轨迹问题，最值问题，概率问题以及探索性问题，形式更加新颖，内容更加综合，结合数学中的解析几何不等式概率等内容综合考查，需要学生有很好的数学素养与能力。321立体几何中的折叠问题把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题。平面图形经过折叠后变成立体图形，这时原图形中的
45、一部分仍在同一半平面内，组成这部分图形的元素（点、线）保持着原来的数量及位置关系，而折叠问题解决的关键是弄清在折叠前和折叠后的变与不变的几何特征和数量关系，抓住其中的不变量则是解题的基础。近年的高考题中，把平面图形折叠成立体图形，是比较时兴的命题形式。折叠问题多次在选择题或填空题，甚至在解答题中都出现过。因为折叠问题既能反映空间想象能力，又能反映考生的计算能力，所以图形的直观与否对解题有着重要的引导作用，而作图既是空间想象能力的直接体现，又是提高空间想象能力的重要素材，所以对于这类问题的解答，作图是关键。其次我们必须十分清楚在折叠过程中变化的量和不变的量，一般来说，在折痕同侧的点和线段，折叠前
46、后其相对位置不变并且长度也不变，而折痕两侧的点和线段，折叠前后其相对位置和长度都会发生变化，并且除了线段的长度是不变量之外，某些线段间的平行、垂直关系等也可能是不变关系，这些不变量（关系）在解题中往往起着关键的作用。例题1（2010年上海卷第12题）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿ODOC,折叠，使OBOA,重合，则以29ODCBA,为顶点的四面体的体积是328解析翻折后的图形可以看成上图右所示，即看成是底面边长是4，侧棱为22的正三棱锥，则经过计算可得高为362，所以该四面体的体积为32836223162131V。图形的翻折最主要是抓住
47、原图形中不变的量，如边长，角度，以及点的重合等，然后迁移到到翻折后的图形上来进行求解。例题2（2006年山东卷第12题如图，在等腰梯形ABCD中,22DCAB，60DAB，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ECED,向上折起，使BA,重合于点P，则三棱锥DCEP的外接球的体积为C2734A26B86C266D解析由题中所给出的条件我们可以得到1BEBCDCCEDEAD，所以折叠以后形成的三棱锥DCEP是棱长为1的正三棱锥。，构造正方体，如图所示，可得302232R，46R，8646343V本题和上一例题类似，我们要抓住图形折叠以前的不变性质进行求解。例题3（2008年重庆卷第19题）如图15，在ABC中，90B，215AC，ED,两点分别在ACAB,上使2ECAEDBAD,3DE，现将ABC沿DE折成直二面角。（图15）求（）异面直线AD与BC的距离；（）二面角BECA的大小（用反三角函数表示）。解析（）在图16中，因ECAEDBAD，故BCBE/。又因为90B，从而DEAD。在图4中，因BDEA是直二面角，DEAD,故AD底面DBCE，从31（图16）（图17）而DBAD而BCDB
