1、1抢渡长江模型摘要对于抢渡长江模型的建立问题，实际上就是一个怎样选择最佳路径的问题。对于此问题，本文从所给的实际问题，加上我们根据问题做出的合理假设，以及各个选手成功的特有条件。根据微分学以及一些物理知识，最优化条件，针对各个问题而建立的模型很好的解决了个问题。通过 Mathemtica 程序对模型分别进行了求解，得出了游泳者的最佳游泳速度大小与方向。在水流 1.89m/s时，根据问题 1 的模型而解方程组算出了成绩为 14 分 8 秒的选手的游泳速度的大小为 1.54155m/s,角度为 117.4559 。在人的速度为恒速 1.5s 时，其时间为910.465 秒，角度为 121.8 。对
2、于第二问，游泳者的游泳方向为垂直岸边，在这种特殊条件下，我们根据所建立问题 2 的模型解方程得出了要到达的临界条件为游泳者速度 2.1924m/s。根据此模型通过对距离和度的比较，很好的解释了1934 年与 2002 年到达终点比率的差别问题，也计算出了能够成功到达终点的条件 。第三问根据拉格朗日最值定理求驻点，并利用 MathemticasmV/1924.画出了游泳者大致的游泳途径图形而得到最优路线为折线，并估计其成绩为904.021 秒。问题四，充分利用变分法结合拉格朗日乘子法及泛函知识解决极值、以及化条件极值为无条件极值问题，引用了哈密尔顿函数，利用 Mathematica假定当游泳者的
3、速度为 1.5 米/秒时计算出了时间 T=892.478 秒，并绘制出了游泳者最佳路线图。最后在模型推广中，对游泳者到达终点的条件进行了改进，提高了成功到达者的比率。我们认为，本文所建立模型很好的解决了抢渡长江的问题。本文的最大特色在于通过建立了一模型，提高了成功者到达的比率，找到了到达终点的选手的条件。还充分利用了变份法，找到了一种能解决普遍问题的方法，推广了其运用。2一问题的提出1934 年 9 月 9 日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约 5000 米。有 44 人参加横渡，40 人达到终点。2002
4、 年 5 月 1 日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约 1160 米。据报载，当日的平均水温 16.8, 江水的平均流速为 1.89 米/秒。参赛的国内外选手共 186 人（其中专业人员将近一半） ，仅 34 人到达终点，第一名的成绩为 14 分 8 秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000 米，见示意图。我们需要解决的问题就是要通过数学建模来分析上述情况, 来解决以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游
5、泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002 年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在 1.5 米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他( 她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934 年 和 2002 年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ：米米秒 ，米 米米秒 ，米 米米秒 ，米 160
6、960/47.122/.)( yyv 1160m 1000m长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门3游泳者的速度大小（1.5 米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 1609)160(28.22.)( yyv， ，或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 所建立的模型还可能有什么其他的应用？ 二问题假设1在竞渡区域两岸为平行直线。2除水流之外，不受其它因素的影响。3竞渡过程中游泳者全程的速度大小恒定。4将游泳者看着一个质点。5设竞渡区内无阻碍游者前进的阻
7、碍物。 6水流速度的方向一定。三符号说明- 人游泳的速度在平行水流方向的分速度xV- 人游泳的速度在垂直水流方向的分速度y- 人游泳的速度和水流的合速度h- 水流速度 )(yVt - 时间- 游泳者的游泳方向与平行水流方向的夹角)(x- - 游泳者游泳速度 t- 合速度 与平行水流方向的夹角 hV- OA 连线与平行水流方向的夹角4T - 起点到终点所用的总时间 S - - 游泳者在时间 t 内的总路程四问题分析首先，以武昌汉阳门码头为原点 O，河正岸为 x 轴，河下游方向为 x 轴正向，垂直 x 轴方向为 y 轴，指向河对岸方向为 y 轴正向。终点汉阳南岸咀为点 A，其坐标为（1000，11
8、60） 。如图 1：图 1 建立坐标系1对问题 1 中都在假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变且竞渡区域每点的流速的大小和方向都恒定的条件之下。 那么，可以根据物理学知识 可以得出：1游泳者的速度和水流速度的合速度大小和方向为一定值，即是说游泳者的运动路线是一直线，由此可以确定出 2002 年第一名的游泳路线。在计算过程中，我们把游泳者的速度和水流速度分别分解到 x 轴、y 轴上分速度分别为 、 。分解如图 2：xVy图 2 游泳者速度的分解由图 2 及相关物理知识可得：5= xVcos)(tysintyV得出合速度、水流速度从而可以求得游泳者的游泳速度及其方向。知其速度与选择方向后也可
9、以得出游泳者成绩。有了水流速度和游泳者的速度的大小和方向三者之间的函数关系式，就是知其二可求其一。解决问题。2对于问题 2所求问题就是要求出能够到达终点的条件，我们规定游泳者先到达对岸的终点 A 的上游的某一点，再从该点沿岸游到 A 点。这就需要其运动轨迹在 OA连线的上游，也就合速度 与 x 轴的夹角 要大于等于 。hV游泳者的速度和水流速度的合成 如图 3： 图 3 分速度的合成根据正弦定理可得： )sin(iyVt3对于问题 3我们在解题时，以时间最短为最优，因水流速度是分段常数函数，故我们把渡长江根据水流速度的变化划分为三段，求其每段所用时间之和的最小值，就可得出全程最短时间。4对于问
10、题 4设游泳者的游泳方向与 x 轴的夹角 是时间 t 的连续变化函数。因假设 3游泳者的速度恒定，而水流速度是一连续变化的，要使其能够顺利到达终点A，那么游泳者在游泳过程中就需要以改变方向来改变合速度，即改变游泳方向与 x 轴的夹角 ，而使其按照理想的路线前进，准确到达终点。)(设时间是角度的连续函数，我们的目的是求出所用时间最短。不妨把时间转化为 x 轴和 y 轴上的关系式，用拉格朗日乘子法化条件极值问题，引入乘子函数 构造泛函，写出哈密尔顿函数，将所求问题转化为定积分问题，那么)(t问题就只要求出 之间的表达式即可，我们可以利用极值条件、微分知)(x识和 Mathematic 程序编写出相
11、关的程序，计算出所用最短时间，从而可以得出游泳者的最佳路线途径和角度 的变化图。但由于本问题中无法求出具体的)(值，因而我们采用了数值解法，并利用泛函，得出了近似值。 6五模型建立由上面的分析可知，问题 1，2 中游泳者的速度的方向是一定的，而在问题3，4 中游泳者的速度的方向是要变化的，而问题 3 的流速是常数分段函数，每个问题所给出的条件是不一样的，因此，需要给每个问题分别建立模型：1对问题 1 是求游泳者的速度的大小和方向。其模型为： )sin(i/89.1)(046yVsmxyVdtytx2对问题 2 的模型： )sin(iyVt3，对问题 3 进行分段求其时间，再求其和，时间最短，成
12、绩最优，其最优模型为：Min 321tts.t smVVtVtttttt/5.1 10)47.cos()1.2cos()47.co(20in6si 3333211 4对问题 4 的模型：由于水流速度是连续变化的函数，故在 x 轴上，y 轴上的分速度是连续变化的，合速度也是连续变化的，并由物理知识 ，由此可以根据22yxh分析连续函数所满足的微分条件得出 x，y 及路程 s 对时间 t 的微分方程如下：7-)3(2)(sin)1(co2 dtVxdtyyxyxhtt由(1)/(2)得出 y 对 x 的导数： )(cos)(inxyt用微分知识可以得到路程 s 对 x 的微分： )4(12d再由(
13、3)、(4)可以得到： xVytx2由此得出 上用的总时间 T 的函数关系式：21,x212xydx于是，得出模型： 212xyxVMinTs.t 160)()(cos)(inyyt六模型求解1问题 1 求解：首先求出以知角 ，由题可知：，16.0tan解得： 234.98根据问题 1 的模型和已知条件可以得出微分方程组 10)84(6/9.cos)(inxymVydtxtt得出： )cos9.(inttV解方程组得： )5(45.17/ mVt )6(.62/ st显然，第（6）组解应该舍去，取第（5）组解。由此得出游泳者的速度为1.54155m/s，方向为游泳者与水平方向成 117.455
14、9 。行走路线如图 4：图 4 游泳者的行走路线在问题 1 中第二问中需要给游泳者选择游泳路线，游泳者速度保持为1.5m/s，而方向也保持不变，是沿着直线方向前进的，问题转化为求时间 t 和夹角 ，将已知条件带入模型可得出方程组：910)cos5.891(6int解得：.24601st 68.3942st显然，游泳者要选择时间短的，故第二组解舍去解得此模型的解游泳者的最佳成绩为 910.46 秒。而方向为游泳者的游泳方向与水平方向成 121.8 。2问题 2 求解：由于水流速度一定，方向水平，而游泳者运动的方向是与岸边垂直的，则只要游泳者速度一定那合速度的方向大小也就一定了，由于要考虑的是选手
15、在垂直方向时能否到达终点。要使其到达终点只要选手到达那终点的上游则一定可以到达终点，所以我们就只需要先考虑临界情况时选手的临界速度，临界条件就是当合速度的方向为起始点指向终点，因此解模型方程： )sin(iyVt其中 m/89.1),90,2364.求得： ssmVt 24./18根据实际情况，人在水中的运动能力是有一定的限度的速度一般情况下是不能达到 2.1924m/s 的，所以对于此游泳者关于垂直的条件下在一般情况下是不能达到终点的。关于 1934 年和 2002 年选手到达终点百分比的差别，我们根据我们建立的方程 )sin(iyVt将方程变形为以 为目标的表达式tV)sin(yVt因为
16、V(y)为已知， 化简得：90ta)(yt则 就只与 有关tVtan由于 1934 年全程为 5000 米，河宽 1160 米，则 236784.01506tan210236784.0tan/91)(tsmyVt解得 st /5.解得的 1934 年情况下的临界速度为 0.447522m/s 比较小，而 2002 年时的临界速度为 2.1924m/s。前者远小于后者，因此在 1934 年时选手的选择余地较大，其范围 smVt /4752.0对于选手游泳是否能够到达目的地主要影响因素有速度与运动方向，其运动的选择范围我们已明确指出，方向，因 得到236784.0tan3214.93214.所以关
17、于角度的选择余地也较 2002 年的大所以百分比才有这样大的差距。对于要游泳者能够到达终点的条件，前面已经将选手的临界条件已经求出拒前面分析只要选手的速度大于或等于临界值就可以即 2002 年选手的选择范围为 smVt/1924.3问题 3 求解：由于水流速度是一常数分段函数，因此，我们将渡江方案分成三段再逐段完成，在每一段中水流速度为一常数，就满足问题 1 模型，即是说在一段内是游泳者的速度大小和方向不变，运动轨迹是一直线。又所列出的模型是求时间最短，即为多元函数的最值问题，再根据拉格朗日定理可以得出 与渡江时321,间 t 的函数关系式： )47.1cos5.(sin.120).cos5.1(sin.760 )47.cos5.(sin20(i76i), 3322 1132 f计算时间 t 的最小值的算法：STEP1：对函数 的每一个变量求偏导数；),(321fSTEP2：求出函数 的驻点;STEP3：将 带入计算出最短时间 t。321,经编程计算得到每一段游泳速度与 x 轴正向的夹角分别为:
