1、本科毕业设计（20届）R循环矩阵求逆的一种新算法所在学院专业班级数学与应用数学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月I摘要【摘要】对于R一循环矩阵求逆的快速计算问题是人们十分关注的问题，在数理统计、通信、石油、地震物探以及其它应用学科，尤其是在编码、图象和数字信号处理中，常常会遇到各种形式的R一循环矩阵。其中不少问题牵涉到求逆的快速计算，这里我利用最大公因式法来求任意数域上非奇异R循环矩阵求逆的新算法。【关键词】R循环矩阵；逆矩阵；最大公因式IIABSTRACT【ABSTRACT】ROFACYCLEFORTHEFASTCALCULATIONOFMATRIXINVERSEPROBLEMISOFGR
2、EATCONCERNTOPEOPLEINMATHEMATICALSTATISTICS,COMMUNICATIONS,PETROLEUM,SEISMICDETECTION,ANDOTHERAPPLIEDSCIENCES,ESPECIALLYINTHECODING,IMAGEANDDIGITALSIGNALPROCESSING,OFTENENCOUNTERRFORMSACYCLEMATRIXMANYPROBLEMSINVOLVETHERAPIDCALCULATIONOFTHEINVERSE【KEYWORDS】RCYCLICMATRIX；INVERSEMATRIX；HIGHESTCOMMONFACT
3、ORIII目录摘要IABSTRACTII目录III1引言111R循环矩阵基本知识112R循环矩阵的一些基本性质113的多项式在R循环矩阵中的运用221R循环矩阵求逆一些相关性质422R循环矩阵求逆新算法5致谢错误未定义书签。1引言R循环矩阵是一种特殊的T矩阵位于任一条平行于主对角线的直线上的元素全相等,在数据处理,有限元法以及编码理论等广泛学科和技术领域里常常遇到，T矩阵的性质不易探讨因此人们很早就把兴趣集中在与T矩阵联系密切的矩阵或特殊的T矩阵上循环矩阵是T矩阵的一个特殊情形人们对R循环矩阵的可逆问题已经进行了较广泛的研究11R循环矩阵基本知识定义1若A具有形状A01321340122310
4、112210ARARARARAAAARARAAAAARAAAAAANNNNNNNNNN则称A为R一循环矩阵，因为A决定于0A，11,NAA及参数R，故可简记为ARC,1210NAAAARCM，特别当RL时，就是通常的循环矩阵，当R一1时，就是通常的反循环矩阵。定义2D00000100000000100000010RRC0，1，0，0RCM易得12,NDDD为R循环矩阵，且REDN（E为N阶单位矩阵），因此A可以写成关于D的多项式1110NNDADAEAA12R循环矩阵的一些基本性质性质1两个循环矩阵1A,2A的和仍为R一循环矩阵，且1221AAAA证明设1110211101,NNNNDBDBE
5、BADADAEAA，那么12111110021AADBADBAEBAAANNN，则21AA仍是D的多项式，所以，21AA是R循环矩阵。性质2两个循环矩阵1A，2A的乘积仍为R循环矩阵，且1221AAAA2证明设1110211101,NNNNDBDBEBADADAEAA，由于，为非负整数KRDDDDREDKKNKNN,所以DBRABRABABAEBRABRABAAANNNN12211001111100211101201NNNNDBABABA所以1221AAAA则21AA仍是D的多项式，因此21AA是R循环矩阵。性质3可逆的R循环矩阵的逆矩阵仍是R循环矩阵证明设A为可逆的R循环矩阵1110NNDA
6、DAEAA即证存在1110NNDBDBEBL，1,1,0NIBI为待定常使得EAL即可DBRABABAEBRABRABAALNNN1210011111001101201NNNNDBABABA要使EAK,必须且只须下列方程组成立00110120112211001111100NNNNNNNBABABABRABRABABABRABRABA1即013212310112210AAAAARARARAAARARARARAANNNNNN110NBBB001TK110NBBB001由题设K可逆，则0KKT,故（1）有唯一解1,1,0NIBI，则L唯一存在，且L就是A的逆矩阵，由于L是D的多项式，所以它是R循环矩
7、阵。13的多项式在R循环矩阵中的运用定理1N阶矩阵A为R循环矩阵A1210,NRAAAAC，当且仅当0000001112221110NNNNREEAREEAREEAEAA该定理形象的刻画了R循环矩阵的特点，可以这样证明我们考虑几个最特殊的的R循环矩阵31,0,0,00,0,1,00,0,0,1110RNRRCCC易知1,2,100NIREEIINI即A111100NNAAA易验证ENKKK0N11,1,2,1且故11,MOD0001NKNKKKK易证1110111111ANNNAAEA，则有记记AFXAXAXAAXFNN于是,112210显然121,NE线性无关，因此A的表达式唯一，即任何R循
8、环矩阵都可由的多项式唯一表达。定义2A是N阶R循环矩阵的充要条件是AA，其中00,1,0RC证明必要性的证明可由R循环矩阵AF得到。充分性设22211111212222111211AAAAAAAAAAAAAANNNNNNNN其中,1,211,12111,12,11,11,222211,112111NNNNNNNNNNNNNNAAAAAAAAAAAAAAAANNNNNNNNAAAAAAAAAAAAAAAA113122,1312123233332223222,4而001REN，则由AA及分块矩阵乘法得RAAARAARANN21122111从而得11ANNA，21RA，RA21，21AA令,2,11
9、1NIBAII比较上式得,JIRBIJBAIJNIJIJ按定义即知A是R循环矩阵，证毕。2R循环矩阵求逆的算法21R循环矩阵求逆一些相关性质引理1NNCA，RCARNCMAAA,10的充分必要条件,10INIIDAA其中DINIIRRXAXFCMC10,0,0,1,0则AF（D）称为循环矩阵A的伴随多项式。令G（X）NXR,则G（D）0，即G（X）是D的最小零化多项式。引理2设A，则；若个特征值均为的，则若0RAN0R,0110ACMAAACRNRA的N个特征值为110,NWFWFWF，其中JW为方程RXN的N个根，而INIIXAXF10定理1设,0,110RCMDFAAACARNR则A非奇异
10、的充要条件,1,RXXGXGXFN其中证必要性以为A非奇异，则1XGXFXFN,011），的根，所以（个根不是的因此，RXXGWFANNII充分性最大公因式。与是令XGXFXD5RRCMCDARANKDFRANKDDRANK0,0,1,0,XFXVXGXUXDXVXUXD使得的性质知道存在由,0ARANKDRANKDADVDFDUDDREDDUNN因为所以，又又ADFXFXD,。11,XDXGXFARANKDDRANKDDRANKARANK时，当故所以非奇异。即ANARANK,定理2设多项式矩阵1001XFXG经过初等变换化为XTXSXVXUXD0，则。且满足XDXVXFXUXGXDXGXF,
11、22R循环矩阵求逆新算法利用定理2求R循环矩阵求逆的具体步骤为1由R循环矩阵得到伴随多项式XF2由XDXGXFRXXGXFN,求出最大公因式与3判别A是否可逆，若D（X）不是非零常数，则A不可逆；若D（X）是非零常数时，则A可逆4当D（X）是非零常数时，利用初等变换得D（X）1，此时V（X）的系数就是R循环矩阵的逆的第一行元素。举例证明例设A13331133111311111,1,1,13C，求1A解A是一个3循环矩阵，其伴随多项式4323,1XXGXXXXF且，于是作矩阵1010131001324XXXXXFXG，对该矩阵作初等变换610113101013323221324XXXXXXXXX
12、XXX101112432221XXXXX23221122222XXXXXXX一系列变换021211211322XXXX所以,21211,21,1322XXXXVXXUXGXF即32423221211,132121211XXXXVXQXXXXXXF即故21,21,1,131CA参考文献1沈光星关于某些循环矩阵的特征值J应用数学，1991，4376822郭运瑞，江兆林R循环矩阵逆矩阵的插值法证明J广州师院学报，L997，122273张小红，蔡秉衡，高等代数专题研究选编M西安陕西科学技术出版社19924贾璐，姚光同有关循环矩阵的行列计算及其应用J信阳师范学院学报，2005，41311325张建奎，王新民关于最小公倍式的矩阵求法J山东师范大学学报，2003，48788
