1、 例说等腰三角形的“三线合一”济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽（适用于人教版初二版 10 月刊）“三线合一”性质是等腰三角形所特有的重要性质，即等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合.该性质其实包括如下三方面的内容：如图 1，ABC 中，AB AC ， D 是 BC 上的一点.CDAB图 1（1 ）若 AD 是等腰 ABC 底边 BC 上的中线，那么 AD 是顶角BAC 的平分线，AD 是底边 BC 上的高线；（2 ）若 AD 是等腰 ABC 顶角BAC 的平分线，那么 AD 是底边 BC 上的中线，AD 是底边 BC 上的高线；（3 ）若 AD 是等腰 ABC 底边
2、BC 上的高线，那么 AD 是顶角BAC 的平分线，AD 是底边 BC 上的中线 .由此可以看出， “三线合一”性质给我们提供了证明角相等、直线垂直、线段相等的新思想和新方法.在解答一些图形有关的证明问题时，要注意灵活运用它们。下面仅举几例和同学们共同见识一下“三线合一”的神通.一、证明角相等或倍数关系例 1、已知：如图 2，在 中， ， 于 D求证：ABCABDBAC【分析】作出等腰 的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得 等于其中任一部分即可【证明】作 的平分线 AE，BA则有 C21 ， ， （三线合一） BE 又 ，902CADB DB C2【点拨】添加辅助线，
3、利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决2、 证明线段相等例 2、如图 3，在ABC 中， ABAC ，BD CD，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DEDF .B DACE F图 3【分析】：依题意，DE 和 DF 分别为点 D 到BAC 两边的距离，要证明它们相等，可先证明点 D 在BAC 的平分线上，这只要证明 AD 是BAC 的平分线.【证明】：连接 AD.AB AC，BD CD，AD 是等腰ABC 底边 BC 上的中线 .AD 平分BAC. DE AB 于 E，DFAC 于 F，D
4、E DF.【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决3、 证明线段垂直例 3、如图 4，在ABC 中，AB AC ，D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上，且 ADAE，求证：DE BC.CFADBE图 4【分析】：注意到ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，那么底边上的高与 BC 垂直.要证明 DEBC，应先证明 DE 与这条高平行.【证明】：过 A 作 AFBC 于 F.AB AC，AFBC 于 F，AF 是等腰三角形ABC 底边 BC 上的高线.AF 平分BAC.BAC 2 BAF.ADAE，DAED.BAC DAED2 D.BAFD，DEAF.DE BC.【点拨】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2 ）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线
