1、专 题 4 几 何 证 明【 知 识 要 点 】1.进 一 步 掌 握 直 角 三 角 形 的 性 质 ， 并 能 够 熟 练 应 用 ；2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；3.证 明 要 合 乎 逻 辑 ， 能 够 应 用 综 合 法 熟 练 地 证 明 几 何 命 题 。【概念回顾】1.全等三角形的性质：对 应 边 （ ） ，对应角（ ）对应高线（ ） ，对应中线（ ） ， 对 应 角 的 角 平 分 线 （ ） 。 2.在 Rt ABC 中， C=90， A=30，则 BC：AC：AB=（ ） 。 【 例 题 解 析 】【题1】已知在 ABC 中， 108A，ABAC，BD
2、 平分 ABC求证：BCABCD 【题2】如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证：.BDACFE【题3】如图，AD 为 ABC 的角平分线且 BDCD求证：ABAC.【题4】已知：如图，点 B、F、C 、E 在同一直线上，BF=CE，ABED ，ACFD ，证明 AB=DE，AC=DF.【题 5】已知：如图，ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB 的度数【题 6】如图：ABC 中，ACB=90，AC=BC，AE 是 BC 边上的中ECDGABAPCB线，过 C 作 CFAE，垂足是 F，过 B 作 BDBC 交 CF 的延长线于D。（1） 求
3、证：AE=CD;（2） 若 AC=12，求 BD 的长.【题 7】 等 边 三 角 形 CEF 于 菱 形 ABCD 边 长 相 等 .求 证 ： （ 1） AEF=AFE(2)角 B 的 度 数【题 8】如图，在ABC 中，C=2B，AD 是ABC 的角平分线，1=B，求证：AB=AC+CD.【题 9】如图，在三角形 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD的中点，BE 的延长线交 AC 于点 F.求证：AF= FC21【题10】如图，将边长为1的正方形 ABCD 绕点 C 旋转到 ABCD的位置，若BCB=30度，求 AE 的长.【题11】AD,BE 分别是等边ABC 中 BC
4、,AC 上的高。M,N 分别在AD,BE 的延长线上，CBM=ACN.求证 AM=BN.【题 12】已知：如图， AD、 BC 相交于点 O， OA=OD， OB=OC，点E、 F 在 AD 上，且 AE=DF， ABE DCF.求证： BECF .【巩固练习】【练 1】 如图，已知 BE 垂直于 AD，CF 垂直于 AD，且 BE=CF.（1）请你判断 AD 是三角形 ABC 的中线还是角平分线？请证明你的结论。（2）链接 BF,CE，若四边形 BFCE 是菱形，则三角形 ABC 中应添加一个什么条件？OFEDCBA【练 2】在等腰直角三角形 ABC 中，O 是斜边 AC 的中点，P 是斜边
5、上的一个动点，且 PB=PD，DE 垂直 AC，垂足为 E。（1）求证：PE=BO（2）设 AC=3a，AP=x，四边形 PBDE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式。【练3】已知：如图，在四边形 ABCD 中 ， ADBC ，M、N 分别是AB、 CD 的中点， AD，BC 的延长线叫 MN 与 E、F求证DEN=F.【练4】如图，若 C 在直线 OB 上，试判断CDM 形状。 【练5】已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD1、 【练 6】如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，点 P 和点 Q 分别是
6、从 A 和 C 两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点 P沿射线 AB 运动，Q 点沿点 C 在 BC 延长线上运动。设 PQ 与直线AC 相交于点 D，作 PEAC 于点 E，当 P 和 Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论。【提示】【题 1】分析：在上截取，连接可得BADBED由已知可得： 18ABDE， 108ABED，36CAB 72EC，CDCE，BCABCD【题 2】分析：将 ABF 视为 ADE 绕顺时针旋转 9即可 90F F又 90D，ABFADE （）【题 3】分析：延长到使得易证ABDECD BAC ECA【题 4】本题比较简单，难点在 BF+CF
7、=CE+CF 这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明：BF=CE又BF+CF=BCCE+CF=EFBC=EFABDE，ACFDB=E，DFE=BCA又BF=CEDEFABC（ASA）AB=DE，AC=DF 【题 5】顺时针旋转ABP 60 0 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以APB=150 0 。【题 6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于 90，再试其它角加这个公共角是否能等于 90，能说明它俩相等。证明：（1）BDBC，CFAEDBC=ACB=EFC=90D+BCD=90FEC+BCD=90D=FEC又DBC=ACE=90，AC=BCDBCACE（HL）AE=CD（2）由（1）可知 BDCACEBC=AC=12，BD=CEAE 是 BC 边上的中线BE=EC= BC=612BD=CEBD=6【题 7】解：CB=CE,CD=CFB=CEB，D=CFDB=D(菱形的对角相等）CEB=CFDCEF=CFE=60CEB+CEF+AEF=180CED+CFE+AFE=180AEF=AFE(2)设B=X,则A=180X，CEB=XAEF=AFE,A=AEF+AFE=180 (180X ) +2AEF=180AEF=X/2CEB+CEF+AEF=180
