1、加 QQ719283511第一章 行列式1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 38402解 12(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644 (3) 2cba解 21bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)4 计算下列各行列式 (1) 710254解 0142324c 34)1(320 13079231c(2) 2605314解 260531424c04132r 2314r(3) efcbfda解 ff ecb adfadbce41(4) 01解 dcbadcbaar1021)(12 023cabcdabcdad1 cdab36. 证明:
2、(1) (ab)3;12a证明122ba02213abac(ab)3 )(231)(2) ;yxzbazybaxzyx3证明bzayxbazybzayxxyzbaxzy22zxy33xbzxa33 yz)(38. 计算下列各行列式(D k为 k 阶行列式) (1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都an1是 0 解(按第 n 行展开) aaDn0 10 1)1( )( nna )1(2 nnaanan2an2(a21) nna)2(1 )(2) ;xaDn 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 axxan 0 再将各列都加到第一列上 得x(n1)a(xa)naxDn 00 )1
3、(第二章 矩阵及其运算1. 计算下列乘积(5) 321231321)(xax解 321231321)(xax(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3) 21 3212. 设 求 3AB2A 及 ATB 1A5042B解 1132 29407309658 658121BAT3. 已知两个线性变换 3213254yx321z求从 z1 z2 z3到 x1 x2 x3的线性变换 解 由已知21321540yx 321054z 31609z所以有 321326094zxz4. 设 问 AB(1)ABBA 吗?解 ABBA 因为 所以 ABBA 6
4、43AB821(3)(AB)(AB)A2B2吗?解 (AB)(AB)A2B2 因为 510 962)(而 71843182BA故( AB)(AB)A2B2 5. 举反列说明下列命题是错误的 (1)若 A20 则 A0 解 取 则 A20 但 A0 1(2)若 A2A 则 A0 或 AE 解 取 则 A2A 但 A0 且 AE (3)若 AXAY 且 A0 则 XY 解 取 11则 AXAY 且 A0 但 XY 7. 设 求 Ak 1解 首先观察 012 21 32323A 443406 535451A kkk02)(11用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时，
5、 0102)(11 kkkA 110)(2)(kkk由数学归纳法原理知 kkkA02)1(8. 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵 证明 因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1) 521解 |A|1 故 A1存在 因为 25*12故 |(3) 14523解 |A|20 故 A1存在 因为A 436*2311所以 *|1A176230(4) (a1a2 an 0) na021解 由对角矩阵的性质知naA 021 na102112. 利用逆矩阵解下列线性方程组 (1)
6、353221x解 方程组可表示为 321532x故 0132从而有 0132x19.设 P1AP 其中 求 A11 14P20解 由 P1AP 得 APP1 所以 A11 A=P11P1.|P|3 14*143P而 120故 314411A68427320. 设 APP 其中 205求 (A)A8(5E6AA2) 解 ()8(5E62)diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125)diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P1*|1230120 421. 设 AkO (k 为正整数 ) 证明(E A)1EAA2 Ak1 证明 因为 AkO 所以 EAkE 又因为EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以 (EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(E A)可逆 且(EA)1EAA2 Ak1
