1、第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题2014 年 9 月 20 日说明：所有答案 （包括填空）必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。一、（12 分）振动的液滴2013 年 6 月 20 日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次太空授课. 授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应. 视频中可发现漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中（平时在地球表面附近，重力的存在会导致液滴下降太快，以至于很难观察到液滴的这种“脉动”现象）. 假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化（振动），如图所示.（1）该液滴处于平衡状态
2、时的形状是_；（2）决定该液滴振动频率 f 的主要物理量是_；（3）按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.（提示：例如，若认为 a,b,c 是决定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量，可将液滴振动频率 f 与 a,b,c 的关系式表示为 fa b c ，其中指数 、 是相应的待定常数.）二、(16 分) 测量理想气体的摩尔热容比 一种测量理想气体的摩尔热容比 =Cp/CV 的方法（Clement-Desormes 方法）如图所示：大瓶 G 内装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关 H，另接出一根U 形管作为压强计 M瓶内外的压强差通过 U 形管右、左两管液面的高
3、度差来确定. 初始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高，记录此时 U 形管液面的高度差 hi然后打开 H，放出少量气体，当瓶内外压强相等时，即刻关闭 H. 等待瓶内外温度又相等时，记录此时 U 形管液面的高度差 hf试由这两次记录的实验数据 hi和 hf，导出瓶内气体的摩尔热容比 的表达式（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换；且 U 形管很细，可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化）三、（20 分）如图所示，一质量为 m、底边 AB 长为 b、等腰边长为 a、质量均匀分布的等腰三角形平板，可绕过光滑铰链支点 A 和 B 的水平轴 x 自由转动；图中原点
4、 O 位于 AB 的中点，y 轴垂直于板面斜向上，z 轴在板面上从原点 O 指向三角形顶点 C. 今在平板上任一给定点 M0(x0,0,z0)加一垂直于板面的拉力 Q.（1）若平衡时平板与竖直方向成的角度为 ，求拉力 Q 以及铰链支点对三角形板的作用力 NA和 NB；（2）若在三角形平板上缓慢改变拉力 Q 的作用点 M 的位置，使平衡时平板与竖直方向成的角度仍保持为 ，则改变的作用点 M 形成的轨迹满足什么条件时，可使铰链支点 A 或 B 对板作用力的垂直平板的分量在 M 变动中保持不变？四、（24 分）如图所示，半径为 R、质量为 m0的光滑均匀圆环，套在光滑竖直细轴 OO上，可沿 OO轴滑
5、动或绕 OO轴旋转圆环上串着两个质量均为 m 的小球. 开始时让圆环以某一角速度绕 OO轴转动，两小球自圆环顶端同时从静止开始释放（1）设开始时圆环绕 OO轴转动的角速度为 0，在两小球从环顶下滑过程中，应满足什么条件，圆环才有可能沿 OO轴上滑？（2）若小球下滑至 =30 0（ 是过小球的圆环半径与 OO轴的夹角）时，圆环就开始沿 OO轴上滑，求开始时圆环绕 OO?轴转动的角速度 0、在 =30 0时圆环绕 OO轴转动的角速度 和小球相对于圆环滑动的速率 v.五、（20 分）透镜成像如图所示，现有一圆盘状发光体，其半径为 5cm，放置在一焦距为 10cm、半径为 15cm 的凸透镜前，圆盘与
6、凸透镜的距离为 20cm，透镜后放置一半径大小可调的圆形光阑和一个接收圆盘像的光屏图中所有光学元件相对于光轴对称放置请在几何光学近轴范围内考虑下列问题，并忽略像差和衍射效应（1）未放置圆形光阑时, 给出圆盘像的位置、大小、形状；（2）若将圆形光阑放置于凸透镜后方 6cm 处. 当圆形光阑的半径逐渐减小时，圆盘的像会有什么变化？是否存在某一光阑半径 ra，会使得此时圆盘像的半径变为（1）中圆盘像的半径的一半？若存在，请给出 ra的数值.（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方 18cm 处，回答（2）中的问题；（4）圆形光阑放置在哪些位置时，圆盘像的大小将与圆形光阑的半径有关？（5）若将图中的圆形光阑移
7、至凸透镜前方 6cm 处，回答（2）中的问题.六、（22 分）如图所示，一电容器由固定在共同导电底座上的 N+1 片对顶双扇形薄金属板和固定在可旋转的导电对称轴上的 N 片对顶双扇形薄金属板组成，所有顶点共轴，轴线与所有板面垂直，两组板面各自在垂直于轴线的平面上的投影重合，板面扇形半径均为 R，圆心角均为 0（ 2 的能级向 k=2 的能级跃迁而产生的光谱（已知氢原子的基态能量 E0=13.60 eV，真空中光速 c=2.998108m/s，普朗克常量 h=6.62610-34J/s，电子电荷量 e=1.60210-19 C）（1）该星系发出的光谱线对应于实验室中测出的氢原子的哪两条谱线？它们
8、在实验室中的波长分别是多少？（2）求该星系发出的光谱线的红移量 z 和该星系远离我们的速度大小 ；（3）求该星系与我们的距离 D第 31 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2014 年 9 月 20 日一、 （12分）（1）球形 （2）液滴的半径 、密度 和表面张力系数 （或液滴的质量 和表面张力系数 ）rm（3）解法一 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 fkr式中，比例系数 是一个待定常数. 任一物理量 可写成在某一单位制中的单位 和相应的数值 的乘积 . 按照这一kaaaa约定，式在同一单位制中可写成 f由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 fr
9、力学的基本物理量有三个：质量 、长度 和时间 ，按照前述约定，在该单位制中有mlt， ， l于是 ft1 rl ml3 mt2将式代入式得 即 ()()tll13lmt132由于在力学中 、 和 三者之间的相互独立性，有l， ， 001解为 3,22将式代入式得 fkr3解法二假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 f式中，比例系数 是一个待定常数. 任一物理量 可写成在某一单位制中的单位 和相应的数值 的乘积 . 在同一单kaaaa位制中，式两边的物理量的单位的乘积必须相等 fr力学的基本物理量有三个：质量 、长度 和时间 ，对应的国际单位分别为千克（kg） 、米（m） 、秒（s ）. 在国
10、际单位制MLT中，振动频率 的单位 为 ，半径 的单位 为 ，密度 的单位 为 ，表面张力系数 的单位 为ffs1rm3kg，即有122Nm=kg()kgsfrm3kgs2若要使式成立，必须满足 ss(kg)ms13232由于在力学中质量 、长度 和时间 的单位三者之间的相互独立性，有MLT， 0， 21解为31,2将式代入式得3fkr评分标准：本题 12 分. 第（1）问 2 分，答案正确 2 分；第（2）问 3 分，答案正确 3 分；第（3）问 7 分，式 2 分，式 3 分，式 2 分（答案为 、 或 的，也给这 2 分）.3frfkmf二、(16 分) 解法一：瓶内理想气体经历如下两个
11、气体过程： 0 0 0(,)(,)(,) ii f ffpVTNpVTNpVTN放 气 (绝 热 膨 胀 )等 容 升 温其中， 分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数根据,i fff和理想气体方程 ，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有kffiip另一方面，设 是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为 时的体积，即V 0p0 0(,)(,)ii iTNpVTN 绝 热 膨 胀此绝热过程满足 1/i由状态方程有 和 ，所以 0ipVkT0fpkT0fiV联立式得 此即 1/0fiip 0lniifp由力学平衡条件有 0iigh0fpgh式中， 为瓶外的大
12、气压强， 是 U 形管中液体的密度， 是重力加速度的大小.由式得0pgh g0ln(1)ifih利用近似关系式： ，以及 ，有1, l()xx=当 00/1, /ifh=0/i iififhh评分标准：本题 16 分式各 2 分解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程 ab，再通过等容升温过程 bc 达到末态100 0(,)(,)(,) i fpVTpVTpVT绝 热 膨 胀 ab等 容 升 温 bc其中， 分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度留在瓶内的气体先, ,i f和 (后满足绝热方程和等容过程方程 110: i 00bc:/fpT 由式得 此
13、即 1/0fiip 0lniifp由力学平衡条件有 0iigh0ffpgh式中， 为瓶外的大气压强， 是 U 形管中液体的密度， 是重力加速度的大小由式得0pgh0ln(1)ifih利用近似关系式： ，以及 ，有1, l()xx=当 00/1, /ifh=0/i iififhh评分标准：本题 16 分式各 3 分，式各 2 分三、 （20 分）（1）平板受到重力 、拉力 、铰链对三角形板的作用力 NA 和 NB，各力及其作用点的坐标分别为：CP0MQ， ； ， ；C(0,sin,cos)mgg(0,)h0M(,)Q0(,)xz， ； ， AA,)xyzN(,2bBB(,xyz,2b式中 是平板
14、质心到 x 轴的距离. 2134ha平板所受力和（对 O 点的）力矩的平衡方程为ABx0xxFNsin0yyyQmgBcozzz0sinxMmghBA2yzzbN0B02zyybQxN联立以上各式解得 ， ，0singhzABxx，0sin1()2AymbN 0sin21()2ymghbxzAB1cos2zzNmg即 ， 0M0i(,)ghzQ， 0A 02sin1(,1(),cos)2x xhbNmgz0B 0i(,(),)2xmgb（2）如果希望在 点的位置从点 缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的作用力 保持不变，则需M0)z,xz ByNsin1()2ByhN常 量M点移动的起始位置
15、为 ，由式得 0 02bzz或 0xb这是过 点的直线. (*)A(,0)2因此，当力 的作用点 的位置沿通过 点任一条射线( 不包含 点)在平板上缓慢改变时，铰链支点 对板的作用力 保MQAABByN持不变. 同理，当力 的作用点 沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点 对板的作用力 保持不变.Ay评分标准：本题 20 分第（1）问 14 分，式 1 分，式各 2 分，式各 1 分；第（2）问 6 分，式各 1 分，(*) 2 分，结论正确 2 分. 四、 （24 分）（1）考虑小球沿径向的合加速度. 如图，设小球下滑至 角位置时，小球相对于圆环的速率为 ，圆环绕轴转动的角速度为
16、此时v与速率 对应的指向中心 C 的小球加速度大小为 v21aRv同时，对应于圆环角速度 ，指向 OO轴的小球加速度大小为 2(sin)该加速度的指向中心 C 的分量为 22(sin)sia该加速度的沿环面且与半径垂直的分量为 23icocotR由式和加速度合成法则得小球下滑至 角位置时，其指向中心 C 的合加速度大小为221(sin)vRRa在小球下滑至 角位置时，将圆环对小球的正压力分解成指向环心的方向的分量 、垂直于环面的方向的分量 . 值得指出的NT是：由于不存在摩擦，圆环对小球的正压力沿环的切向的分量为零. 在运动过程中小球受到的作用力是 、 和 . 这些力可分成mg相互垂直的三个方
17、向上的分量：在径向的分量不改变小球速度的大小，亦不改变小球对转轴的角动量；沿环切向的分量即要改变小球速度的大小；在垂直于环面方向的分量即 要改变小球对转轴的角动量，其反作用力将改变环对转轴的角动量，sinmg T但与大圆环沿 轴的竖直运动无关. 在指向环心的方向，由牛顿第二定律有O22(sin)cosRNgmav合外力矩为零，系统角动量守恒，有 20(iLmR式中 L0 和 L 分别为圆环以角速度 0 和 转动时的角动量如图，考虑右半圆环相对于轴的角动量，在 角位置处取角度增量 ，圆心角 所对圆弧 的质量为 （ ） ，lml02R其角动量为 2sinrlRrzS式中 是圆环上 角位置到竖直轴
18、OO的距离， 为两虚线间r窄条的面积式说明，圆弧 的角动量与 成正比. 整个圆环（两个半圆环）的角动量为S22001mL或：由转动惯量的定义可知圆环绕竖直轴 OO的转动惯量 J 等于其绕过垂直于圆环平面的对称轴的转动惯量的一半，即 则角动量 L 为 201JR 201mR同理有 0L力 及其反作用力不做功；而 及其反作用力的作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故NT220 12(1cos)(sin)kEmgRRv式中 和 分别为圆环以角速度 和 转动时的动能圆弧 的动能为0l222()sinkrlrS整个圆环（两个半圆环）的动能为2200114kk REm或：圆环的转动动能为 2
19、204J同理有 20014kmR根据牛顿第三定律，圆环受到小球的竖直向上作用力大小为 ，当2cosNCRzlr02cosNmg时，圆环才能沿轴上滑由 式可知，式可写成220 0cos641(4sin)Rmg式中， 是重力加速度的大小. g（2）此时由题给条件可知当 时，式中等号成立，即有=30或 22009214()mRg 000(9312)32()mgmR由式和题给条件得 002 09312+sin+()由式和题给条件得 003(1)6gRv评分标准：本题 24 分第（1）问 18 分，式各 1 分，式各 2 分，式各 1 分，式 2 分，式各 1 分，式 2分，式 1 分；第（2）问 6
20、分，式各 2 分五、 （20 分） （1）设圆盘像到薄凸透镜的距离为 . 由题意知： , ，代入透镜成像公式v0cmuf1ufv得像距为 20cm其横向放大率为 可知圆盘像在凸透镜右边 20cm，半径为 5cm，为圆盘状，圆盘与其像大小一样.（2）如下图所示，连接 A、B 两点，连线 AB 与光轴交点为 C 点，由两个相似三角形 与 的关系可求得 C 点距离透AOCB镜为 15cm. 1 分若将圆形光阑放置于凸透镜后方 6cm 处，此时圆形光阑在 C 点左侧. 1 分当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在 B 点成像，因而圆盘像的形状及大小不变，而亮度变暗. 2 分此时不存在圆形
21、光阑半径 使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半1 分ar（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方 18cm 处，此时圆形光阑在 C 点（距离透镜为 15cm）的右侧. 由下图所示，此时有: CB=5cm, R=2, 利用两个相似三角形 与 的关系，得 R52=Bcm3r可见当圆盘半径 （光阑边缘与 AB 相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变暗 4 分3rA CO BB若进一步减少光阑半径，圆盘像就会减小当透镜上任何一点发出的光都无法透过光阑照在原先像的一半高度处时，圆盘像的半径就会减小为一半，如下图所示此时光阑边缘与 AE 相交，AE 与光轴的交点为 D，由几何关系算得 D 与像
22、的轴上距离为 cm. 此时207有620DR=cm, Ec, =.5cm,7利用两个相似三角形 与 的关系，得D/7 2.0.7car可见当圆形光阑半径 =0.75cm，圆盘像大小的半径的确变为（1）中圆盘像大小的半径的一半 3 分ar（4）只要圆形光阑放在 C 点（距离透镜为 15cm）和光屏之间，圆盘像的大小便与圆形光阑半径有关 2 分（5）若将图中的圆形光阑移至凸透镜前方 6cm 处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像的形状及大小不变，亮度变暗； 2 分同时不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小的半径变为（1）中圆盘像大小的半径的一半 1 分评分标准：第（1）问 3 分，正确给出圆盘像的位置、大小、形状，各 1 分； 第（2）问 5 分，4 个给分点分别为 1、1、2、1 分；第（3）问 7 分，2 个给分点分别为 2、3 分；第（4）问 2 分，1 个给分点为 2 分；第（5）问 3 分，2 个给分点分别为 2、1 分六、 （22 分）（1）固定金属板和可旋转金属板之间的重叠扇形的圆心角 的取值范围为 整个电容器相当于 个相同的电容器并00N联，因而1()2()CN式中 为两相邻正、负极板之间的电容1()C1()4Aks这里， 是两相邻正负极板之间相互重迭的面积，有()A2000(), 1, R当当由式得20001(), 4(), ksCR当当CRBR BDDDREER E
