1、彭山电大教案 备 课 教 案第 一 周 星期五 课 题 函数 所需课时 2教学目的 理解函数的概念，掌握函数的几何特性，为研究微分做好准备。掌握基本初 等函数的各种状态，为研究更深一步的函数作准备。重 点 函数的概念，函数的几何特性，各种基本初等函数的性态。难 点 反函数的理解，分段函数的理解，复合函数的理解。教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入同学们就以前学过的函数的知识谈谈自己对函数的理解。三 、 讲 授 新 课一、函数的概念：1、 函数的定义：1） Def：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的非空数集。若对于每一个数 xD
2、， 按照某一确定的对应法则 f，变量 y 总有唯一确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 yf(x), xD。Note：（1）x 称为自变量, y 称为因变量或函数；（2）D 称为定义域, 记作 D f, 即 D fD；（3）f 称为函数的对应法则；（4）集合 y| yf(x), xD称为值域。当自变量 x 在定义域内取定某确定值 x0 时，因变量 y 按照所给函数关系求出的对应值y0 叫做当 x= x0 时的函数值，记作 或 f (x0)y例 1：已知 ，求1()f211,22fffxf解： 120,3ff- 2 -1221xff xfxf例 2：求下列函数的定义域（1） 235
3、fxx（2） 9（3） lg43fx（4） arcsin21x（5） larcsifxx解：（1）在分式 中，分母不能为零，所以 ，解得 ，且23250x25x0即定义域为 。,0,5（2）在偶次方根中，被开方式必须大于等于零，所以 ，解得 即定290x3x义域为 3,（3）在对数式中，真数必须大于零，所以 ，解得 ，即定义域为43x4x,4（4）反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于 1，所以有 ，解得21x，即定义域为0，101x（5）该函数为（3） （4）两例中函数的代数和，此时函数的定义域为（3） （4）两例中定- 3 -义域的交集，即 33,0,1,44小结：定义域的求解原则：（
4、1） x含 时 ，（2） 0含 时 ，（3） lnx含 时 ，（4） arcsi,os1x含 时 ，（5）同时含有上述四种情况的人以两种或两种以上时，要求各部分都成立的交集。2）邻域：设 为两个实数， ，则称满足不等式 即以 为中心的开区间,0xa为点 的 邻域。aa点 为该邻域的中心， 为该邻域的半径。四、练习：求下列函数的定义域：（1） 235fxx（2） 9（3） lg43fx（4） arcsin21x（5） larcsifxx五、归纳小结本节主要复习了函数的定义及函数定义域值域的求法。这部分内容的掌握将为我们以后的继续学习打下良好的基础。课后作业：1、求函数 的定义域；2、作函数 的图
5、像)1ln(xy0,2)(xf- 4 -反 思 录：备 课 教 案第 二 周 星期三 课 题 函数 所需课时 2教学目的 （1）理解复合函数、分段函数的概念。（2）掌握函数的特性。重 点 函数特性的理解。难 点 函数特性的理解。教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、 复 习 引 入1、什么叫做函数？2、求下列函数的定义域及值域。（1） 29fx（2） lg43三 、 讲 授 新 课分段函数对于自变量的不同取值范围，又不完全相同的对应法则的函数，称为分段函数。例 3：函数 . 10 2xy这是一个分段函数, 其定义域为 D0, 1(0, ) 0, ).
6、 当 0x1 时 , ; 当 x1 时, y1x. y2; ; f(3)134. )2(f 2)1(f- 6 -Note：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集。3、显函数和隐函数若函数中的因变量 y 用自变量 x 的表达式直接表示出来，这样的函数称为显函数。一般地，若两个变量 x,y 的函数关系用方程 F(x,y)=0 的形式表示，即 x,y 的函数关系隐藏在方程里，这样的函数叫做隐函数。例如： 0xye有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。二、函数的几种特性：1、函数的有界性设函数 f(x)的定义域为 D, 数集
7、XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界, 而称 K1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界. 图形特点是 yf(x)的图形在直线 yK1 的下方 . 如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x) K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界, 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界. 图形特点是, 函数 yf(x)的图形在直线 yK2 的上方. 如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有| f(x) |M, 则称函数 f(x)在 X 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数 f(x)在 X 上无界. 图形特点是, 函数
8、 yf(x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间. 函数 f(x)无界, 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f (x) | M. 例如(1)f(x)sin x 在(, )上是有界的 : |sin x|1. (2)函数 在开区间(0, 1) 内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界. 1这是因为, 对于任一 M1, 总有 x1: , 使10, xf1)(所以函数无上界. 函数 在(1, 2)内是有界的 . f)(2、函数的单调性设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数 f(
9、x)在区间 I 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: - 7 -函数 y x2 在区间( , 0上是单调增加的, 在区间0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. 3、函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 xD, 则xD). 如果对于任一 xD, 有 f(x) f(x), 则称 f(x)为偶函数. 如果对于任一 xD, 有 f(x) f(x), 则称 f(x)为奇函数 . 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: yx2, ycos x 都是偶函数 . yx3, ysin x 都是奇函数
10、, ysin xcos x 是非奇非偶函数. 例 4： 判断函数 的奇偶性.)1(log)(2fa解 函数的定义域为 D= ,又因为)l()(l)( 22xxxfa 12)(logxa)1(log2a )(1(log2fa所以函数 是奇函数.)xxf4、函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 xD 有( xl)D, 且 f(xl) f(x)则称 f(x)为周期函数, l 称为 f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 例如, 的周期 , 的周期 ,正弦型曲线函xycos,sin
11、2Txycot,tanT数 的周期为 .)(xAy四、练习已知函数 ，求 f(0.04)和 f(9)。10 2xy五、归纳小结本节主要总结了函数的几种特性，适当时候可以结合图像来分析理解。课后作业：- 8 -求函数 ?)1(,0)(01)(2 ffxf的 定 义 域 及 函 数 值， ，反 思 录：备 课 教 案第 三 周 星期五 课 题 基本初等函数 所需课时 2教学目的 （1）理解反函数，会求一个函数的反函数。（2）掌握五类基本初等函数。重 点 掌握五类基本初等函数。难 点 理解反函数，会求一个函数的反函数。教 学 过 程 ：一 、 组 织 教 学 点 名 、 组 织 课 堂 纪 律二 、
12、 复 习 引 入1、计算： ； ； ； ； ； ；3202416327192、怎样画函数的图像？三 、 讲 授 新 课一、初等函数1、反函数定义 1.1 设函数 .若对于任意一个 ,D 中都有惟一的一个ZyDxfy,)( Zy,使得 成立,这时 是以 Z 为定义域的 的函数,称它为 的反函数,记作xf)( )(xf.Zy1在函数 中, 是自变量, 表示函数.但按照习惯,我们需对调函数)(1fxyx- 11 -中的字母 , ,把它改写成 .)(1yfxxyZxfy),(1今后凡不特别说明,函数 的反函数都是这种改写过的 形式.)(xf Zxfy),(1函数 与 互为反函数,它们的定义域与值域互换
13、.Dxfy),(y1在同一直角坐标系下, 与 互为反函数的图形关于直线xf),(Zxfy),(1对称。xy例如,函数 与函数 互为反函数,其图形如图 1.1 所示,关于直线23xy32y对称.函数 与函数 互为反函数,它们的图形在同一坐标系中是关于直线xx2log对称的.如图 1.2 所示.yy3yyx2y1 2x x2log-2 0 1 0 1 -2图 1.1 图 1.2定理.（反函数存在定理） 单调函数必有反函数,且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的.求反函数可以按以下步骤进行:(1) 从方程 中解出惟一的 ,并写成 ;)(xfyx)(yg(2) 将 中的字母 对调,得到
14、函数 ,这就是所求的函数 的反gyx)(xfy函数.2 . 复合函数定义 1.2 假设有两个函数 ,与 对应的 值能使 有定义,将)(,xufyuy代入 ,得到函数 .这个新函数 就叫做是由)(xu)(ufy)()(xfy- 12 -和 经过复合而成的复合函数,称 为中间变量 .)(ufy)(xu例如,由 可以复合成复合函数 .xuefycos)(,xefycos)(复合函数不仅可用两个函数复合而成,也可以有多个函数相继进行复合而成.如由可以复合成复合函数 .xvuysin,l xysinl需要指出,不是任何两个函数都能复合成复合函数.由定义易知,只有当 的值域)(xu与 的定义域的交集非空时
15、,这两个函数才能复合成复合函数.例如函数 和)(ufy yln就不能复合成一个复合函数.因为 的值域为 ,而 的定义域2x 2xu0(为 ，显然 无意义 .),0()ln(,),0(,y3 . 基本初等函数我们学过的五类函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数.为了便于应用,下面就其图像和性质作简要的复习.参看表 1-1 .表 1-1 基本初等函数及图像性质序号 函数 图像 性质1幂函数 Rxy,y0(1,1)0 x在第一象限， 时函数单增；0时函数单减都过点（1，1）2指数函数 )10(ayx且y1a10 x时函数单增； 时函数1a10a单减共性：过（0，1）点，以 轴为x渐近线3对数函数 )10(logaxy且 y1a时函数单增； 时函数a10a单减共性：过（1，0）点，以 轴为y- 13 -0 1 x1a渐近线正弦函数 xysiny1- 0 x-1奇函数,周期 T=2 ,有界1sin余弦函数 xycosy1- 0 2x-1 偶函数,周期 T=2 ,有界1cos正切函数 xytany- 0 223x奇函数,周期 T= ,无界4三角函数余切函数 xycotyx- - 0 22奇函数,周期 T= ,无界5反三角函数反正弦函数 xyarcsiny2-1 0 1 x- 2奇函数，单2,1y调增加，有界
