1、立体几何专题复习一、立体几何初步（一） 、在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.必备知识 正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的
2、射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形 三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽， 正侧一样高(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样 几何体的切接问题(1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的
3、内切球找准切点位置，化归 为平面几何问题必备方法1几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；多面体及旋转体的侧 面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段2求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素
4、彼此离散时，我们可采用“割” 、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.（二） 、点、直线、平面之间的位置首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断其次要熟
5、悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答高考试 题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述必备知识 平行关系的转化两 平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图 解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(2
6、)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(4)平行于同一条直线的两条直线平行(5)平行于同一个平面的两个平面平行(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行 垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化必备方法1证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑2证明
7、面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直3使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题4正向思维受阻时，可考虑使用反证法5计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨本专题在高考考查内容上，占据比较固定的位置，一般会有一道小题（选择题或者填空题）与一道解答题，小题一般难度不会太大，属于中档题，考试只要了解基本知识，是没有问题的，解答题也是属于中档题，在有限的时间，希望同学们理解好基础知识。选择与填空题主要考查体积，表面积的计算，或者平行，垂直定理的判断。 解答题主要是考察平行于垂直定
8、理的应用或是空间几何体体积的计算。 二、空间向量与立体几何对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把 立体几何问题转化为空间向量的运算问题空间向量的引入为空间立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，首先要从定义入手，抓住实质，准确记忆向量的计算公式，注意向量与线面关系、线面角、面面角的准确转化；其次要从向量的基本运算入手，养成良好的运算习惯，确保运算的准确性.必备知识 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l， m 的方向向量分别为 a(
9、 a1， b1， c1)， b( a2， b2， c2)平面 、 的法向量分别为 ( a3， b3， c3)， v( a4， b4， c4)(以下相同)(1)线面平行 l a a 0 a1a3 b1b3 c1c30.(2)线面垂直 l a a k a1 ka3， b1 kb3， c1 kc3.(3)面面平行 v va3 a 4， b3 b 4， c3 c 4.(4)面面垂直 v0 a3a4 b3b4 c3c40. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线 a， b 的方向向量为 a， b，其夹角为 ，则cos |cos | (其中 为异面直线 a， b 所成的角)|ab|a|b|(2)
10、直线和平面所成角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .|en|e|n|(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示， m， n即为所求二面角的平面角对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角 l ，平面 的法向量为 n1，平面 的法向量为 n2， n1， n2 ，则二面有l 的大小为 或 . 空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离点 P 到平面 的距离
11、， d (其中 n 为 的法向量， M 为 内任一点)|PM n|n|必备方法1空间角的范围(1)异面直线所成的角( )：0 ； 2(2)直线与平面所成的角( )：0 ； 2(3)二面角( )：0 .2用向量法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题3空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦；(2)求二面角时，两法向量的夹角有可能
12、是二面角的补角，要注意从图中分析.考点一:空间几何体的三视图与直观图1、(2012 年高考湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是2、(2012 年高考陕西卷)将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为 （ ）【答案】B.【解析】根据.空间几何体的三视图的概念易知左视图 是实线 是虚线，故选 B.1ADCB1考点二:空间几何体的表面积、体积4、(2012 年高考新课标卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 ，1粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.6 B.9 C.12 来源:学。科。网D.18【答
13、案】B【解析】选 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 ，所以几何体的B 3体积为 ,选 B.936213V5(2012 年高考浙江卷)已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【答案】C6.【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD，AB=1，BC= 。将沿矩形的对角线 BD2所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“
14、AC 与 BD”， “AB 与 CD”， “AD 与 BC”均不垂直【答案】C【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项 C 是正确的7.【2012 高考真题新课标理 11】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上，SABCO是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ AB1O2）()26()B36()3()D【答案】A【解析】 的外接圆的半径 ，点 到面 的距离 ,CrOABC263dRr为球 的直径 点 到面 的距离为SCOSABC263d此棱锥的体积为 11234ABCV另： 排除 ,选 A.6ABCSRD8.【2012 高考真题
15、四川理 6】下列命题正确的是（ ）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】A. 两直线可能平行，相交，异面故 A 不正确；B.两平面平行或相交；C.正确；D. 这两个平面平行或相交.9.【2012 高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 和 ，且长2a为 的棱与长为 的棱异面，则 的取值范围是a2a（A） （B） （C ） （D）(0,)(0,3)(,2)(
16、,3)【答案】A 【解析】因为 则21)2(1E， ，选 A，BFBFA10.【 2012 高考真题辽宁理 16】已知正三棱锥ABC，点 P，A，B， C 都在半径为 的求3面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 _。【答案】 3【解析】因为在正三棱锥 ABC 中，PA，PB，PC 两两互P相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分， （如图所示） ，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 ABC 在面 ABC 上的P高。已知球的半径为 ，所以正方体的棱长为 2，可求得
17、正三棱锥 ABC 在面 ABC 上的3高为 ，所以球心到截面 ABC 的距离为23 3【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥补成正方体11.【 2012 高考真题上海理 14】如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，ADBCAD，若 ，且 ，其中 、 为常数，则四面体2BCcADa2c的体积的最大值是 。【答案】 。132a【解析】过点 A 做 AEBC，垂足为 E，连接 DE，由 ADBC 可知，BC 平面 ADE，所以 = ，BCSVADECDB
18、3ADES32当 AB=BD=AC=DC=a 时，四面体 ABCD 的体积最大。过 E 做 EFDA，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以ADE 为等腰三角形，所以点 E 为 AD 的中点，又 ，EF= ，122A 122caF = = ，ADES1ca四面体 ABCD 体积的最大值 = 。maxVADES32c12、 (2012山东)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB CD， DAB60， FC平面 ABCD， AE BD， CB CD CF.(1)求证： BD平面 AED；(2)求二面角 F BD C 的余弦值(1)证明 因为四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD
19、， DAB60，所以 ADC BCD120.又 CB CD，所以 CDB30，因此 ADB90， AD BD，又 AE BD，且 AE AD A，AE， AD平面 AED，所以 BD平面 AED.(2)解 连接 AC，由(1)知 AD BD，所以 AC BC.又 FC平面 ABCD，因此 CA， CB， CF两两垂直，以 C 为坐标原点，分别以 CA， CB， CF所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 CB1，则 C(0,0,0)， B(0,1,0)，D ， F(0,0,1)，(32， 12， 0)因此 ， (0，1,1)BD (32， 32， 0)
20、BF 设平面 BDF 的一个法向量为 m( x， y， z)，则 m 0， m 0，所以 x y z，BD BF 3 3取 z1，则 m( ，1,1)3由于 (0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量，CF 则 cos m， ，CF mCF |m|CF | 15 55所 以二面角 FBDC 的余弦值为 .5513、(2012全国理)如图，四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 为菱形， PA底面 ABCD， AC2 ， PA2， E 是 PC 上的一点， PE2 EC.2(1)证明： PC平面 BED；(2)设二面角 APBC 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小审题视点 (1)由
21、可得 FCE PCA，则 FEC90，易得 PC EF、 PC BD. PCFC ACEC(2)作 AG PB 于 G，由二面角 APBC 为 90，易得底面 ABCD 为正方形，可得 AD面PBC，则点 D 到平面 PCB 的距离 d AG，找出线面角求解即可也可利用法向量求解，思路更简单，但计算量比较大法一 (1)证明 因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD AC，又PA底面 ABCD，所以 PC BD.设 AC BD F，连接 EF.因为AC2 ， PA2， PE2 EC，故 PC 2 ， EC ， FC ，从而 ， .2 3233 2 PCFC 6 ACEC 6因为 ， FCE PCA
22、，所以 FCE PCA， FEC PAC90，由此知PCFC ACECPC EF.PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD， EF 都垂直，所以 PC平面 BED.(2)解 在平面 PAB 内过点 A 作 AG PB， G 为垂足因为二面角 APBC 为 90，所以平面 PAB平面 PBC.又平面 PAB平面 PBC PB，故 AG平面 PBC， AG BC.BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA， AG 都垂直，故 BC平面 PAB，于是 BC AB，所以底面 ABCD 为正方形， AD2， PD 2 .PA2 AD2 2设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 AD BC，且 AD
23、平面 PBC， BC平面 PBC，故 AD平面 PBC， A、 D 两点到平面PBC 的距离相等，即 d AG .2设 PD 与平面 PBC 所成的角为 ，则 sin .dPD 12所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30.法二 (1)证明 以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.C(2 ，0,0)，设 D( ， b,0)，其中 b0，则 P(0,0,2)，2 2E ，0， B( ， b,0)423 23 2于是 (2 ，0，2)，PC 2 ， b，BE 23 23 ， b，DE 23 23从而 0， 0，PC BE PC DE 故 PC BE， PC DE.又 BE DE E，所以 PC平面 BDE.(2)解 (0,0,2)， ( ， b,0)AP AB 2设 m( x， y， z)为平面 PAB 的法向量，则m 0， m 0，即 2z0 且 x by0，AP AB 2
